crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez, y si decrece tomando valores negativos escribimos

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Héctor Morales Lara
hace 7 años
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1 Límites infinitos y límites al infinito El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como (que se lee: tiende a menos infinito). Similarmente, cuando mayores, se escribe. crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez, y si decrece tomando valores negativos escribimos Consideramos la función definida por para. Vamos a determinar el comportamiento de la función cuando cuando y cuando. Para ello nos ayudamos de las tablas siguientes: a. En este caso, cuando, la función tiende a tomar valores positivos cada vez mayores. Esto podemos escribirlo como, es decir b. Ahora, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, cuando, o sea.

c. Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero. Así, o sea, cuando. d.

2 c. Ahora observe que es la que tiende a tomar valores positivos cada vez mayores, obteniendo como resultado que tiende a valores cercanos a cero. Así, o sea, cuando. d. En forma similar a la tabla anterior se tiene que cuando es decir, Podemos representar gráficamente el comportamiento de la función forma siguiente. en la Consideramos ahora la función definida por para, cuya representación gráfica es la siguiente:

Podemos decir que: a. y b. y Ejercicio Determine:,,,,,, utilizando para ello la función. Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito.

3 Podemos decir que: a. y b. y Ejercicio Determine:,,,,,, utilizando para ello la función. Daremos ahora algunas definiciones sobre límites infinitos, y límites al infinito. Definición Se dice que crece sin límite cuando tiende a, que se denota, si para todo número real, (sin importar su magnitud), existe tal que siempre que. Gráficamente se tiene:

Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de.

4 Esta definición nos dice que es posible hacer tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando suficientemente cerca de. Ejemplo Consideremos la representación gráfica de la función definida por: Demostremos ahora que Para hacer la prueba, debe establecerse que dado un existe tal que. Observe que:.

5 Luego, dado, escogemos de tal forma que se satisfaga que. Si tomamos, por ejemplo, cuando, es decir, cuando. Definición Se dice que decrece sin límite cuando tiende a, que se denota por, si para todo número real, existe una tal que Gráficamente se tiene que: La definición anterior afirma que es posible hacer negativo, tomando suficientemente cerca de. menor que cualquier número Ejemplo Consideremos la representación gráfica de la función definida por

Demostremos ahora que Para hacer la prueba debe establecerse que dado un, existe siempre que Observe que ). (el sentido de la desigualdad cambia pues Además.

6 Demostremos ahora que Para hacer la prueba debe establecerse que dado un, existe siempre que Observe que ). (el sentido de la desigualdad cambia pues Además. Note que sí tiene sentido pues Luego, si y solo si por lo tanto tomamos. Así, dada, existe, tal que siempre que Si por ejemplo, tomamos entonces o sea, por lo que siempre que Definición Se dice que tiende a cuando tiende a por la derecha, y se escribe, si se cumple que a cada número positivo, (tan

7 grande como se quiera), corresponde otro número positivo de ) tal que., (que depende Similarmente, se dice que tiende a cuando tiende a por la izquierda y se escribe si siempre que (Observe que es mayor que cero pues ya que ). -El comportamiento de la función definida por cuando, está regido por la definición anterior. Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente. -Los símbolos y se definen análogamente, escribiendo en vez de. (note que si entonces ) Gráficamente se tiene: En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el valor absoluto), es decir, se tiene que y cuando Definición Se dice que cuando es decir, si para cada número positivo existe otro número positivo, tal que.

Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como sigue: Observe que y que Podemos anotar que Ejemplo: Demostraremos que Para probar este límite, se debe establecer que dado

8 Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función como sigue: Observe que y que Podemos anotar que Ejemplo: Demostraremos que Para probar este límite, se debe establecer que dado un, debe existir siempre que Ahora, como si y solo si, entonces, para cualquier número, podemos tomar de tal forma que se cumpla que. Por ejemplo, si entonces. Esto significa que es mayor a 1000 siempre que sea mayor que 10. La función f definida por, con, tiene como representación gráfica la siguiente

9 Nota: En forma similar a la definición anterior pueden definirse, y En las siguientes representaciones gráficas vamos a ejemplificar el comportamiento de una función f en el que se evidencien los límites anteriores: a. b. c.

10 Ejercicio: En cada caso, utilizando el dibujo que se da, determine los límites que se indican: a) b) c) d) a) b) c) d) Consideraremos ahora la función f definida por En las siguientes tablas vamos a evidenciar su comportamiento cuando cuando : y a.

11 b. En ambas tablas puede observarse que cuando toma valores positivos o valores negativos cada vez mayores, (mayores en valor absoluto), se tiene que la función tiende a acercarse a 2, por lo que se puede escribir que: y A continuación hacemos la respectiva representación gráfica de la función : Damos ahora las definiciones para los límites cuyo resultado es una constante cuando y cuando Definición Sea una función con dominio tal que para cualquier número existen elementos de en el intervalo. El límite de cuando tiende a más infinito es, que se representa, si para cada existe un número tal que para toda y.

Ejemplo Probar que Hay que demostrar que para existe tal que si Se tiene que Si entonces por lo que: Luego, dada se cumple que si y solo si, o sea, si, por lo

12 Ejemplo Probar que Hay que demostrar que para existe tal que si Se tiene que Si entonces por lo que: Luego, dada se cumple que si y solo si, o sea, si, por lo que podemos tomar de tal forma que se verifique que siempre que. Por ejemplo, si entonces por lo que: La representación gráfica de la función es la siguiente:

13 Definición Sea una función con dominio tal que para cualquier número, existen elementos de en el intervalo. El límite de cuando tiende a menos infinito es, que se representa, si para todo existe un número tal que para cada y. Ejercicio Utilizando la definición anterior y un proceso similar al desarrollado en el ejemplo inmediato anterior, pruebe que:

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