EJERCICIOS DE CÁLCULO 10 - MATEMÁTICA I

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES NÚCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA VENEZUELA EJERCICIOS DE CÁLCULO 0 - MATEMÁTICA I PROF LUIS BERBESÍ PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE CÁLCULO 0 - MATEMÁTICA I, DIRIGIDOS A ESTUDIANTES DEL CICLO BÁSICO DE INGENIERÍA, INGENIERÍA AGRÍCOLA Y EDUCACIÓN, MENCIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA, DEL NÚCLEO UNIVERSITARIO RAFAEL RANGEL DE LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES TRUJILLO, VENEZUELA

2 Capítulo Números reales Encuentre la representación decimal de las siguientes fracciones sin usar calculadora): ) 7 ) ) 4) ) 99 ) ) 4 8) 4 9) ) ) ) ) 9 4 4) 4 4 ) Escriba cada uno de los siguientes números como el cociente de dos números enteros: ), ), ) 0, ) 0, 444 ) 0, ) 0, 7) 0, ) 0, ), 0) 4, ) 0, ) 0, 444 Construir dos números irracionales a partir de los siguientes números: ), ) 0, ) 0, 444 4) 0, ) 0, ) 4, 4 Efectuar las siguientes operaciones: ) [ )+7] ) [ +7 8) 4] ) [4 + 4)] 4) [7+8 )] [ 9)+] 4) ) [ 4 7)] [8 7+ )] ) { [ 7)]+ [ + )4]}

3 Capítulo : Números reales Efectuar las siguientes operaciones entre fracciones: ) ) 7 ) ) 7 ) ) ) ) ) ) 4 ) Realizar las siguientes operaciones entre intervalos ) [, ] 0, ) ) [,+ ), 7] ) ), ), ) 4), ), ), 0] 0, ) ), 0] 0, ) 7), ) 4,+ ) 8) [, 4) 9), ) [, ) 0), 0] 0, ) ), 4] ), 0),+ )), 4), )) ) ), 4], ] [,+ ) 7 Efectuar las siguientes operaciones con potenciación: ) ) ) ) 4 8 4) a m b n ) x ) { [ ) 0 + ] 4 }+ 0 ) ) +[ 7)] 9+) 8 Simplificar las expresiones dadas y dar una respuesta sin exponentes negativos: ) ) ) ) ) 0 ) 4 ) ) ) 7 4 ) [ ) ] 0 4) x ) x y ) x y ) x y ) y ) ) a b) a b ) ) x y ) / x 4 y 4 x 4 y xy ) / 9 Resolver ) 4 ) ) 4 ) + ) ) [ 4 ) ) ] [ ) ]

4 Profesor Luis Berbesí 0 Reducir a radicales semejantes y operar: ) ) ) ) ) 0 + ) + 4 Racionalizar: ) ) ) 4) 4 ) ) 7) + 8) ))+ 4 9) ) ) +

5 Capítulo Polinomios, ecuaciones e inecuaciones Polinomios Efectuar las siguientes operaciones entre polinomios e indicar el grado del polinomio resultante ) x 8x + x )+ 7x + x x+9) ) 4 x x+ ) x 8 x + x 7 ) ) x 8x )+ 9x + x x+9) 4) 4 x x+ ) x 4 x x 7 ) ) x + x )x 4 + x ) ) x ) x + x ) 7) x )x+)+4xx ) 8) [4x+) x + )][x x)+x )] Efectuar la división propuesta Indicar el cociente qx) y el resto rx) ) x 7 x + x + x x entre x x + x ) x 4 entre x ) y y + y+ entre y 4 4) x + x x entre x x+ ) 4x 4 + x + x 7 entre x x+ ) z 7 z + z + z z+ entre z 4 z+ 7) x 8x + x entre x + x 8) 7x + x x+9 entre x + En los problemas siguientes, efectuar la división indicada aplicando la Regla de Ruffini Indicar el cociente qx) y el resto rx) ) x 7 x + x + x x+ entre x ) x 4 entre x ) z 4 z + z z+7 entre z+ 4) y y + y+ entre y ) x + x x entre 4x ) x 4 + x x+ entre x 4 7) 4x 4 + x + x 7 entre x 8) x 4 + x 9 4 x 4x entre x+ 4

6 Profesor Luis Berbesí 4 Factorizar las siguientes expresiones ) a x+8ax ) a xy 4x y 4 ) 4ax + a y 8ay 4) a+b )a + ) a ) ax ay+a x+y ) a x bx + a y by 7) x y+xz + y z + xy 8) x + x 48 9) x + 7x+4 0) 9x x 0 ) 400z + 40z+ ) x 4x ) y + 0y 7 4) z + 4z ) a a+ ) y + 8y 9 7) a 0a+ 8) x + x 4 9) x + x 0) 8x + 0x+ Complete cuadrado en cada una de las siguientes expresiones: ) x x+ ) x x+8 ) x 4x+ 4) x x+ 7 ) x x ) x + y x 4y+ 7) x 4x+7 8) x 4x+ y 9) x + x+y 0) x 4x 0 ) x 4x+ 4 ) x 8x+ 4 Simplifique las siguientes expresiones: ) x + 9x x + x+ 9 ) 4 4x x ) x+h) x h 4) x 0x+ x+ x+ x 9 x+x ) x 7x+ 8 x ) x 4x+ 4 7) x 9 x x 8) x + x+ x 4 9) x+h) x h 0) x)x+)+x+ )x 4) x+ ) x) ) x + x+ x + 4x+ x 4x ) 0x + 0x ) x+ xy ) y x y x 4) x+ x ) x x y y+ ) a a+ + a+ a ) x+ x+ x x ) )

7 Capítulo : Polinomios, ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones e inecuaciones Resolver las ecuaciones dadas ) x ) = x+7)+ x ) x ) = x+ ) 4 ) x 4 x = 7 4x 4) x ) x = +x x ) x ) = x ) = 9x+7 0x 9 7) x )x+) = x+)x )+ 8) x )x )+ x = x )x+)+ 9) x )x 4)x 7) = 0 0) x 7 = x + 4 ) x+ = ) x+4 7 x = 4 ) x+) 4 = x+7 4) x+ x = 0 ) x+ x = Reducir las siguientes ecuaciones a ecuaciones lineales, y luego resolverlas Verificar que los valores encontrados son soluciones de las ecuaciones originales ) x = x+ x x + x x ) x+ x x = x x 4 ) x + 4x+ 4 = x 4) 4x+ 4x = 4x 4x+ + x ) x+ = 0 ) x 8 + = 7) x = x 8) z+7 z = 9) 9x 0x = x 8 0) x 4x+ = 0 Encontrar el conjunto solución de las siguientes desigualdades y representarlo en la recta real ) x + x + x+ < 0 ) x x+ < ) x 4x+ > 0 4) x < ) x < 0 x ) x + 9 x 9 0 7) x )99 x 77 x+) 0 8) x + x < 9) x+)x )x ) < 0 0) x )x ) x ) 0 ) x 7 < x ) < 4x 9 < ) x+ 4) x+ 4 ) x+ 9 x ) x+ 7) + x 7 < x+ 0 8) > 9) + x < x 0) x+ 4)x ) 0

8 Capítulo El plano cartesiano Represente los siguientes puntos en un mismo sistema de coordenadas cartesianas: ) P =, ) ) P =, 4) ) P =, ) 4) P 4 =, π) ) P =, 7 ) Halle la distancia entre los siguientes pares de puntos: ) ) 7 ) P =, ; Q =, 0) ) P =, ; Q = ), 7, ) 8 ) 7 ) P = ; Q =, En los siguientes pares de puntos, encontrar el punto medio del segmento que los une ) P = 0, 0), Q =, ) ) P =, ), Q =, ) ) P =, ), Q =, ) 4 Verifique que el triángulo cuyos vértices son: A =, ), B =, 4) y C = 0, 8) es isósceles Según las longitud de sus lados, qué tipo de triángulo es el determinado por los puntos A =, ), B = 4, ) y C =, 4)? Tres puntos son colineales están alineados) si la suma de las distancia entre dos pares de puntos es igual a la distancia del tercer par Usar este criterio para mostrar que los puntos A =, ), B =, 9) y C =, ) son colineales 7 Probar que los puntos A =, ), B = 4, ) y C =, ) son colineales 8 Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y grafique cada una de ellas: 7

9 Capítulo : El plano cartesiano ) P =, ); Q =, ) ) P =, ); Q =, ) ) P =, ); Q = 4, 7) 4) P =, 4); Q = 0, ) 9 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene pendiente indicada Grafique cada una de ellas: ) P =, ), pendiente: ) P =, 4), pendiente: ) P =, 4), pendiente: 4) P = 4, 7), pendiente: 4 0 Halle la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta x+ y+ = 0 por el punto P =, ) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P =, /) y que sea paralela a la recta que pasa por los puntos Q =, ) y R =, 4) Halle la ecuación de la recta que pasa por, ) y es: ) Paralela al eje X ) Paralela al eje Y ) Paralela a la recta y = x+ 4) Perpendicular a la recta y = x + ) Paralela a la recta x+ y = ) Perpendicular a la recta x + y = 7) Paralela a la recta x = 8 8) Perpendicular a la recta x = 8 Hallar la distancia del origen a la recta 4x+y = 0 4 Hallar la distancia del punto P = 0, ) a la recta x y 0 = 0 Hallar la distancia del punto P =, ) a la recta x y = Hallar la distancia de Q =, ) a la recta que pasa por P = 4, ) y es paralela a la recta 4x+ y = 0 7 Cada una de las siguientes ecuaciones representa una circunferencia Halle el radio y el centro de las mismas, grafique cada una de ellas ) x + y 4x+ y = 0 ) x + y x 4y+ = 0 ) x + y x y+9 = 0 4) x + y x+4y+79 = 0 ) x + y x y+70 = 0 ) x + y 7x y+8 = 0 7) x + y + 8x = 0 8) x + y 0y+9 = 0 9) x + y + x+ y+ = 0 0) x + y + x y = 0 8 Halle la ecuación general de la circunferencia que tiene radio r y centro C Grafique cada una de ellas: ) r =, C =, ) ) r = 4, C = π, π) ) r =, C =, ) ) r =, C =, ) 4) r =, C =, ) ) r =, C =, 4 ) 8