Coordinación de Matemática I (MAT021)

Transcripción

1 Coordinación de Matemática I (MAT01) Taller Primer semestre de 01 Semana 1: Lunes 6 viernes 30 de marzo Ejercicios Ejercicio 1 1. Sea x 0 un número real, mostrar que si x 0 < r para todo r > 0 entonces x 0 = 0.. Muestre que si a, b R entonces a + b ab 3. Probar que si x, y, z R entonces x + y + z xy + yz + zx utilizar esta desigualdad para concluir que si x, y, z R + {0} y x + y + z 0 entonces x 4 + y 4 + z 4 xyz x + y + z Ejercicio 1. Resolver la inecuación x + 1 x 3 < x + x 1. Muestre que si x 1 < 1 entonces x x < A x 1 para algún valor de A R. 3. Resolver la ecuación x x 1 + x x 1 = 1

2 Ejercicio 3 Luego de un crimen se comprueban los siguientes hechos: 1. El asesino de Don Juan es su hijo Pedro o su sobrino Diego.. Si Pedro asesinó a su padre entonces el arma está escondida en la casa. 3. Si Diego dice la verdad entonces el arma no está escondida en su casa. 4. Si Diego miente entonces a la hora del crimen, él se encontraba en la casa. 5. Diego no esta en la casa a la hora del crimen. Quién es el asesino? Ejercicio 4 Consideremos el nuevo conectivo lógico, (p q) se lee ni p, ni q. (p q) es verdadera si y solo si p y q son ambas falsas, demostrar las siguientes equivalencias lógicas: 1. p (p p). p q ((p q) (p q)) 3. p q ((p p) (q q)) Ejercicio 5 Determinar una forma proposicional A (p, q, r) cuya tabla de verdad sea la siguiente: p q r A (p, q, r) V V V F V V F F V F V F V F F V F V V V F V F V F F V F F F F V Taller Mat01

3 Soluciones 1. Este primer ejercicio tiene relación con las propiedades de orden en los números reales: a) Sea x 0 R un número real tal que, para todo r > 0 se cumple x 0 < r entonces x 0 = 0. En efecto, el contrarecíproco de esta proposición es: Si x 0 0 entonces existe un r > 0 tal que x 0 r, podemos demostrar el contrarecíproco por método directo si x 0 0 entonces x 0 > 0 luego existe un r = x 0 > 0 tal que luego la proposición inicial es verdadera. b) Muestre que si a, b R entonces x 0 r = x 0 > 0 a + b ab Desarrollo: Sabemos que para todo x R se cumple x 0, luego si a, b R de esto obtenemos (a b) 0 a ab + b 0 al sumar un número a ambos lados de una desigualdad esta no cambia a + b ab como = > 0 se sigue que su inverso multiplicativo es positivo 1 > 0 (si es negativo entonces 1 = ( ) 1 < 0 lo que es una contradicción), así, al multiplicar la desigualdad por 1 esta no cambia a + b ab c) Probar que si x, y, z R entonces x + y + z xy + yz + zx utilizar esta desigualdad para concluir que si x, y, z R + {0} y x + y + z 0 entonces x 4 + y 4 + z 4 x + y + z xyz Desarrollo: De la parte b) tenemos que para x, y, z R se cumple x + y x + z y + z sabemos que si a b y c d entonces a + c b + d se sigue ( x + y ) + ( x + z ) + xy xz yz ( y + z ) xy + xz + yz Taller Mat01 3

4 sumando se obtiene x + y + z xy + xz + yz para la desigualdad que sigue podemos hacer lo siguiente, pongamos x = a, y = b, z = c en la desigualdad anterior (entonces estamos asumiendo que x, y, z 0) luego pero note que a 4 + b 4 + c 4 a b + a c + b c a b + a c + b c = (ab) + (ac) + (bc) y aplicando otra vez la desigualdad se obtiene así (ab) + (ac) + (bc) (ab) (ac) + (ab) (bc) + (ac) (bc) = abc (a + b + c) a 4 + b 4 + c 4 abc (a + b + c) si a, b, c 0 y a + b + c 0, se tiene a + b + c > 0 y luego podemos multiplicar por su inverso y no cambia la desigualdad a 4 + b 4 + c 4 a + b + c abc. Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto de primer orden. a) Resolver la inecuación x + 1 x 3 < x + x 1 Desarrollo: Un camino para resolver esta inecuación es utilizar las propiedades del valor absoluto y resolver varias inecuaciones, aquí vamos a emplear la técnica de quitar los valores absolutos restringiendo x a intervalos convenientes. En la inecuación aparecen los términos x 3, x y x 1 conocemos el comportamiento de cada uno de ellos (cuando es positivo o negativo) para x R, vamos a crear una tabla donde se analiza el comportamiento de estos términos de manera simultánea 1 3 x x x vamos a buscar soluciones de la inecuación en 4 casos x 1, 1 < x, < x 3 y x 3 1) Para x 1; En este caso los tres factores x 3, x y x 1 son negativos, se sigue que x 3 = (x 3), x = (x ) y x 1 = (x 1) (note que si x = 1 se sigue cumpliendo la igualdad x 1 = (x 1)), luego la inecuación en este intervalo es: note que x 1 0 luego resolvemos x (x 3) < (x ) (x 1) x < 3 x (x ) < 3 x < 3 lo que es siempre verdad, luego la inecuación se cumple para x 1. Taller Mat01 4

5 ) Si 1 < x entonces la inecuación es x x 3 < (x ) + x 1 esto es esto es así luego x < 1 1 < x < 1 1 < x < 3 1 < x < 3 luego en el intervalo 1 < x para 1 < x < 3 se cumple la inecuación. 3) Si < x 3 la inecuación queda lo que es equivalente a x x 3 < x + x 1 x < x 3 en este intervalo podemos quitar el valor absoluto así x < x 3 < 3 lo cual es una contradicción, no hay soluciones en este intervalo. 4) Si x > 3 la inecuación queda x + 1 (x 3) < x + x 1 o equivalentemente lo que tiene por solución 4 < x 3 x > 7 luego en este intervalo tenemos las soluciones x > 7. Hemos buscado partes de la solución de la inecuación en distintos intervalos convenientes luego la solución es la unión de las soluciones encontradas: ] S =, 3 [ ] [ 7, + b) Muestre que si x 1 < 1 entonces existe A R para el cual x x < A x 1 Desarrollo: Notemos que x x = 3 x 1 x + 1 Taller Mat01 5

6 pero si x 1 < 1 entonces 1 < x 1 < 1 1 < x + 1 < < 1 x + 1 < 1 y así, para x 1 < 1 se cumple x x = 3 x 1 x + 1 < 3 x 1 c) Resolver la ecuación x x 1 + x x 1 = 1 Desarrollo: Reordenemos la ecuación en la forma (x 1) x 1 + (x 1) x 1 = 1 y pongamos k = x 1 0 entonces k + 4 4k + k + 9 6k = 1 completamos los cuadrados luego la ecuación es la resolvemos utilizando tabla (k ) + (k 3) = 1 k + k 3 = 1 1) Si 0 k la ecuación es es decir 3 x x (k ) (k 3) = 1 k + k + 3 = 1 k = como estoy dentro de la restricción 0 k obtengo la solución k = es decir x = 5. ) Si < k < 3 entonces la ecuación queda [(k ) (k 3) = 1] [1 = 1] 3) es decir, todos los elementos de este intervalo son solución, se sigue que 5 < x < 10 esta en el conjunto solución de la ecuación. 4) Si 3 k entonces la ecuación es [(k ) + (k 3) = 1] k = 3 se sigue que k = 3 es solución (esta dentro de la restricción) y así x = 10 es solución. Taller Mat01 6

7 De todo esto el conjunto solución de la ecuación es [5, 10]. 3. Usaremos los siguientes símbolos: p : El asesino es su hijo Pedro q : El asesino es su sobrino Diego r : El arma esta escondida en la casa. s : Diego dice la verdad t : Diego estaba en la casa a la hora del crimen Entonces las siguientes proposiciones son verdaderas: p q, p r, s r, s t, t se sigue, t es falsa, s t es verdadera pero t es falsa luego s es falsa, así s es verdadera, si s es verdadera y s r es verdadera entonces r es verdadera luego r es falso, esto permite concluir que p es falsa y así como p q es verdadera se sigue que q es verdadera, El asesino es su sobrino Diego. 4. Se pueden construir tablas de verdad para demostrar estas propiedades: a) b) se sigue p (p p) p p (p p) V F F F V V p q (p q) (p q) (p q) (p q) V V V F F V F V F F F V V F F F F F V V c) se sigue (p q) (p q) (p q) p q (p q) (p p) (q q) (p q) (p q) V V V F F V V F F F V F F V F V F F F F F V V F 5. Mirando las líneas de la tabla en las cuales A es verdadera podemos interpretar A por: (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) = A (p, q, r) esta expresión se puede simplificar a A (p, q, r) = (p q) (q r) Explicación un poco más detallada: La forma (p q r) es verdadera si y solo si p es verdadera, q es falsa y r es falsa, lo que hacemos es crear formas que sean verdaderas solo para una combinación en la cual A (p, q, r) es verdadera, después conectamos tales formas con el conectivo esta forma será verdadera si alguna de ellas es verdadera. Taller Mat01 7