Límites infinitos, y límites en el infinito (1)

Transcripción

1 Matemática Unidad 5. Límites Límites infinitos Se tratarán límites de la forma: Límites infinitos, y límites en el infinito () f() = ± a f() = L ± f() = ± ± Nota. El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real. Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe + (se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como (se lee: tiende a menos infinito). De manera similar, cuando f() crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe f() +, y si decrece tomando valores negativos escribimos f(). En general se usa el símbolo para representar al + o al. (I) Límites infinitos En primer lugar, se eaminarán límites de funciones de la forma c 0 donde c 0. Ejemplo. Considerar la función f() =. Notar que 2 Dom(f). 2 Se estudiará el comportamiento de la función f() = cuando 2, usando tabla de valores. 2 f() = ??? La tabla muestra que, cuando 2 +, la función f() = mayores tiende a tomar valores positivos cada vez Es decir, NO eiste (no es un número real), pero la tendencia de hacerse cada vez más grande el 2 valor de f() se epresa: = +

2 Matemática Unidad 5. Límites Límites infinitos Ahora, se completará una tabla de valores cuando 2 : f() = 2.5, 2.6, 2.5.8, 5.9, 0.99, , , ??? Se observa que, cuando toma valores cercanos a 2 pero menores que 2, la función f() tiende a valores negativos cada vez menores. Es decir, f() cuando 2, o sea La gráfica de f() = 2 es: 2 2 = Nota. Se puede denotar: 2 =, lo que significa que tiende a 2. 0 crece (o decrece) iitadamente, cuando Ejemplo 2. Completar tablas de valores en torno al 0, y verificar, que: (a) 0 + = +, (b) = + Como por ambos lados de 0 la función f() = tiene un comportamiento de hacerse muy positivo, esto 2 se puede epresar: Trace la grafica de f() = =

3 Matemática Unidad 5. Límites Límites infinitos Ejercicio. Graficar la función f() =, verificar, completando tablas de valores: 0 + = + 0 = Observación. Las epresiones f() = +, a f() =, a f() = a señalan que el límite de f() cuando tiende a a, no eiste. Sin embargo, epresan el comportamiento de f(), cuando a, de hacerse infinita. Esto se aplica también cuando a +, o cuando a. Nota. En el ejercicio, se puede denotar: =, lo que significa que crece (o decrece) iitadamente, cuando tiende a 0. 0 Ejercicio 2. Determinar: a) + Nota. b) c 0 [ c 0] f() = o +, a (II) Límites al infinito Ejemplo. Eaminar + 2 y 2 Solución Completar una tabla de valores para observar el comportamiento de f() = iitadamente, y, cuando decrece iitadamente., cuando crece 2 + f() f() Esto se epresa: + Ejemplo 2. Verificar que: (a) = 0 (b) = 0 y = 0 (c) 2 = 0. = 0 (d) 5 ( ) 2 = 0

4 Matemática Unidad 5. Límites Límites infinitos Propiedades de los límites al infinito (a) Si c es una constante, entonces: c = c (b) Si p > 0, entonces: (c) Si p > 0, entonces: (d) Si a >, entonces: p = = 0 Si p > 0, y c 0, entonces: p + a = Si a >, entonces: + a = 0 c p = 0 Ejemplos (a) = = 0 (b) = 0 Observación. Una manera abreviada de ciertos límites particulares. Sea c 0: c 0 = c = c = c = 0 Límites al infinito de funciones polinomiales Sea f() = a n n a + a 0 una función polinomial. Se tiene que: Ejemplos. (a n n a + a 0 ) = a n n = a) + ( + 5) = Con calculadora, verificar: + ( + 5) = + b) ( + 5) =, c) + ( 5 22 ) = ( + 5) = ( ) = Límite de funciones racionales, cuando tiende a. ] Ejemplo : = = 6 2 = ] 2 ] Ejemplo 2: Ejemplo : = + 5 = ] [ 0 ] = = 0 5

5 Matemática Unidad 5. Límites Límites infinitos Límites en el infinito de funciones racionales ] a n n a + a 0 a n n b m m = b + b 0 b m m = a n b m si n = m 0 si n < m, si n > m Ejemplo : 5 2 ] 5 = = ] 5 = 5 Ejemplo 2: = 2 = 6 2 = Ejemplo : ] ] ] = 4 = = Ejemplo 4. Este método se puede etender a otros casos, por ejemplo: ] ] = 4 2 = 2 = = 2

6 Matemática Unidad 5. Límites Límites infinitos Ejercicios Cálcular los siguientes límites, si es que eistan (en caso que no eista, y si la tendencia es crecer o decrecer, anotar, +, ). a) b) a) b) a) b) < 5. Sea f() = 2 < < 0 Hallar: 2 f() f(), 0 f(), f(), Calcular: a) 2 ( + 2 2) > 0 f() 5 f(), 0 + f(), + f() 7. Hallar el valor de c si es que eiste tal que: (a) (b) c = c c) c) (2 + )( 2) 2 f() 0 f() d) 9 2 d) 2 9 b) 0 ( + 2 2) c) + ( + 2 2) eiste (es un número real) 8. Calcular a) ( e ) b) + e (cuidado, verificarlo con calculadora).