1. Ejercicios propuestos

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1 Coordinación de Matemática I (MAT0) er Semestre de 05 Semana : Guía de Ejercicios de Cálculo, lunes 6 viernes 0 de Marzo Contenidos Clase : La Ecuación Cuadrática. Inecuaciones de grado, con y sin valor absoluto. Clase : Inecuaciones Generales. Conjuntos acotados. Axioma del supremo.. Ejercicios propuestos.. Resolver las siguientes inecuaciones: a) (x )4 (x 3) x (x + x + ) 0 c) x x b) x + x 3 d) x 3x... Calcular los valores de k para que una raíz de la ecuación: ( k 3 ) x 3 (k ) x 5k = 0 sea..3. Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 45 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¾cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?..4. El número de diagonales de un polígono de n lados está dado por D = n(n 3). Encontrar el polígono que tiene a lo más 54 diagonales..5. Un rectángulo de mt de largo y 0 mt de ancho se les cortan cuadraditos en cada una de sus esquinas ( congruentes) de lado x. Determinar los posibles valores de x para que el área de la base de la caja esté entre 48 y 5 metros cuadrados..6. Dos personas parten de un mismo punto y al mismo tiempo dirigiéndose por dos caminos perpendiculares. Sabiendo que la velocidad de una de ellas es 4 K h más que la de la otra y que al cabo de h distan a lo mas 40 km. Hallar las posibles velocidades..7. A un rectángulo de lados 0 cm. y cm. se le cortan cuadraditos de lado x en sus cuatro esquinas, quedando una matriz para construir una caja, levantando las aletas que resultaron de extraer los cuadraditos. Encontrar todos los valores de x para los cuales la base de la caja sea mayor o igual a Encontrar todos los x R tales que x x + x x = MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo)

2 .9. Determine el conjunto de números reales tales que: x 5 x + 3 < 4.0. ¾Qué valores deben tener a y b para que el conjunto solución de x a b sea igual al conjunto solución de x 7x 8 0?.. Determine a R + de modo que el valor absoluto de la diferencia entre las raíces de la ecuación ax x+a = 0, sea menor que.. Encontrar los valores de a R para los cuales se cumple que { x R : ax a (a ) x + a < 0 } = R.3. ¾Para qué valores de a R la ecuación ( a) x + x + ( a) tiene sus soluciones reales e iguales?.4. Determinar los valores de a R para los cuales el número 3 se encuentra entre las raíces de la ecuación 4x (a + ) x + ( a) = 0.5. Resolver a) x x+3 x+4 x 6. b) x 4 x+3 3x. c) x+ x. d) x x x x+ < x..6. Pruebe que: a) x + 4 < 4x+6 9 < 8 b) 0 < x + 4 < 4x+6 9 < 3.7. Si y Hallar (A B) c (B A c ). A c x 7 3x + 9 = {x R/ 0} x 3 B = {x R/ x x x 0}.8. Determine el o los valores de la constante a R de manera que el problema Tenga como solución al intervalo (0, 6). x 6x + 5 < a.9. Para cada uno de los siguientes conjuntos, determinar supremo, ínmo, máximo, mínimo, conjunto de las cotas superiores, conjunto de las cotas inferiores a) A = { / } n n N b) B = { x R / x < } d) D = R + 0 e) E = {x Z /x < 4} c) C = {x R / x > 3} f) F = [, π). Ejercicios propuestos que incluyen respuesta MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo)

3 .. x 3 x+ + x 5 x =.. x a = a x.3. 4x 9x 6x = x x < x 3x x+ > x.6. x (x + ) (x ) > 0.7. x x+ > x x+ x +x+.8. x(x )(x ) > 0.9. x+ 3 > 3.0. x + x >.. (x +x ) x +x+ x x+6 x 4.3. x + 4 x.4. 3x 7 < x + < 3.6. x x < 0.7. Determinar los valores de a R, para los cuales a 3 + > a + a.8. Si a, b y c son números positivos no iguales entre si, (a + b + c) > a + b + c.9. Pruebe que si a, b son números positivos y a > b, se cumple que:.0. Que valor debe tener k en la ecuación para que las dos raíces sean iguales. a b a + b > a b a + b 9x + (8 + k) x + k = 0.. ¾Cuál es el número cuyos 3 4 más 9, multiplicados por los 3 4 menos 9, resulta 008? 3. Ejercicios Resueltos 3.. Probar que si x, y, z R entonces x + y + z xy + yz + zx utilizar esta desigualdad para concluir que si x, y, z R + {0} y x + y + z 0 entonces x 4 + y 4 + z 4 x + y + z xyz 3.. El conjunto solución de la inecuación 6x 5x + 0 es ], r] [s, + [, determine r y s. Usando los valores de r y s anteriores, encontrar una cuadrática ax + bx + c tal que el conjunto solución de ax + bx + c 0 sea [ r, s ] Resolver la ecuación x x + x x = 3.4. Sean los conjuntos: Determine: A B y A B A = {x R : + x 3 x + 3 < }, B = {x R : x 3 x } 3.5. Determine la solución de la inecuación: x + x + x < x x + x MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 3

4 3.6. Encuentre el conjunto solución R de la inecuación x 5 < x + x Sean y determine el conjunto A B c. A = { } x R : x3 + x x + 3 x + B = {x R : x + 5 < } 3.8. etermine el valor de a R + para que el conjunto solución de sea ], [ Hallar los valores de m en R para que la ecuación no tenga soluciones reales. x a < x (m + 5) x + 3mx 4 (m 5) = Resolver la inecuación x 4x + 3 < x Resolver la inecuación x 4 0 x + 8x 3.. Determine el conjunto solución de x + x + 8 x Determine el valor de a R + sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es ], [ ], + [ Encuentre el conjunto solución de la inecuación 3.5. Determine el conjunto solución para < x + a x a x x 3 (x )(x + ) 3 x x x + x + 3x Considere la ecuación: ε : (α + ) x + (α ) x + 4 = 0 Determine los valores de α de modo que ε no tenga raíces reales y además: { } α x R : 3x + < x MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 4

5 Respuestas y desarrollos. x = 0, x = 9. x = a, x = a.3 x = 6 6, x = ( 3, ).5 (, ) ( 5, ).6 (, 0) (, ).7 (, ) (, ).8 (0, ) (, ).9 (, ).0 (, ) (, ). (, ] [, 3) (3, ). No tiene solución..3 (, 4] ( ).4 0, No tiene solución..6 (, ) (, ).7 (, ) (, )..0 k = {6, 4}. x = 44, x = Del ejercicio anterior tenemos que para x, y, z R se cumple x + y x + z y + z sabemos que si a b y c d entonces a + c b + d se sigue ( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) + + xy + xz + yz sumando se obtiene xy xz yz x + y + z xy + xz + yz para la desigualdad que sigue podemos hacer lo siguiente, pongamos x = a, y = b, z = c en la desigualdad anterior (entonces estamos asumiendo que x, y, z 0) luego pero note que y aplicando otra vez la desigualdad se obtiene así a 4 + b 4 + c 4 a b + a c + b c a b + a c + b c = (ab) + (ac) + (bc) (ab) + (ac) + (bc) (ab) (ac) + (ab) (bc) + (ac) (bc) = abc (a + b + c) a 4 + b 4 + c 4 abc (a + b + c) si a, b, c 0 y a + b + c 0, se tiene a + b + c > 0 y luego podemos multiplicar por su inverso y no cambia la desigualdad a 4 + b 4 + c 4 abc a + b + c 3. Notemos que 6x 5x + 0 (3x ) (x ) 0 MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 5

6 luego la solución es ( [, 3], ) de donde obtenemos r = 3 y s =. Queremos que la solución de sea [ r, s ] es decir, [ 3, ] = [ 3, ] luego ax + bx + c 0 (x + 3) (x ) 0 tiene esa solución. 3.3 Reordenemos la ecuación en la forma (x ) x + (x ) x = y pongamos k = x 0 entonces k + 4 4k + k + 9 6k = completamos los cuadrados luego la ecuación es la resolvemos utilizando tabla (k ) + (k 3) = k + k 3 = 3 x x Si 0 k la ecuación es es decir (k ) (k 3) = k + k + 3 = k = como estoy dentro de la restricción 0 k obtengo la solución k = es decir x = 5.. Si < k < 3 entonces la ecuación queda [(k ) (k 3) = ] [ = ] 3. es decir, todos los elementos de este intervalo son solución, se sigue que 5 < x < 0 esta en el conjunto solución de la ecuación. 4. Si 3 k entonces la ecuación es [(k ) + (k 3) = ] k = 3 se sigue que k = 3 es solución (esta dentro de la restricción) y así x = 0 es solución. De todo esto el conjunto solución de la ecuación es [5, 0]. + x La expresión x + 3 Restricción: R { 3} está denida en R, si x + 3 0; es decir: Entonces: + x 3 x + 3 < + x 3 < x + 3 Caso i) Si x < 3 (x 3) < (x + 3) x > 7 MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 6

7 S i = Caso ii) Si 3 < x < 3 (x 3) < x + 3 x + 3 < x + 3 Caso iii) x > 3 S ii = ] 3, 3 [ Si x 3 + x 3 < x + 3 x < 5 S iii = [ [ 3, 5 S F = S i Sii Siii = ] [ 3, 5 = A Por otro lado: x 3 x Luego la restricción es: R = {x R : x > 0} =], ] [, [ ahora se tiene: x 3 x x 6x + 9 x 6x 0 Luego: A B = [ 5 3, 5[ y A B = ] 3, [ x 5 3 [ [ [ [ 5 5 S T = (R ], [) 3, = 3, = B 3.5 Pero x R(x x + > 0), luego: x + x + x < x x + x x x + x + x < 0 x x + x + x x + x < 0 (x )(x + ) < 0 x (, ) 3.6 Usando la denición de valor absoluto en los intervalos (, ], (, 5) y [5, ), se tiene que: MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 7

8 Para x, la inecuación es x > 3, luego no hay soluciones en (, ], y tenemos una primera solución S =. Para < x < 5, la inecuación es 7 < 3x, esto es x > 7 3, luego S = (, 5) (7/3, ) = (7/3, 5) Finalmente, para x 5, la inecuación se transforma en x > 3 y por lo tanto S 3 = [5, ) ( 3, ) = [5, ) De modo que la solución nal es S = S S S 3 = (7/3, 5) [5, ) = (7/3, ). 3.7 Para encontrar los elementos de A resolvemos la inecuación pero x 3 + x x + 3 x ( x + ) x + 3 x x + 3 x + x + x x + 3 x x 3 0 x + 3 x que tiene por solución ], 3[ y x + 5 < tiene solución ] 6, 4[ entonces A B c = ], 3[ (], 6] [ 4, + [) = ], 6] [ 4, 3[ 3.8 Analizaremos los signos de los factores de la inecuación para quitar los valores absolutos: entonces: 0 a x a x i) Si x 0 se tiene (x a) < x a < 0 a < de esto podemos concluir que si a < entonces x 0 forma parte de la solución, se sigue a (la solución no contiene a los negativos) ii) Si 0 < x a entonces (x a) < x a < x a < x como a se tiene a 0 así ] a, a] es parte de la solución. MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 8

9 iii) Si x > a entonces como a > 0 así ]a, + [ es parte de la solución (x a) < x < a La solución de esta ecuación es ] a, + [ bajo el supuesto a, se sigue que a = a = 3.9 La ecuación no tiene raices reales si el discriminante es negativo, el discriminante es = (3m) 4 (m + 5) ( 4 (m 5)) luego tiene por solución el intervalo ] 4, 4[. 5m 400 < Como x 4x se debe tener x + > 0 esto es, tenemos como restricción x >. Veamos ahora la restricción para que el radical este bien denido x 4x (x ) (x 3) 0 esto es x ], ] [3, + [ entonces la restricción para esta inecuación es x ], ] [3, + [. x 4x + 3 < x + x 4x + 3 < (x + ) 6x < 0 así x > 3 4 de la restricción obtenemos por solución ] 3 4, ] [3, + [ 3. Notemos que x + 8x = x 4 + 8x 0 se sigue x 4 + 8x = x 4 + 8x luego x 4 0 x + 8x x 4 0 x 4 + 8x pero esta última inecuación es equivalente a ( x 4 0 ) ( x 4 + 8x ) MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 9

10 así ( x 4 0 ) ( x 4 + 8x ) 0 ( x 4 0 ) ( x 4 + 8x ) 0 4 (x ) (x + ) ( x + 5 ) ( 4x + 5 ) 0 (x ) (x + ) ( x + 5 ) ( 4x + 5 ) 0 como x + 5 > 0 y 4x + 5 > 0 se sigue luego la solución de la inecuación es x 4 0 x + 8x (x ) (x + ) 0 S = ], ] [, + [ 3. La restricción es R = {x R : x 3 0 x 3 0}. Por otra parte, se tiene: x 3 0 x 3 x 3 x 3 x ], 3] [3, 8[ además se tiene que x 3 = 0 x 3 = x 3 = x = 4 x = 4 x = 4 por lo tanto el conjunto restricción de la inecuación es : R = (], 3] [3, [) { 4, 4} se observa que el numerador x + x + 8 > 0, x R, por lo que el problema se reduce a resolver la inecuación: x 3 > 0 x 3 > 0 x 3 < x < 4 x ] 4, 4[ luego el conjunto solución es 3.3 Notemos que es equivalente a ] 4, 3] [3, 4[ < x + a x a < x a MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo) 0

11 y la solución de esta inecuación es ( < x a ) ( x a < ) luego ( ( + a < x ) x < ) a así S = ], [ ] + a a, [ ] [ a + a, + como el conjunto solución debe ser ], [ ], + [ se sigue a =. (a = queda descartado por las condiciones del problema) 3.4 Inmediatamente descartamos los puntos {, }. Por otro lado, se ve que (x x 3) es siempre negativo, así que x x 3 = x x + 3. Ahora analizaremos los casos: Se analiza el caso < x < y se llega a x + x + 9 0, lo que no se satisface nunca: No hay soluciones. Se analiza el caso x < y se llega a x + x + 9 0, lo que se satisface siempre. Soluciones: (, ) Se analiza el caso x > y se llega a x 5x 3 0 y se obtienen los intervalos (, 5 37 ] y [ 5+ 37, ). Luego se descarta el primer intervalo ya que x >. Por lo tanto, la solución nal es (, ) [ 5+ 37, ). 3.5 Note que la ecuación x +3x = 0 tiene raíces x =, x =, de esta manera se sigue que x +3x 0 siempre que x [, ], y x + 3x 0 siempre que x (, ] [, ). Luego (3.5), para x [, ] es equivalente a x 5x + 3 0, cuyo conjunto solución es [, 3/]. Así (3.5) es válida si x [, ] [, 3/] = [, 3/]. Por otro lado (3.5), para x (, ] [, ) es equivalente a x 0, cuyo conjunto solución es (, ]. Así (3.5) es válida si x (, ] [, ) (, ] = (, ]. Por lo tanto (3.5) es siempre válida si x [, 3/] (, ] = (, 3/], y la clave es a). 3.6 La condición sobre las raíces de la ecuación ε es equivalente a la inecuación: (α ) 4 (α + ) 4 < 0 o bien: cuya solución es α (0, 3). Por otro lado, que: (α ) < α + α {x R : 3x + < x } signica que α es solución de la inecuación: 3x + < x Esto es, x [, 0]. Como las condiciones deben ser simultáneas, se tiene que: α [, 0] (0, 3) = Por tanto, no existen tales valores de α. MAT0 Primer Semestre 05 (Cálculo)