La función exponencial: La función exponencial: OBJETIVO: Función exponencial. Elementos de la función exponencial.

Transcripción

1 -0-0 SESIÓN CONTENIDOS: Función eponencial. Elementos de la función eponencial. Gráfico de funciones eponenciales en el plano cartesiano. OBJETIVO: Determina intervalos de crecimiento decrecimiento, dominio recorrido, ceros de la función, esboza la gráfica determina asíntotas, a partir de la función eponencial dada algebraicamente. Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado verbal), que se comportan eponencialmente. Profesor: Víctor Manuel Rees F. Asignatura: Matemática Básica (MAT-00) Primer Semestre 0 La función eponencial: Supongamos que en un cultivo un cierto tipo de bacterias se duplica cada hora. Cómo podemos epresar matemáticamente este crecimiento,siinicialmenteha 0 bacterias?. La función eponencial: es decir, (0)= 0 0, ()= 0, ()= 0, ()= 0, ()= 0,...etc. Para un tiempo tcualquiera, escribimos: (t) = 0 t epresión conocida como función eponencial con base dos. Sea (t)elnúmerodebacteriasatiempo t,siendoeltiempomedido en horas. Obviamente, (0)= 0, luego de una hora habrá 0 bacterias, luego de otra hora habrá 0 bacterias; así sucesivamente.

2 -0-0 La función eponencial: En general, una epresión de la forma f() = b k se llama función eponencial con base b, eponente constante k.evidentementeelvalorde eldelabasedependerádeltipode bacteria, en general, estos valores dependen del fenómeno en estudio. La función eponencial: La basepuedeser cualquiernúmeroquenosea uno.en cienciaslas basesmásusadassonlosnúmeros e,elnúmero0. f () = e 0 f () = 0 La función eponencial: Evidentemente que para bases maores que, cuanto más grande sea, la función crece más rápido. f () = 0 0 f () = f () = La función eponencial: Si el eponente es negativo, la función eponencial decrece. Cuanto más grande sea la base, más rápido es el decrecimiento. f () = e - f () = 0-0. f () = 0, En estos ejemplos hemos supuesto constante k=

3 -0-0 La función eponencial: f () = 0, f () = - 0 f () = El dominio de la función es R su recorrido es R+. Si b > la función es creciente para todo R. Si 0 < b < la función es decreciente para todo R. Si k<0lafunciónesdecrecienteparatodo R. Lafunciónnotienenimáimos nimínimos locales. Así, la gráfica de la función eponencial sólo se presenta por sobre el eje se etiende infinitamente en sentido horizontal. La función eponencial de base e: El número e, es un número irracional que es mu importante tanto para las matemáticas como para sus aplicaciones se deriva de la epresión: m + m para valores mu grandes de m, con m en los N. El valor numérico de e escribiendo sólo decimales es: e =, La constante e parece ser una base ideal para una función eponencial, a que en cálculo algunas operaciones matemáticas avanzadas aparecen en su forma más simple usando esta base se usa etensamente en modelos del mundo real. La función eponencial de base e: La función eponencial de base e surge en el estudio de crecimiento decrecimiento de poblaciones. Supongamos que N 0 es el número de individuos presentes en una poblaciónenuntiempo t=0kesunnúmerorealfijo,elmodelo N(t) = N 0 e k t nos indica el número de individuos que tiene la población en un tiempo t. Nota que si k > 0 la función N es creciente por lo tanto estamos frente a un modelo de crecimiento poblacional. Si k < 0 la situación se invierte tenemos un modelo de decrecimiento de población. Aplicación función eponencial: Una bacteria en el oído medio se incrementa a razón del % cada hora. Supone que al inicio de una infección bacteriana estaban presentes 0 bacterias. Determina el número de bacterias N(t) presentes después de t horas. Cuántas bacterias están presentes enelorganismodespuésdehoras? Solución: Es claro del planteamiento del problema, que la función eponencial resultante debe ser creciente. Utilizando el modelo N(t) = N 0 e k t, con los datos aportados, obtenemos que N(t) = 0 e 0.0 t

4 -0-0 Aplicación función eponencial: Aplicación función eponencial: N(t) = 0 e 0.0 t Pasadashoraselnúmerode bactérias presentes será de N() Muchas drogas absorbidas por el cuerpo humano siguen una le de decaimiento eponencial, debido a que el metabolismo propio de la acción de enzimas degradan sustancias aceleran sus reacciones de descomposición. Por ejemplo, si N es la cantidad de Nicotina en microgramos por cm de sangre presente en el organismo en el transcurso de t días, entonces N(t) = e -0,0t Aplicación función eponencial: Decaimiento radioactivo La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva despuésde t añosvienedadaporunafuncióndelaforma Q(t) = e -0,000t 0 Aplicación función eponencial: Curva de aprendizaje Describe la relación entre la eficacia con que un individuo realiza una tarea la cantidad de instrucción o eperiencia que el individuo ha tenido. f(t) = β αe -kt Donde α, β, k son constantes positivas. Observa que (0) = β-α, luego, en general β>α. Además, cuando t crece indefinidamente entonces (t) se acerca cada vez más al valorβ; como (t) =βes una recta (paralela al eje del tiempo), entonces esa recta es una asíntota. Al final de.000 años quedan.000 gramos de la sustancia. Cuántos gramos había inicialmente?

5 -0-0 Aplicación función eponencial: La curva logística Estas curvas son modelos bastante precisos del crecimiento de una población cuando los factores ambientales imponen un límite superior al tamaño posible de la población, o en el caso que los índices de natalidad disminuen cuando la población aumenta, por ejemplo. También describen la propagación de epidemias, también aparecen en muchas reacciones químicas físico-químicas. Aplicación función eponencial: El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función 0 + e f ( ) = t que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t medido en semanas. Cuántas personas habrán sido contagiados en tres semanas? Aplicación función eponencial: La función f en el conteto del planteo del problema, tiene sentido para t 0. Observa que cuando parte la epidemia personas están contagiadas, esto se obtiene de f(0). Como la función es reciente, sabemos que a medida que pasen las semanas el número de contagiados aumenta. Sin embargo después de muchas semanas el número de personas con la enfermedad tiende a estabilizarse en 0.