( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Opción A ( ) ( ) ( ) ( ) Examen. 2ª evaluación 4/03/2008. Obtener el valor del siguiente límite: a b entonces la función

Transcripción

1 Eamen. ª evaluación 4//8 Oción A Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Obtener el valor del siguiente límite: lim ( + ) t ln 4t dt 5 Alicación del teorema fundamental del cálculo integral: Si f ( ) es continua en [, ] A f t dt es derivable en [, ] a a b y A f ara todo [ a, b] a b entonces la función Como es una indeterminación del tio, estamos en las condiciones del teorema de L Hôital ( + ) ( + ) ( + ) t ln 4t dt ln 4 ln 4 8 lim lim lim lim + 4 lim 5 4 ( indica que alicamos la regla de L Hoital ˆ ) ( + 4 ) Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Calcula las integrales indefinidas: a) d Es una integral racional, factorizamos el denominador y searamos en fracciones simles + 5 A B C + + A + B + C A + B + A B + C + A A + B A 5 A B + C B 4 A 5 C d d + d + d 5 d 4 d + 6 ( ) d 5ln 4ln + c ( ) ( ) Matemáticas II. []

2 Eamen. ª evaluación 4//8 b) sen d e sen d e ( alicamos la integración or artes ) u sen du cos d / dv e d v e d e e sen d e sen e u cos du sen d / dv e d v e d e * e sen + e cos e sen d e sen e cos 9 e sen d e sen d e sen e cos e ( sen + cos e sen d cos d e sen + e cos d * e sen d ) + c Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Calcular el área del recinto limitado or las curvas y, y 4. Reresentamos las funciones ara visualizar el área edida Calculamos los untos de corte entre las curvas y y ( 4) ( ) ( 5 6) 6 6 A d d Matemáticas II. []

3 Eamen. ª evaluación 4//8 Ejercicio 4. (Puntuación máima: untos) Determina el área comrendida en ntre la curvas f reresentando ara ello las funciones dadas. 4 ( + ) y g. Dibuja la situación La función f tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, así mismo es simétrica uesto que f ( ) f lim 4 4 lim ( + ) ( + ) en los untos un mínimo ya que y. D f >,,, hay untos ), tiene una asíntota horizontal en la recta y uesto que. Derivando obtenemos que f Derivamos otra vez f, del mismo modo en de infleión ( + ) 4 4 ( + ) hay un máimo; además c 4, vemos que y deducimos que en f hay f en como El área edida será igual a A, ara calcularla debemos encontrar los untos de corte de las dos funciones. 4 ( ) ( + ) ± + 4 A d d ( + ) d + ( + ) d + + Entonces el área edida es A Matemáticas II. []

4 Eamen. ª evaluación 4//8 Oción B Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Determina el área del recinto lano limitado or las gráficas de las tres funciones siguientes: y, y, y +. Reresentamos las funciones ara tener una idea clara de la región de la que debemos calcular el área. Calculamos los untos de corte entre las curvas: y y 4 ± y + y + 6 entonces el área edida es: ( ) ( ) ( A + ( 6) d + + d + + d + + d d d ) Matemáticas II. [4]

5 Eamen. ª evaluación 4//8 Ejercicio. (Puntuación máima: untos) Sea la función f e. Esbo oza la gráfica de la curva y f y calculaa un número > ara que el área limitada or la curva y el eje de abscisas ente y sea 9. La función f tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, no es simétrica y tamoco tiene asíntotas verticales ni oblicuas, sin embargo y es asíntota horizontal c lim ( e ) lim lim e e e cuando Derivamos e igualamos a cero ara buscar los etremos de la función f e + e f e ( + ) ; f e ( + ) ( + ) f e ( + ) + e f e ( + ) ; f > en hay un mínimo. f e ( + ) ( + ) hay un unto de infleióni. f > + > > ; en, f crece y en, decrece. A, ero también A 9 Alicamos la fórmula de integración or artes ara calcular una rimitiva de f ( ) e d u du d e dv e d v e d e e e e e d e d 9 ( ) e e d 9 e 9 9 Igualando la integral definida al valor del área obtenemos ( ) ( e e ) Matemáticas II. [5]

6 Eamen. ª evaluación 4//8 Ejercicio. (Puntuación máima: untos) De la función f ( ) se sabe que asa or el origen de coordenadas y que su derivada es la función f e. Encontrar la eresión de + f. f ( ) será una rimitiva de f y además cumle que f. dt d dt dt ln t ln t + ln e ln e + ln e + + e + t t t t + t t + dt dt cambio e t e d dt d d e t A B A( t + ) + Bt ( A + B) t + A A + B B + t ( t + ) t t + t ( t + ) t ( t + ) A ln ( + ) +, ( ) ln + ln f e c ero f c c f ln + e + ln Ejercicio 4. (Puntuación máima: untos) Calcula las integrales: sen sen a) d d ln ( 5 cos ) c 5 cos + 5 cos b) d * d d + d d + d ( + 4) A + M M 8 A M + N A + 4A + M + N ( A + M ) + N + 4A + ( ) ( N ) ( + 4) 4A 8 A d d d arctg ( ) 4 (*) 8 d ln + ln ( + 4) + arctg + c Matemáticas II. [6]