Capítulo 4. Diseño de filtros digitales 1

Transcripción

1 53 Caítulo 4 Diseño de filtros digitales 1 Diseñar un filtro consiste en encontrar su función de transferencia (realizable y estable) ara su osterior realización mediante una estructura adecuada. En la mayoría de las alicaciones, el objetivo que se retende lograr con el diseño de un filtro digital, es desarrollar un sistema discreto cuya resuesta temoral y/o resuesta en frecuencia, sea una aroximación a una determinada esecificación del tio de resuesta deseada ara el filtro. 4.1 Esecificaciones de filtros digitales. Cuando se diseña un filtro siemre existirá un comromiso entre su resuesta temoral y su resuesta en frecuencia, como se muestra en la Figura 4.1, ara el caso de un filtro asa bajo ideal. Deendiendo de la alicación, en el roceso de diseño se le dará más imortancia al comortamiento del filtro en el dominio del tiemo o en el dominio de la frecuencia, es decir, el objetivo de aroximar la resuesta del filtro a una cierta esecificación de resuesta, deenderá de dicha alicación. En esta sección y en las siguientes, se resenta el roceso de diseño de filtros digitales, atendiendo a su comortamiento en el dominio de la frecuencia como objetivo rincial de diseño. 1 El contenido de este caítulo se basó en: Universidad de Antioquia, Auntes del curso Tratamiento digital de Señales

2 54 En el dominio de la frecuencia, las esecificaciones que determinan el objetivo de diseño de los filtros son básicamente de dos tios: el comortamiento de la resuesta en frecuencia del filtro en la banda de aso (esecificaciones en la banda de aso), y el comortamiento de la resuesta en frecuencia del filtro en la banda de rechazo (esecificaciones en la banda de rechazo). Las esecificaciones en las bandas de aso y de rechazo se dan con ciertas tolerancias. La banda de transición ermite que la magnitud disminuya del valor de la banda de aso al valor de la banda de rechazo. Por ejemlo, la resuesta en magnitud normalizada G ( e ) ara un filtro asa-bajo se muestra en la Figura 4.2. Figura 4.1. Filtro asa-bajo ideal. Reresentación del filtro en el dominio de la frecuencia (a), y en el dominio del tiemo (b). Resuestas en frecuencia ideal (magnitud) (c), y su corresondiente resuesta transitoria (d) a una entrada imulso. Resuesta en frecuencia oco selectiva (magnitud) (e), y su corresondiente resuesta transitoria ideal (f) a una entrada imulso. Figura 4.2. Gráfica de la resuesta en magnitud normalizada ara un filtro asa-bajo (escala lineal)

3 55 A artir de la gráfica de la resuesta en magnitud del filtro asa-bajo se definen los siguientes términos: Banda de aso: 0 ω ω Banda de transición: ω < ω < Banda de rechazo: ω s ω π ω = frecuencia límite de la banda de aso. ω s = frecuencia límite de la banda de rechazo. δ = valor ico del rizo ermitido en la banda de aso. δ s = valor ico del rizo ermitido en la banda de rechazo. En la banda de aso, definida or unidad con un error de ω ± δ, es decir: s 0 ω ω, se requiere que la magnitud se aroxime a la 1 δ 1+ δ ω ω (4.1) G( e ) En la banda de rechazo, definida or a cero con un error de δ s, es decir: ω s ω π, se requiere que la magnitud se aroxime G ( e ) δ ara ω ω π (4.2) s Puesto que G( e ) es eriódica y la magnitud G( e ) de un filtro de coeficientes reales es una función ar, las esecificaciones se definen solamente ara el intervalo de frecuencia 0 ω π. Para cubrir un rango dinámico más amlio en la gráfica de la resuesta en magnitud del filtro que se va a diseñar, generalmente el eje de las ordenadas, acotado linealmente en la Figura 4.2, se transforma en un eje con acotamiento logarítmico mediante la función 20log, como se muestra en la Figura Cuando se utilizan db s ara describir las esecificaciones de la resuesta en magnitud del filtro, se ueden utilizar las siguientes relaciones, las cuales se muestran en la Figura 4.3: Función de érdida: s [ db] ( ω) = 20 log G( e ) (4.3) ς 10 Valor ico en db del rizo en la banda de aso: α 20log10(1 δ ) [ db] = (4.4)

4 56 Atenuación mínima en db en la banda de rechazo: s log ( s ) [ db] α = δ (4.5) Figura 4.3. Gráfica de la resuesta en magnitud normalizada ara un filtro asa-bajo (escala logarítmica) Alternativamente, las esecificaciones de diseño de un filtro digital se ueden dar en función de la resuesta en magnitud (con escala lineal), mediante los arámetros mostrados en la Figura 4.4. Figura 4.4. Gráfica alternativa de la resuesta en magnitud normalizada ara un filtro asa-bajo (escala lineal) En este caso, se suone que el valor máximo de la resuesta en frecuencia de la magnitud es igual a 1, y la máxima desviación de dicha resuesta en magnitud en la banda de aso 2 (denotada or 1/ 1+ ε ), está dado or el valor mínimo de ésta en la banda de aso, como se muestra en la Figura 4.4. El valor máximo ermitido de la magnitud en la banda de rechazo se denota or 1 / A.

5 57 Nuevamente, cuando se utilizan db s ara describir estas esecificaciones alternas de la resuesta en magnitud del filtro, se ueden utilizar las siguientes relaciones, las cuales se muestran en la Figura 4.5: Valor máximo normalizado de la ganancia Atenuación máxima en la banda de aso: o bien: 0 [ db] (4.6) 1 α max = 20log10 [ db] (4.7) 2 1+ ε 2 α max = 20log10 1+ ε [ db] ( 1 2δ ) 2α [ db] ara δ 1 α max = 20log10 << (4.8) Atenuación mínima en db de la banda de rechazo: [ db] α s = 20 log10(1/ A) (4.9) Figura 4.5. Gráfica alternativa de la resuesta en magnitud normalizada ara un filtro asa-bajo (escala logarítmica) En la mayoría de las alicaciones, las frecuencias de aso f y de rechazo f s se esecifican en Hz, junto con la frecuencia de muestreo del filtro digital. Puesto que las técnicas de diseño de filtros usan las frecuencias angulares ω y ω s, es necesario normalizar las frecuencias críticas antes de alicar los algoritmos de diseño. Para una frecuencia de muestreo F T en Hz y ara frecuencias de aso y de rechazo f y f s en Hz, resectivamente, las frecuencias angulares normalizadas en radianes están dadas or:

6 58 Ω 2πf ω = = = 2πf F F T Ωs 2πf s ωs = = = 2πf st F F T T T T (4.10) (4.11) donde T es el eríodo de muestreo, es decir, T = 1/ F. T 4.2 Filtros IIR y FIR Los filtros IIR (Infinite Imulse Resonse o Resuesta al Imulso Infinito) y los filtros FIR (Finite Imulse Resonse o Resuesta al Imulso Finito) constituyen las dos grandes clasificaciones de los sistemas discretos en general, los cuales requieren estudiarse or searado debido a sus características articulares y a los métodos de análisis y diseño que son roios de cada uno de ellos. En esta sección se resentan brevemente y en forma comarativa, algunos de los concetos más imortantes relacionados con dichos filtros, los cuales ueden servir como un rimer aso en la selección y diseño de éstos de acuerdo a la alicación esecífica Selección de filtros IIR y FIR En el dominio de la frecuencia, si la linealidad de la fase es el factor más imortante en el comortamiento del filtro que se va a diseñar, un filtro FIR es la oción adecuada, que además tiene la ventaja de ser estable con coeficientes cuantificados. De no ser así, conviene usar un filtro IIR, ya que en la mayoría de los casos el orden del filtro será menor que el del FIR equivalente. En la Tabla 4.1 se muestra un resumen de los criterios de selección ara los filtros IIR y FIR. Tabla 4.1. Criterios de selección ara filtros IIR y FIR Métodos de diseño Los métodos de diseño de los filtros IIR y de los filtros FIR son diferentes debido a las características de cada uno de ellos. A continuación se resenta una descrición general de dichos métodos ara cada tio de filtro.

7 Métodos de diseño de filtros IIR. Para filtros IIR, el método de diseño más usado se basa en el diseño de los filtros analógicos. Las esecificaciones del filtro digital se convierten a esecificaciones de un filtro analógico asa-bajo rototio, se determina la función de transferencia del filtro analógico que satisface las esecificaciones, y finalmente se transforma a la función de transferencia del filtro digital. Para la transformación del filtro analógico en el filtro digital deseado, se roone un método basado en el maeo entre los dominios s de la Transformada de Lalace y z de la Transformada Z, de tal manera que se mantengan las roiedades fundamentales de la resuesta en frecuencia, es decir, la función de maeo debe ser tal que: (1) El eje imaginario ( j Ω ) en el lano s se maea al círculo unitario ( e ) del lano z. (2) Una función de transferencia analógica estable, se transforma en una función de transferencia digital estable. Las transformaciones más comunes entre los filtros analógicos y digitales son: (a) La invarianza al imulso. (b) La transformación bilineal Métodos de diseño de filtros FIR. El diseño de filtros FIR se basa en una aroximación directa de la resuesta en magnitud esecificada en el dominio de la frecuencia, a través de lograr una determinada resuesta al imulso unitario en el dominio temoral. Entre los métodos de diseño se cuentan el de ventanas y el de muestreo en frecuencia. Otros métodos se basan en técnicas iterativas de otimización ara minimizar el error entre la resuesta en frecuencia deseada y la del filtro generado or comutadora. En la Tabla 4.2 se muestra un resumen de los métodos de diseño resentados ara filtros IIR y FIR. Tabla 4.2. Métodos de diseño ara filtros IIR y FIR Más adelante se resentan, de manera más detallada, el método de la transformación bilineal ara el diseño de filtros IIR y el método de ventanas ara el diseño de filtros FIR.

8 Estimación del orden de filtros IIR Para el diseño de un filtro IIR asa-bajo G ( z ) basado en un filtro analógico asa-bajo, el orden del filtro digital G ( z ) deende del orden del filtro analógico H a (s) en que se basa. Al transformar H a (s) a G ( z ) se obtiene el orden de G ( z ). El orden de H a (s) deende de las esecificaciones del filtro y del tio de resuesta del filtro deseado, que uede ser Butterworth, Chebyshev, Bessel, Elítico, etc Estimación del orden de filtros FIR Para el diseño de un filtro FIR existen varias fórmulas ara estimar el valor mínimo de la longitud (orden) del filtro N a artir de las esecificaciones ω, ω s, δ y δ s. Una fórmula aroximada es la fórmula de J. F. Kaiser, dada or la siguiente exresión: log N ( δ δ ) 13 ( ω ω )/ 2π s s (4.12) de donde se observa que N es inversamente roorcional al ancho de la banda de transición. Existen otras fórmulas que tratan de ser más recisas. Si el filtro diseñado con el valor de N estimado no satisface las esecificaciones, hay que aumentarlo hasta que se satisfagan Escalamiento de la función de transferencia digital Desués de que el filtro digital FIR o IIR ha sido diseñado, es necesario escalar la magnitud de la función de transferencia G ( z) ara que ueda llevarse a la ráctica. Esto se logra multilicando la función de transferencia or una constante de escala K, tal que la magnitud máxima de la función de transferencia escalada G 1 ( z) = KG( z) en la banda de aso sea igual a la unidad, es decir, la función de transferencia escalada tiene una ganancia máxima de 0 db. En el caso de una función de transferencia de un filtro asa-bajo, la constante K se ajusta al valor K = 1/ GLP () 1, lo que imlica una ganancia de 0 db ara ω = 0. Para una función de transferencia corresondiente a un filtro asa-alto, K = 1/ GHP ( 1), que da 0 db en c ω = π. Para una función de transferencia de un filtro asa-banda, K = 1 / G PB ( e ), donde ω c es la frecuencia central. Y ara una función de transferencia de un filtro de rechazo de max G, G 1. banda, K tíicamente se escoge como el recíroco de [ ( ) ( )] RB 1 RB 4.3 Diseño de filtros IIR Los dos métodos de diseño de los filtros IIR resentados en la sección 4.2.2, difieren en la función de maeo que se realiza entre los dominios de s y z. A continuación se mencionan

9 61 los criterios de diseño de ambos métodos, así como la función de maeo que los caracteriza. Método de Invarianza al Imulso ara el diseño de filtros IIR. El objetivo de este método es desarrollar una función de transferencia IIR cuya resuesta al imulso sea exactamente igual a la versión muestreada uniformemente de la resuesta al imulso de la función de transferencia analógica rototio. La función de maeo entre los dominios de s y z es: st z = e (4.13) donde T es el eríodo de muestreo. Esta función de maeo no es uno a uno y uede roducir sulantamiento ("aliasing"), or lo que no se estudiará. Método de la Transformación Bilineal ara el diseño de filtros IIR. En este método se trata de obtener una función de transferencia IIR cuya resuesta en frecuencia sea una aroximación a la resuesta en frecuencia de la función de transferencia analógica rototio. La función de maeo entre los dominios de s y z es: z s = (4.14) 1 T 1+ z donde T es el eríodo de muestreo. Esta función de transformación sí roduce un maeo uno a uno entre los dominios de s y z Método de la Transformación Bilineal ara el diseño de filtros IIR El método de la Transformación Bilineal, al roducir un maeo de un unto en el lano s a un solo unto en el lano z, y viceversa, ermite que la función de transferencia del filtro digital IIR resultante, reresente una buena aroximación al filtro analógico rototio. La transformación del lano s al lano z está dada or la exresión definida en (4.14). La relación entre la función de transferencia digital G ( z) y la función de transferencia analógica rototio H () s está dada or: ( z) = H a ( s) G (4.15) 2 1 z s= T 1+ z El rocedimiento de diseño del filtro digital IIR es el siguiente: 1. Primero se alica la Transformación Bilineal inversa a las esecificaciones del filtro digital ara obtener las esecificaciones del filtro analógico rototio H a () s. 2. () s H a se diseña ara satisfacer las esecificaciones del filtro analógico obtenidas en el unto anterior. 1 1

10 62 3. Se alica la Transformación Bilineal de la ecuación (4.15) ara obtener G ( z) a artir de H a () s. G, se usará T = 2 ara simlificar el rocedimiento de diseño y trabajar, de esta manera, con una función de Transformación Bilineal normalizada. Puesto que T no influye en la obtención de ( z) La Transformación Bilineal inversa ara T = 2 está dada or: 1+ s z = 1 s (4.16) Obsérvese qué asa ara s = jω0, en la exresión siguiente: 1+ jω = 1 jω 0 z (4.17) 0 tiene magnitud igual a la unidad, lo cual imlica que un unto en el eje imaginario en el lano s se maea en un unto del círculo unitario en el lano z. En el caso general, ara s = σ + j, resulta: 0 Ω 0 Por lo tanto: ( σ0 + jω0 ) ( σ + jω ) 0 0 ( 1+ σ0 ) + jω0 ( 1 σ0 ) jω0 1+ z = = (4.18) ( 1+ σ0 ) + ( Ω0 ) 2 ( 1 σ ) + ( Ω ) 2 z = (4.19) 0 lo que imlica que un unto en la mitad izquierda del lano s con σ 0 < 0, se maea a un unto dentro del círculo unitario en el lano z, ya que z < 1. De igual manera, un unto en la mitad derecha del lano s con σ 0 > 0, se maea a un unto fuera del círculo unitario en el lano z, ya que z > 1. Cualquier unto en el lano s se maea a un solo unto en el lano z y viceversa. Este maeo se muestra en la Figura

11 63 Figura 4.6 Maeo de la transformación bilineal: (a) eje imaginario del lano s al círculo unitario del lano z; (b) semilano izquierdo del lano s al interior del círculo unitario en el lano z; (c) semilano derecho del lano s al exterior del círculo unitario en el lano z La relación exacta entre el eje imaginario en el lano s y el círculo unitario en el lano z está dado or: 2 1 e jω = T 1+ e (4.20) o Ω = 2 ω tan T 2 (4.21) 1 ΩT ω = 2tan (4.22) 2 La gráfica de (4.21) ara T = 2, se muestra en la Figura 4.7.

12 64 Figura 4.7. Maeo de ω vs Ω a través de la Transformación Bilineal (T = 2) De la Figura 4.7 se uede ver que el maeo entre ω y Ω no es lineal. Esto introduce una distorsión en el eje de frecuencia llamada deformación de frecuencia (waring), or lo que ara desarrollar un filtro digital que cumla con una resuesta en magnitud esecífica, rimero hay que redeformar (rewra) las frecuencias críticas ( ω y ω ) ara encontrar las equivalentes analógicas ( Ω y Ω s ) usando la relación de la ecuación (4.21), diseñar el rototio analógico H a () s usando las frecuencias críticas redeformadas, y luego transformar H a () s usando la Transformación Bilineal ara obtener la función de transferencia del filtro digital G ( z). Hay que tomar en cuenta que la Transformación Bilineal conserva la resuesta en magnitud del filtro analógico solamente si la esecificación requiere magnitud constante or artes (iecewise). Sin embargo, la resuesta en fase del filtro analógico no se conserva desués de la deformación. s Conversión de filtros digitales asa-bajo a otros tios de filtros Para el diseño de filtros digitales IIR, se utilizan siemre como rototios de diseño, filtros analógicos asa-bajo normalizados, or lo que el filtro digital resultante también es asabajo. Esto es así or la facilidad que reresenta el diseño de dichos filtros digitales a artir

13 65 de filtros analógicos asa-bajo rototios, ara los cuales existen funciones de transferencia normalizadas, ecuaciones y tablas de coordenadas de olos y ceros, y familias de curvas normalizadas ara cada tio de resuesta (Butterworth, Chebyshev, Bessel, Gaussian, elíticos, etc). Al diseñar un filtro es necesario, or lo tanto, modificar las características de éste ara satisfacer las esecificaciones iniciales de diseño. Estas modificaciones se realizan en dos fases: transformar el filtro asa-bajo diseñado en el tio de filtro requerido, y desnormalizar los valores originales del diseño de dicho filtro asa-bajo. Las transformaciones que se ueden realizar del filtro asa-bajo rototio son las siguientes: 1. asa-bajo a asa-bajo. 2. asa-bajo a asa-alto. 3. asa-bajo a asa-banda. 4. asa-bajo a rechaza banda. 4.4 Diseño de filtros FIR Para el diseño de filtros FIR existen varios métodos, como ya se mencionó en la sección 4.2.2, los cuales son el método de ventanas, el de muestreo en frecuencia y otros métodos que se basan en técnicas iterativas de otimización ara minimizar el error entre la resuesta en frecuencia deseada y la del filtro generado or comutadora En esta sección se resenta solamente el método de ventanas, en sus dos versiones: ventanas fijas y ventanas ajustables Método de ventanas ara el diseño de filtros FIR El método de diseño de filtros FIR más sencillo es el método de ventanas. Este método se H e como una aroximación a la basa en obtener la resuesta en frecuencia del filtro ( ) resuesta en frecuencia ideal deseada H ( e ) imulso unitario ( n) d, mediante una determinada resuesta al h en el dominio temoral, a través de los asos mostrados gráficamente en la Figura 4.8.

14 66 Figura 4.8. Ejemlo gráfico ara mostrar el diseño de un filtro asa-bajo FIR mediante el método de ventanas. A continuación se describe con más detalle cada uno de los asos mostrados en la figura anterior, ara el diseño de filtros FIR mediante el método de ventanas: 1. Este método comienza con una resuesta en frecuencia ideal deseada que uede reresentarse or: j ( e ω ) = h ( n) jwn H d d e (4.23) n= donde h d ( n) es la secuencia corresondiente a la resuesta al imulso de dicha resuesta en frecuencia ideal. Por ejemlo, ara un filtro ideal asa-bajo como el mostrado en la Figura 4.9, su resuesta H e está dada or la siguiente exresión: en frecuencia de la magnitud ( ) d H d ( e ) 1, = 0, ω ω ω c c < ω π (4.24)

15 67 donde ω c es la frecuencia de corte del filtro. Figura 4.9. Resuesta en frecuencia de la magnitud ( e ) resuesta imulsional h d ( n) resectiva. H ara un filtro asa bajo ideal, y su d 2. La resuesta al imulso h d ( n), asociada a la resuesta en frecuencia ideal deseada H d ( e ) resuesta en frecuencia ideal ( e ), es una secuencia infinita que también uede reresentarse en función de la H como: d h d 1 = π π 2 π j ( n) H ( e ω ) dω d (4.25) Por ejemlo, ara el mismo filtro ideal asa-bajo con la resuesta de magnitud H ( e ) mostrada en la Figura 4.10, su resuesta al imulso ideal h d ( n) está dada or la siguiente exresión: d hd ( n) = ω [( ) ] c sin n Q ωc π ( n Q) ω ωc π c n = Q n Q (4.26) donde ω c es la frecuencia de corte del filtro y Q es la osición relativa de la muestra h d n, como se uede observar en la Figura central de la secuencia ( ) Figura Resuesta imulsional ideal h d ( n) ara un filtro asa-bajo ideal, y su resectiva resuesta en magnitud ( e ) H. d

16 68 3. Como la realización de un filtro FIR se basa en una secuencia finita de la resuesta al n, la cual se imulso, se roone una aroximación FIR a la resuesta al imulso ideal h d ( ) llamará h ( n), y se obtendrá mediante una ventana cuya función será la de truncar la secuencia infinita ideal h d ( n). La exresión siguiente reresenta este roceso: ( n) h ( n) ( n) donde ω ( n) es la secuencia de la ventana de duración finita. h = d ω (4.27) Los criterios ara seleccionar la ventana ω ( n) son los siguientes: (a) La secuencia de la ventana ω ( n) debe tener P = (2Q + 1) muestras que sean simétricas con resecto a la muestra central ω ( Q). Esto significa que la función de retardo de gruo corresondiente a dicha ventana, será una constante (= Q) ara ω < π. (b) La secuencia de la ventana ( n) ω debe ser tan corta como sea osible en duración, de tal manera que el número de cálculos requeridos sea mínimo. (c) El esectro de la ventana W R ( e ) debe ser tan angosta como sea osible, ara que la resuesta en frecuencia real H ( e ) se asemeje lo más osible a la resuesta en frecuencia ideal deseada H d ( e ), ya que H ( e ) = Hd ( e ) WR ( e ) y H ( e ) = Hd ( e ) solo cuando W R ( e ) es un imulso unitario. Observación: Los criterios (b) y (c) están en conflicto, ya que las ventanas cuyas secuencias son de duración más corta roducen esectros W ( e ) que son más anchos y viceversa, como se muestra en la Figura 4.11 ara una ventana rectangular con diferentes duraciones.

17 69 Figura Ventanas rectangulares de diferente duración y sus esectros de magnitud resectivos. 4. Si se considera el caso en que la ventana ω (n) consta de (2Q + 1) muestras, es decir, 0 n 2Q, entonces la secuencia truncada h (n) tendrá también (2Q + 1) muestras. Puesto que la multilicación en el dominio del tiemo discreto es equivalente a la convolución en el dominio de la frecuencia, se uede llegar a la siguiente exresión: H ( e 1 ) = 2π π jα j( ω α ) H e W e π d ( ) ( ) dα ω < π (4.28) El roceso de convolución en el dominio de la frecuencia y de multilicación en el dominio del tiemo se ilustra en la Figura 4.12.

18 70 Figura Ilustración del roceso de convolución en el dominio de la frecuencia y del roceso de multilicación en el dominio del tiemo. En la figura anterior se muestra, en la arte izquierda (dominio de la frecuencia), el roceso de la convolución de la resuesta en frecuencia ideal deseada H d ( e ) con el j( ω α ) esectro de la ventana rectangular W R ( e ), generando el esectro real H ( e ) del filtro FIR como una aroximación a la resuesta deseada. En la arte derecha de la misma figura (dominio del tiemo), se muestra el roceso de la multilicación de la resuesta imulsional ideal h d (n) con la ventana rectangular w R (n), generando la resuesta imulsional h (n). 5. En la Figura 4.13 se uede observar que la resuesta en frecuencia de la magnitud H ( e ) resenta rizado tanto en la banda de aso como en la de rechazo. Estos rizos se deben recisamente al emleo de la ventana rectangular w R (n), ya que ésta resenta una transición abruta de uno a cero en las muestras n = 0 y n = 2Q, como uede verse en la misma Figura 4.13, lo cual hace que la magnitud del esectro de dicha ventana j( ω α ) W R ( e ) resente lóbulos laterales de amlitud considerable (sin imortar la longitud P de la ventana (n), como uede verse en la Figura 4.11), los cuales son los causantes w R

19 71 del rizado en la magnitud de H ( e ). En la teoría de series de Fourier, este comortamiento oscilatorio cerca de la banda de aso se conoce como el fenómeno de Gibbs. Para reducir este fenómeno se ueden usar otro tio de ventanas w (n) que resenten transiciones más graduales de uno a cero en las muestras n = 0 y n = 2Q. Figura Esectro de magnitud H ( e ) de un filtro FIR asa-bajo con rizo en las bandas de aso y rechazo debido al emleo de una ventana rectangular ω R (n ) Método de Ventanas Fijas Existen muchos tios de ventanas ara truncar la secuencia del imulso unitario h d (n) generado or la resuesta en frecuencia ideal deseada H d ( e ). Algunas de ellas son más suaves que la ventana rectangular, lo que ermite disminuir un oco el rizado que se roduce en las bandas de aso y rechazo. Las ventanas que se usan más comúnmente son de longitud 2Q + 1, y se resentan a continuación: 1. Rectangular: 2. Hamming: 1, 0 n 2Q ω ( n) = (4.29) 0, enotro caso 2πn ω ( n) = cos Q n Q (4.30) 2Q + 1

20 72 3. Hann (Hanning): 1 2πn ω ( n) = 1 + cos Q n Q (4.31) 2 2Q Blackman: 2πn 4πn ω ( n) = cos cos Q n Q (4.32) 2Q + 1 2Q + 1 En las figuras 4.14 y 4.15 se muestran cada una de las ventanas definidas anteriormente, así como sus esectros de magnitud resectivos. Estas gráficas se realizaron en MATLAB. En las Figuras 4.14 y 4.15 se uede ver que los esectros de cada ventana se caracterizan or tener un lóbulo rincial centrado en ω = 0, seguido de una serie de lóbulos laterales con amlitudes descendentes. Dos arámetros que ayudan a redecir el desemeño de la ventana en el diseño de un filtro FIR es el ancho del lóbulo rincial y el nivel relativo del lóbulo lateral. El ancho del lóbulo rincial ML es la distancia en frecuencia entre los mínimos más cercanos en ambos lados del lado del lóbulo rincial, y el nivel relativo del lóbulo lateral A sl es la diferencia en db entre las amlitudes del lóbulo lateral mayor y el lóbulo rincial. Figura 4.14 Ventanas Rectangular y Hamming y sus esectros resectivos.

21 73 Figura 4.15 Ventanas Hanning y Blackman y sus esectros resectivos. El esectro de magnitud W ( e ) de la ventana rectangular tiene el lóbulo rincial más angosto, or lo que, ara una longitud dada de esta ventana w (n), debería generar las transiciones más abrutas de H( e ) en la discontinuidad de H ( ), es decir, H ( e ) debería aroximarse más a H d ( e ) en las discontinuidades, generando filtros más selectivos. Sin embargo, el rimer lóbulo lateral está a solo 13 db or debajo del ico rincial, dando lugar a rizos de H ( e ) de tamaño considerable alrededor de las discontinuidades de H ( ), como uede observarse en la Figura d e Las otras ventanas caen suavemente a cero, y se uede observar que los lóbulos laterales se reducen significativamente; sin embargo, el recio que se aga es un lóbulo rincial más ancho, que ocasiona transiciones más anchas en las discontinuidades de H d ( e ), haciendo que los filtros FIR resultantes sean menos selectivos. d e

22 Método de Ventanas Ajustables: Ventana de Kaiser Los métodos de diseño de filtros FIR mediante ventanas fijas son sencillos, ero no roorcionan un buen control de las esecificaciones de la resuesta en frecuencia, como son la frecuencia de corte, la magnitud del rizo en la banda de aso y la atenuación mínima en la banda de rechazo. Otro tio de ventanas tales como la de Kaiser y la de Dolh- Chebyshev son más flexibles, en el sentido de que se ueden diseñar ara cumlir con algunas de las esecificaciones de resuesta en frecuencias mencionadas anteriormente. La ventana ajustable más usada es la de Kaiser, cuya exresión es la siguiente: w k ( n) = I o β 1 ( n / Q) I ( β ) o 2 Q n Q (4.33) donde β es un arámetro ajustable, e I o (u) es la función de Bessel modificada de orden cero, que uede exresarse como una serie de otencias: 2 r ( u / 2) Io ( u) = 1+ (4.34) r! Como uede verse, la serie anterior es ositiva ara todos los valores reales de u. En la ráctica es suficiente manejar veinte términos ara obtener una buena aroximación de I o (u). El arámetro β controla la atenuación mínima α s, es decir, el rizo δ s en la banda de rechazo. Existen fórmulas ara estimar β y la longitud del filtro N, a artir de las esecificaciones de α s y del ancho de la banda de transición f : ( α s 8.7), arq α s > β = ( α s 21) ( α s 21), ara 21 α s 50 (4.35) 0, ara α s < 21 α s , f N , f ara ara α > 21 α 21 s s (4.36) Conviene hacer notar que la ventana de Kaiser no roorciona control indeendiente sobre el rizo asa-banda δ. Variando la longitud del filtro 2Q +1 y β se uede definir un comromiso entre la amlitud de los lóbulos laterales y el ancho del lóbulo rincial. En la Figura 4.16 se muestran las ventana de Kaiser ara β = 0,3 y 6, y una longitud del filtro N=20, así como los esectros de magnitud corresondientes a cada una de ellas. La Figura 4.17 resenta, en forma comarativa, los esectros de magnitud de las ventanas

23 75 citadas anteriormente. En la Figura 4.18 se muestran las ventanas de Kaiser ara β = 6 y longitudes de N = 10, 20 y 40, y en la Figura 4.19 se resentan, en forma comarativa, los esectros de magnitud de dichas ventanas. Figura 4.16 Ventanas de Kaiser ara β = 0,3 y 6, y una longitud del filtro de N = 20, y los esectros de magnitud corresondientes.

24 76 Figura 4.17 Gráfica comarativa de los esectros de magnitud de la ventana Kaiser ara β = 0;3 y 6 Figura 4.18 Ventanas de Kaiser ara β = 6 y longitudes de N = 10,20 y 40, y sus esectros de magnitud resectivos.

25 77 Figura 4.19 Gráfica comarativa de los esectros de magnitud de la ventana Kaiser ara β = 6 y longitudes de N = 10,20 y 40 El rocedimiento de diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser se muestra en la Figura A continuación se describen cada uno de los asos mostrados en la Figura 4.20 ara el diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser: 1. Como rimer aso hay que establecer las esecificaciones de la resuesta en frecuencia deseada, definiendo los valores de la frecuencia límite de la banda de aso ω, la frecuencia límite de la banda de rechazo ω s y la atenuación mínima en la banda de rechazo α, como se muestra en la Figura s 2. La frecuencia de corte del filtro asa-bajo, se encuentra basándose en la simetría de la aroximación de la resuesta en frecuencia de la magnitud en la banda de transición, calculándose mediante la media aritmética de las frecuencias ω y ω, es decir: ω + ωs ωc = (4.37) 2 s

26 78 Figura 4.20 Procedimiento de diseño de filtros FIR usando la ventana Kaiser

27 79 Figura 4.21 Esecificaciones ara el diseño de un filtro digital asa-bajo El ancho de la banda de transición f se calcula como: ωs ω f = (4.38) 2π 3. Para obtener los arámetros β y Q ara la ventana de Kaiser w k (n), se rocede de la siguiente manera: - Para obtener el valor de Q, se determina la longitud del filtro N mediante (4.36) a artir de los valores de α s y f, seleccionando el valor entero imar mayor al que resulta de la estimación de N. Con este valor de N se calcula Q a través de la siguiente exresión: Q = N 1 (4.39) 2 - β se calcula de la exresión definida en (4.35) usando el valor esecificado de α s. Los valores de los coeficientes de la ventana Kaiser w k (n), se ueden obtener con MATLAB mediante el comando w = kaiser( N, β ). 4. Finalmente, a artir de la resuesta al imulso del filtro asa-bajo ideal definida or: hlp ( n) = [ sin( ω cn) ]/ πn, - n y de la ventana Kaiser w k (n), se obtienen los coeficientes de la resuesta al imulso del filtro FIR, or el método de las ventanas, de la siguiente manera: sin( ω n h n c ) t ( ) =. wk ( n), πn Q n Q (4.40)

28 80 Se hace notar que el filtro FIR resultante no es causal, ero se uede convertir en causal retardando los coeficientes del filtro Q muestras. Puesto que Q es ar, el filtro retardado será un filtro FIR de fase lineal Tio I. 4.5 Diseño de Filtro Digital ara el Radar de la Universidad de Piura La señal que envía el radar hacia la atmósfera tiene una frecuencia de MHz, ero cuando regresa a la antena la frecuencia de la señal es de ( ± f ) MHz. Esta variación en la frecuencia ( ± f ) es la que nos indica como varían las velocidades de los vientos en la atmósfera, y es sólo esa variación la que se analiza mediante las fórmulas del efecto Doler. La señal que regresa a la antena del radar se comara con una señal de frecuencia constante e igual a MHz. Como resultado de esta comaración se obtiene una señal cuya frecuencia es igual a la variación f. Teóricamente esta variación de frecuencia f nos debería indicar solamente cómo varían las velocidades de los vientos en la atmósfera, ero debido a que existen ruidos que se mezclan con la señal que regresa a la antena del radar, la nueva señal obtenida de la comaración entre la señal enviada a la atmósfera y la señal recibida or la antena debe ser filtrada ara eliminar los osibles ruidos existentes. Entonces ara el diseño del filtro se debe considerar un filtro asa bajo cuya frecuencia de corte coincida con el valor máximo de ( ± f ) que se desea analizar. El radar realiza mediciones de vientos de hasta m/s ara la ionósfera, lo que equivaldría en frecuencia a 100 Hz, el cual es el máximo valor de ( ± f ). Entonces la frecuencia de corte quedaría definida a ese valor. Además se debe tener en cuenta que todas las señales que se encuentren más allá de la frecuencia de corte son consideradas como ruido y deben ser atenuadas o eliminadas ya que no constituyen información relevante ara el análisis de las velocidades de los vientos de altura. Para el diseño del filtro digital se hizo uso del software Matlab, esecíficamente de la herramienta fdatool 2 (Filter Design & Analysis Tool). Con ella el diseño del filtro es muy sencillo, y no debemos realizar ningún cálculo engorroso Esecificaciones de diseño Teniendo en cuenta las características rinciales de los métodos conocidos, lo rimero es seleccionar el método de diseño que se va a emlear en el filtro digital. Por esto se utilizará el método de diseño IIR, ya que el orden del filtro resultante será mucho menor que un filtro equivalente diseñado or el método de FIR. Además utilizaremos la aroximación de Chebyshev tio I, or ser una de las más simles. En cuanto al orden del filtro, dejaremos que Matlab calcule automáticamente el mínimo orden, ero sin dejar de cumlir con las esecificaciones dadas. 2 Para más información sobre esta herramienta ingresar a o tiear "hel fdatool" en la ventana rincial de Matlab.

29 81 Como ya se dijo anteriormente, el tio de resuesta que tendrá el filtro digital será del tio asa bajo, con una frecuencia de corte de aroximadamente 100 Hz. Existen además otras esecificaciones de frecuencia y magnitud que debemos definir. Estos arámetros se ven más claramente en la siguiente figura: Figura Parámetros de frecuencia y magnitud ara filtros IIR Chebyshev tio I donde: A ass : Fluctuación dentro de la banda de aso. A sto : Atenuación dentro de la banda de filtrado F ass : Frecuencia que indica el final de la banda de aso F sto : Frecuencia que indica el inicio de la banda de filtrado Fs: Frecuencia de muestreo. La máxima frecuencia que atenuará el filtro será Fs/2. Se han considerado las siguientes esecificaciones de frecuencia y magnitud ara el diseño del filtro digital: Tabla 4.3. Esecificaciones de magnitud y frecuencia ara el diseño del filtro digital Parámetro A ass A sto F ass F sto Fs Valor 1 db 50 db 150 Hz 200 Hz 100 MHz El valor de A ass que se ha escogido es el menor osible (1 db), de tal manera que no existan muchas fluctuaciones en la banda de aso, ya que de lo contrario si elegimos un valor mayor se odrían atenuar o amlificar señales que en realidad se desea que asen sin ser afectadas or el filtro. El valor de la atenuación dentro de la banda de filtrado (A sto ) ha sido elegido según el máximo valor de ruido extraído de los reortes de las medidas de los vientos de altura. Los valores de F ass y F sto han sido elegidos de tal manera que el filtro deje asar libremente a la señal de 100 Hz, y que además atenúe al resto de señales que se

30 82 encuentren cerca de este valor. La frecuencia de muestreo Fs ha sido elegida en 100 MHz ara conseguir que la máxima frecuencia que atenúe el filtro esté cercana a 50 MHz que es la frecuencia de trabajo del radar. Ahora con todos estos arámetros se rocede a diseñar el filtro Cálculo del filtro digital Con todos los arámetros de diseño ya esecificados, el cálculo del filtro se realizará utilizando la herramienta fdatool de Matlab. Una vez ingresados los arámetros esecificados, las características del filtro calculado son las siguientes: Tabla 4.4. Características del filtro digital calculado Tio de resuesta Pasa bajo Método de diseño IIR - Chebyshev tio I Orden del filtro 9 Secciones 5 Estructura Direct-Form II, Second-Order Sections Estable Sí Fs 100 MHz F ass 150 Hz F sto 200 Hz A ass 1 db 50 db A sto Modelo del filtro digital calculado El filtro digital cuenta con 5 secciones de segundo orden o SOS's (del inglés Second Order Seccions), unidas en cadena una con la otra. Debido a que el orden del filtro es 9, entonces esto quiere decir que la última sección será tan sólo de rimer orden. Cada sección se acola a la siguiente mediante un valor de escala tal como se muestra en la siguiente figura: Figura Esquema del diagrama de bloques del filtro digital calculado

31 83 Los coeficientes de cada sección se encuentran en la matríz SOS, la cual es una matríz de orden M or 6, donde M es el número de secciones de segundo orden del filtro. Cada fila de la matríz SOS contiene los coeficientes del numerador y denominador (b ik y a ik ) de la sección corresondiente del filtro. La matríz SOS corresondiente calculada or Matlab se muestra a continuación b11 b12 SOS = b13 b14 b15 b21 b22 b23 b24 b25 b31 b32 b33 b34 b35 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 1 a 32 1 a33 = 1 a34 1 a Los valores de escala se encuentran en la matríz S, la cual es un vector columna con M+1 valores de escala. Estos valores son usados entre las secciones de segundo orden del filtro y cada valor es usado or una sección diferente, de acuerdo al diagrama de la figura Es osible considerar a los valores de escala como las ganancias corresondientes a cada una de las secciones del filtro. La matríz S calculada or Matlab, se muestra a continuación: S s e - 9 s e - 9 s e - 10 = = s e - 10 s e - 6 s6 1 El diagrama de bloques comleto de este filtro digital se exlica en el Aéndice A Análisis de la resuesta del filtro digital Una vez que ya sido calculado el filtro digital, ahora se rocederá a analizar la resuesta del filtro. Para esto simularemos varias señales senoidales de distintas frecuencias y evaluaremos la caacidad de filtrado del filtro digital. La señal de entrada x ( t ) estará dada or 4 ondas senoidales de 100 Hz, 1000 Hz, 1 MHz y 10 MHz; todas con amlitudes de [ sen( 2π 10 t ) + sen( 2π 10 t ) + sen( 2π 10 t ) + sen( 2π 10 t )] x( t ) = 50 (4.41) A continuación se muestran las gráficas de la señal a la entrada y a la salida del filtro. Nótese cómo la señal de entrada oscila debido a las comonentes de alta frecuencia con las que cuenta, y en cambio la señal ya filtrada es rácticamente igual a una onda senoidal de 100 Hz de frecuencia (con eríodo de 0.01 segundos). Esto claramente es debido a la acción del filtro, el cual se ha odido demostrar que funciona correctamente, dejando asar

32 84 libremente las comonentes de bajas frecuencias (de acuerdo a las esecificaciones de diseño) y filtrando las de altas frecuencias. 200 Señal de entrada del fitro digital Amlitud Tiemo Figura Señal de rueba antes de ser filtrada 60 Señal a la salida del filtro digital Amlitud Tiemo Señal Señal de rueba desués de ser filtrada

33 Recomendaciones al momento de imlementar el filtro digital Existen dos maneras de imlementar filtros digitales: mediante software y mediante hardware. La imlementación mediante hardware tiene como ventaja rincial la ráida velocidad con que se ejecuta la etaa de filtrado y como rincial desventaja el costo alto que imlica. En cambio ara la imlementación mediante software sucede lo contrario: el costo es menor ero el tiemo que toma en realizar la etaa de filtrado es relativamente mayor. Para el caso del radar no habría mayores imlicancias en otar or la imlementación or software, ya que no se requieren resultados "en tiemo real". La velocidad con que se realice el muestreo de datos no tiene ninguna relación con el tiemo que tarde en realizarse el filtrado de la señal, ya que la rimera deende de la velocidad con que cuente el disositivo que se utilice ara muestrear la señal (or ejemlo una tarjeta de adquisición de datos) y la segunda deende de la velocidad con que ejecuten las instrucciones del algoritmo de filtrado. Si es que el algoritmo de filtrado se imlementa en una PC, entonces la velocidad con que se ejecute el algoritmo de filtrado deenderá de la cantidad de instrucciones que tenga el algoritmo y de la velocidad del rocesador de la PC que se utilice. Por tanto se recomienda solo utilizar la cantidad de instrucciones necesarias así como también contar con una PC que sea adecuada ara este tio de tarea. Debido a que ara imlementar el filtro digital es necesario hacer modificaciones dentro del software y hardware con el que cuenta actualmente el radar, no se ahondará más en este tema

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