TEMA: ALGEBRA LINEAL NUMERICA

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1 Algebra y Geometría 009 TEMA: ALGEBRA LINEAL NUMERICA En todo el trayecto de la cursada se han realizado cálculos numéricos: se resolvieron sistemas de ecuaciones lineales se multiplicaron matrices se buscaron bases se calcularon valores y vectores propios etc, Todo sobre matrices de x o x, excepto en algunos casos. Esto no significa que no haya SEL o matrices de mayor tamaño, para los cuales el cálculo numérico manual resulta tedioso. El empleo masivo de calculadoras y computadoras ha permitido trabajar con matrices de gran tamaño, obteniéndose resultados con mayor rapidez y exactitud. Al resolver problemas en una computadora surgen dos planteos:. Qué tan exactas son las respuestas.. Cuánto tiempo requiere la computadora en dar dichas respuestas?. El uso de estos instrumentos tecnológicos presenta ciertas imprecisiones, ya que las computadoras no almacenan en forma completa los números con infinitas cifras decimales y los números irracionales, tales como: ; 7 ; ; π ; etc. 7. Qué tan exactas son las respuestas? La mayor parte del trabajo de almacenamiento se realiza mediante la aritmética del punto flotante: m Cada número se representa como: ± 0, dd...d n 0, llamado número de punto flotante; donde: m ± 0, dd...d n 0 es la mantisa. m es el exponente. Este número entero satisface M m M. Los números M y M dependen de la computadora y del software con los que se trabaja. Para la aritmética del punto flotante con precisión simple los valores que se utilizan son M =9 y M =47 (en cambio para el Matlab M =M =08. di son dígitos que satisfacen d 9, 0 d i 9 y i n n es número de cifras significativas de la expresión. Ejemplos: /4: 0, 7: 0, ,00086: -0,86 0-8,7: 0,87 0 /

2 Algebra y Geometría 009 Si queremos representar uúmero N= 7 =, en la forma de punto flotante, donde N tiene infinitas cifras decimales, sólo dispondremos de n cifras significativas. Entonces, se debe hacer uso de una aproximación del número por: a Truncamiento: se conservan las primeras n cifras significativas, eliminando simplemente las restantes. 7 Si en particular n = 4, entonces =, x0 b Redondeo: si d k, entonces se le suma a dk una unidad y se trunca; en caso contrario solo se trunca. 7 Para n = 4, entonces =, x0 Para n = 4, entonces x0 0 Dicha forma de almacenamiento traen aparejado errores de redondeo. Estos errores no son importantes si analizamos uúmero u operación aislados, pero no pueden dejar de ser considerados cuando la computadora realiza miles de cálculos para obtener un resultado. Atento a ello es importante tener en cuenta cuál va a ser la acumulación por los errores. Se definen dos tipos de error: a Absoluto: x * x x * x b Relativo: x Para x : valor real de uúmero. x* : el número que aparece en la computadora. Ejemplo: x = x* =,, Error absoluto:, Error relativo: 0 x = 000 x* = 000, 000, 000 Error absoluto: 000, 000 Error relativo: Observamos el siguiente SEL: /

3 Algebra y Geometría 009 El método de eliminación Gaussiana, puede presentar un problema cuando uno de los elementos que se usan para hacer ceros, es muy cercano a cero. Resolvámoslo por este método R. R R Obteniendo el siguiente sistema equivalente: Siendo: x = 6 x ( x. = Recordemos que las operaciones aritméticas de la computadora se asumen que corresponden a la operación exacta pero truncada al número de cifras significativas de la máquina, esto se refiere a que el almacenamiento se realiza mediante la aritmética del punto flotante. En la siguiente tabla se observa como el resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifras significativas consideradas: Cifras Significativas x x Error relativo (* 0,667-0, ,6667-0,.0 0 0, , , 0, 7 0, , 0,0 (* Para calcular este error se considera como valor verdadero de x = Ahora resolvemos el mismo sistema intercambiando los renglones R R ( R 0. R /

4 Algebra y Geometría 009 Lo cual nos da el sistema equivalente: De donde obtenemos: x = 6 x = x Nuevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los resultados en la siguiente tabla: Cifras Significativas x x Error relativo (* 0,667 0, 0,00 4 0,6667 0, 0,000 0, , 0, , , 0, , , 0, En este último caso, vemos que el error relativo no varía drásticamente como en la solución anterior. Así, vemos que los elementos que son cercanos a cero, son elementos malos para hacer ceros. En general, para evitar este problema se elige como elemento para hacer ceros (el cual recibe el nombre de elemento pivotal o simplemente pivote como el elemento mayor en valor absoluto de entre todos los candidatos. Si hiciéramos el mismo trabajo utilizando el método de Eliminación de Gauss-Jordan, que consiste en reducir la matriz asociada al sistema a una matriz equivalente escalonada por renglones reducida, llegaríamos al mismo resultado pero con más lentitud.. Cuánto tiempo requiere la computadora en dar dichas respuestas? Otro factor fundamental a considerar al resolver un problema es el tiempo que demanda la resolución por computadora. Para estimarlo se deben considerar el tipo y la cantidad de operaciones involucradas en el proceso. La tabla muestra el tiempo promedio que utilizará una computadora para realizar las dos operaciones básicas. Operación Tiempo promedio [segundos] Suma o resta 0,.0-6 =0, Multiplicación o división.0-6 =0, /

5 Algebra y Geometría 009 No siempre resulta sencillo contar las operaciones que se precisan ejecutar para resolver un problema. El siguiente cuadro muestra el número de operaciones a llevar a cabo para resolver un S.E.L. por eliminación de Gauss-Jordan y eliminación Gaussiana, donde A es una matriz invertible de n x n. Técnica Nº de multiplicaciones Nº de sumas Solución Ax=b por eliminación de Gauss Solución Ax=b por eliminación de Gauss-Jordan Analizamos el tiempo que insume resolver sistemas de diferente orden: Técnica Eliminación de Gauss Eliminación de Gauss- Jordan Orden Nº de multiplicaciones Nº de Tiempo promedio sumas [segundos] 4, , ,4 CONCLUSIÓN En gral, para resolver el sistema Ax=b en una computadora normal, ocurren errores de redondeo en cada paso del proceso debido a la aritmética finita de la máquina, por lo que no se obtienen los valores exactos de las incógnitas. Por lo cual se estudia que estos errores no se propaguen o acumulen durante todo el proceso y se estima el error en la solución calculada, mejorando los algoritmos de resolución. Esto significa que los métodos que conoceo siempre son los adecuados para resolver los sistemas que se les presentan. Existen otros métodos de resolución que mejoran a estos y pueden abordar otro tipo de problemas. Otro problema al que nos enfrentamos es el tamaño del sistema, por el tiempo que conlleva su resolución. Esto depende del procesador con el que estamos trabajando. Generalmente un sistema se considera de gran tamaño cuando tiene más de 0000 variables, pero esta noción cambia a medida que avanza la tecnología. Queda evidenciada la importancia del continuo progreso en la optimización de los algoritmos para resolver SEL y del avance de la tecnología. /