Funciones. En busca de Klingsor LITERATURA Y MATEMÁTICAS

Transcripción

1 Funciones LITERATURA MATEMÁTICAS En busca de Klingsor Cierta vez, un reportero preguntó a Einstein: Eiste una fórmula para obtener éito en la vida? Sí, la hay. Cuál es? preguntó el reportero, insistente. Si A representa al éito, diría que la fórmula es A + y + z, en donde es el trabajo e y la suerte eplicó Einstein. qué sería la z? Einstein sonrió antes de responder: Mantener la boca cerrada. Un joven norteamericano, Bacon, estudia Física en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y allí conoce a Einstein, del que recuerda algunas anécdotas como esta. Al finalizar la Segunda Guerra Mundial, se hace espía y viaja a Alemania para encontrar al máimo responsable de las investigaciones atómicas realizadas por los nazis, que se esconde bajo el seudónimo de Klingsor. En sus pesquisas le ayuda un matemático, de nombre Links, que formó parte del equipo de investigación nuclear. Por qué estábamos juntos el teniente Bacon y yo [pensaba Links]? Cuándo nos encontramos por primera vez? Cuál era nuestra misión? Cómo se cruzaron, en fin, nuestras vidas paralelas? Para responder a estos cuestionamientos no me queda más remedio que hablar un poco de mí. Ubico mi nacimiento en el mapa de mi imaginación como un pequeño punto dibujado en el centro de un plano cartesiano. Hacia arriba, en el eje de las y, está todo lo positivo que me ha ocurrido; en contraposición, hacia abajo descubro mis desventuras, mis retrocesos y mis requiebros. A la derecha, en el eje de las, encuentro los actos que me definen, aquellos que voluntariamente he convertido en el centro de mi vida deseos, anhelos, obsesiones, mientras que, a la izquierda, yacen esas porciones de mi ser que me han modelado contra mi voluntad o mi conciencia, esas partes aparentemente impredecibles o espontáneas que, no puedo negarlo, también me han llevado adonde estoy ahora. Cuál sería el resultado final de un ejercicio como éste? Qué forma aparecería en medio de la hoja? Sería posible trazar las coordenadas que he recorrido a lo largo de mi trayecto? obtener, a partir de esa línea, la fórmula que me resuma en cuerpo y alma? JORGE VOLPI Juzga la metáfora de Links. Sería posible representar una «vida» mediante una curva en un sistema de coordenadas cartesianas? No sería posible, ya que los elementos que se describen en el teto no son traducibles a puntos del plano que puedan describir una curva. 78

2 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Dada la función f() log (sen ): Está definida para? para π π? π f π sen 0 La función está definida para π. log log π La función no está definida para π f π sen, log log ( ) porque no eiste el logaritmo de. 00 Epresa las siguientes condiciones en forma de intervalo. < 7 d) Todos los números reales. [, ) [7, + ) (, ] d) (, + ) 00 Epresa, de forma algebraica y mediante una tabla, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. f() 0 f() Dibuja estas funciones e indica de qué tipo son. Un vendedor de muebles tiene un sueldo fijo de 480, y por cada mueble que vende, cobra 0 de comisión. A cada número real le hacemos corresponder su doble menos. 400 y 79

3 Funciones ACTIVIDADES 00 Justifica si las siguientes gráficas corresponden a funciones. La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de le corresponde un único valor de y. La gráfica no corresponde a una función, porque hay valores de a los que les corresponden varios valores de y. 00 Razona, en cada caso, si la relación entre las magnitudes es una función o no. La distancia entre dos ciudades y el tiempo que se tarda en ir de una a otra. La cantidad de fruta que compra una familia, en kilogramos, y el precio por kilogramo. La altura de los alumnos de un centro escolar y su edad. No se trata de una función, ya que según sea la distancia entre dos ciudades, el tiempo que se tarda puede tomar valores distintos, dependiendo de la velocidad a la que se circule. Es una función, puesto que para cada cantidad de fruta que se compre hay un precio único según el peso por kilogramo adquirido. No se trata de una función, porque distintos alumnos pueden tener la misma altura, aún siendo de edades distintas. 00 Determina el dominio y el recorrido de esta función. Dom f [ 4, ] (4, 6) Im f [, ] {4} 004 Cuál es el dominio de estas funciones? f () + 4 f() f () d) f() cos 6 Dom f [ 4, + ) Dom f R Dom f R { 4, 4} d) Dom f R 80

4 SOLUCIONARIO 00 En qué intervalos es creciente esta función? decreciente? En, es cóncava o convea? f() La función es creciente en ( 6, ) (, ). La función es decreciente en (, ) (, 4). En, la función no es ni cóncava ni convea. 006 Estudia el crecimiento de la función. La función es decreciente en (, ), es constante en (, ) y es creciente en (, + ). f() 007 En qué puntos de la función hay máimos relativos? mínimos relativos? Tiene máimos o mínimos absolutos? Eiste un máimo relativo en el punto. No tiene mínimos relativos ni absolutos y no hay máimos absolutos. f() 008 Estudia el dominio, el recorrido, el crecimiento y los máimos y mínimos de f(). Dom f (, 6] Im f [, + ) f() La función es decreciente en (, ) (, ) y es creciente en (, ) (, 6). Eiste un máimo relativo en y un mínimo absoluto en. No hay máimos absolutos. 009 Dibuja la gráfica de una función para que sea: Impar. Par. Respuesta abierta. 8

5 Funciones 00 Justifica si estas funciones son simétricas. 4 + f ( ) g ( ) ( ) f( ) f () f() es simétrica respecto del eje. ( ) g( ) ( ) g() no es simétrica. 0 Representa una función periódica tal que el período lo determine esta gráfica. 4 0 Razona si las siguientes gráficas corresponden a funciones periódicas. La función es periódica y su período es 4. La función no es periódica, porque la gráfica no se repite. 0 Teniendo en cuenta la gráfica de y f(), identifica a qué función corresponde cada una de las gráficas que aparecen en la figura. h f i g g() f() h() f( ) i() f( ) 8

6 SOLUCIONARIO 04 A partir de la gráfica de y f(), representa estas funciones. f() y f() y f( + ) y f( ) f() f() f( + ) f() f( ) f() 0 Determina el valor de las estas funciones en el punto, + si f() y g(). f (f g)() (f g)() g () ( f g)( ) ( ) + 08 ( f g)( ) + + ( f g)( ) ( ) + 9 ( ) ( ) ( ) ( f g)( ) f ( g ) ( f ) ( ) g ()

7 Funciones 06 + Teniendo en cuenta que f() y g(), halla el valor de las siguientes funciones en los puntos que se indican. + f (f g)( 4) g ( ) + ( f g)( ) + No eiste (f g)( 4), porque ( 4) no es real por ser el radicando negativo. f g + ( ) () f No eiste, porque ( ) no es real por ser el radicando negativo. g ( ) 07 Determina el valor de la composición de funciones que se indica en cada apartado, en 4, si f() y g(). (f g)() (f f )() (g f )() d) (g g)() ( f g)( ) f( g( )) f 4 6 ( g f)( 4) g( f( 4)) g( 6) 6 ( f f)( 4) f( f( 4)) f( 6) 6 d) ( g g)( ) g( g( )) g 4 08 Si f() y g() 4, halla el valor de estas funciones en los puntos que se indican, determinando primero la composición de funciones correspondiente. (f g)() (g f )() Justifica, a partir de los apartados anteriores, si la composición de funciones es conmutativa. ( f g)( ) f( g( )) f( 4) ( 4) ( f g)( ) ( g f)( ) g( f( )) g( ) 4 ( g f)( ) ( f g)( ) ( g f)( ) La composición de funciones no es conmutativa. 84

8 SOLUCIONARIO 09 Si f() + y g () : + Determina g f, f g y g g. Halla las funciones inversas de f() y de g(), y comprueba que f f y g g dan la función identidad. + ( g f)( ) g( f( )) g( + ) + ( f g)( ) f( g( )) f ( g g)( ) g( g( )) g y y + f ( ) ( f f )( ) f( f ( )) f + y y y + y y y g ( ) + y ( g g)( ) g ( g( )) g Averigua cuál es la función inversa de f () 7 +. Representa las funciones f() y f (). Comprueba si sus gráficas son simétricas respecto a la recta y. 7 y y 7+ y 7 f ( ) y f () f() Las funciones son simétricas respecto a la recta y. 8

9 Funciones 0 Razona si las siguientes gráficas pueden corresponder a una función. d) La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de le corresponde un único valor de y. La gráfica no corresponde a una función, porque a los valores de situados entre los vértices de la elipse les corresponden dos valores de y. La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de le corresponde un único valor de y. d) La gráfica no corresponde a una función, porque hay valores de a los que les corresponden varios valores de y. 0 Realiza una tabla y representa estas funciones. Cada número entero lo relacionamos con su número de divisores positivos. Cada número real lo relacionamos con su parte entera. A cada número le hacemos corresponder él mismo menos su valor absoluto. d) A cada número le corresponde el valor. 86

10 SOLUCIONARIO f() 0,6 0,4 0 0,7, f() 0 0,6 0,4 0 0,7, f() 4, 0, d) 0 f() 87

11 Funciones 0 A lo largo de un día medimos la longitud, en metros, de la sombra que proyecta una farola desde el amanecer hasta que anochece. Las medidas, tomadas cada dos horas, desde las 6:00 h, se muestran a continuación Crees que las tablas definen una función? En caso afirmativo, identifica sus variables. La tabla define una función porque a cada hora le corresponde una única longitud de la sombra. La variable independiente corresponde con la hora del día y la variable dependiente y corresponde con la longitud, en metros, de la sombra. 04 Comprueba si los siguientes puntos están en los dominios de cada función. Los puntos, y para la función f ( ) +. Los puntos, 4 y para la función f() ln ( 4). 6 Los puntos, y 0 para la función f ( ). + + Dom f + Dom f + 4 R Dom f ln ( 4) ln ( ) R Dom f ln (4 4) ln 0 R 4 Dom f ln ( 4) ln 0 Dom f 6 0 Dom f + ( ) 6 R Dom f Dom f 0+ 0 Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones. Las ordenadas y, y e y para la función f ( ). Las ordenadas y 0, y 0 e y para la función f() + 6. Las ordenadas y, y e y 7 para la función f ( ) y Im f 7 4 y Im f y Im f, porque la raíz no puede tomar valores negativos. 88

12 SOLUCIONARIO o y 0 Im f o y 0 Im f Δ < 0 La ecuación no tiene soluciones y Im f 7 y Im f y f Im y 7 f + Im 06 Determina el dominio de estas funciones. 7 f ( ) f ( ) f ( ) 7 + Dom f R Dom f R Dom f R {} d) Dom f R {, 0} d) f ( ) + 07 Estudia el dominio de las siguientes funciones. y + y e) y + d) y f ) y y 6 + Dom f [, + ) + 0 Dom f (, ), Dom f R d) Dom f, e) Δ < 0 La ecuación no tiene soluciones. Dom f R f) Dom f [, ] 08 Escribe el dominio de las funciones. y log 4 ( 4) y ln e) y 0 ln 4 y cos ( ) d) y sen ( π) Dom f (4, + ) Dom f (0, + ) e) Dom f (, 4) Dom f R d) Dom f R 89

13 Funciones 09 Analiza el dominio de las siguientes funciones. y log 4 ( + ) y 6 y d) y tg e) y tg π + Dom f (, + ) Dom f R Dom f R {} d) Dom f π R + kπ, k Z e) Dom f π π R + k k Z, 00 Determina el dominio de las funciones. y y + + y 4 Dom f [, 8] Dom f [, + ) Dom f 0 Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones. y y + y d) y 4 e) y + + f) y Dom f R d) Dom f R Im f R Im f (, ) Dom f [, + ) e) Dom f [, ] Im f [, + ) Im f 6, Dom f R {0} f) Dom f R {} Im f R {0} Im f R {0} 90

14 SOLUCIONARIO 0 Estudia las características de las siguientes funciones. d) Dom f R {0} Im f R {0} La función es decreciente en (, 0) (0, + ). No eisten máimos ni mínimos relativos y absolutos. Es convea en (, 0) y es cóncava en (0, + ). La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. No hay periodicidad. Dom f R {0} Im f R La función es creciente en (, ) y es decreciente en (, 0) (0, + ). No eisten máimos ni mínimos relativos y absolutos. Es convea en (, ) (, 0) y es cóncava en (0, + ). La función no es simétrica ni periódica. Dom f R, Im f R La función es creciente en (, ) (, + ) y es decreciente en (, ),,. Eiste un máimo relativo en y un mínimo relativo en. Es convea en y es cóncava en (, ) (, ) 0, 0, +. La función no es simétrica ni periódica. d) Dom f R {,; ;,} Im f R La función es creciente en ( ;,) (,; 0,) (0,; ) (;,) (,; 4,) y es decreciente en ( 0,; 0,) (4,; + ). Máimo relativo en 0, y en 4, y mínimo relativo en 0,. Es cóncava en ( ;,) (0, ) (;,) y es convea en ( 0,; 0) (,; ). La función no es simétrica ni periódica. 9

15 Funciones 0 Considera la función que relaciona el tiempo, en días, con la superficie visible de la Luna. Es una función periódica? En caso afirmativo, indica el período. Al depender la superficie visible de las fases en la rotación de la Luna alrededor de la Tierra, la función es periódica. El período es de 8 días. 04 Estudia las simetrías de la función. f() f( ) ( ) ( ) + f() La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. 0 Dada la gráfica de la función y : representa estas funciones. y ( ) y ( + ) y + d) y 4 y y ( + ) y y ( ) d) y + y y y 4 9

16 SOLUCIONARIO 06 A partir de la siguiente función: f( ) obtén la gráfica de estas funciones. g ( ) h ( ) + 4 i( ) + d) j( ) g() 4 f () f () h() i() f () d) f () j() 9

17 Funciones 07 Con la gráfica de esta función: f() representa gráficamente las siguientes funciones. f( ) f() f( + ) d) f() + Razona cómo lo haces y calcula su epresión algebraica. f () f ( ) f( ) ( ) + ( ) f () f() f () f () f ( + ) f( + ) ( + ) + ( + ) d) f () f () + f()

18 SOLUCIONARIO 08 A partir de cada gráfica, dibuja la gráfica de las funciones que se indican. f( ) y f() f() g() + y g() g() h( + ) y h( ) h() f ( ) f () f () g() + g() g() h( + ) h() h( ) 9

19 Funciones 09 La gráfica pertenece a la función y. y Construye a partir de ella la gráfica de las funciones. y + y + y d) y + y + y y y + y d) y + y y 040 Dada la función f ( ) 8, determina la epresión algebraica de estas funciones y represéntalas. f( ) f() + f( ) d) f() f ( ) 8 f( ) f ( ) f () + f () f () 96

20 SOLUCIONARIO f( ) 8 8 d) f( ) f () f ( ) f () f () 04 Dadas las funciones: f ( ) + g( ) calcula. g (f + g)() (f g)(0) e) (f f )() g) (g f )() i) f ( ) f (f g)() d) f) (g + f )() h) (f + f g)(0) j) f () g ( ) ( f + g)( ) + + ( f g)( ) + + ( f g)( ) d) f g ( ) + () ( f + g)( ) ( f g)( ) 8 ( f g)( 0) f g ( ) 0 e) ( f f )( ) + f) ( g+ f )( ) + + g) ( g f )( ) + + h) ( f + f g)( ) + + i) g () f ( ) + g no es real, porque el denominador de una fracción no puede ser igual a 0. f ( ) j) ( f )( ) + ( f )( ) 4 ( f f )( ) 4 ( g+ f )( ) + 8 ( g f )( ) 8 ( f g)( 0) 7 97

21 Funciones 04 Calcula el dominio de las funciones. f ( ) 4 g ( ) Utiliza el resultado para calcular el dominio de las siguientes funciones. f (f + g)() g ( ) g (f g)() d) f ( ) Dom f (, ] [, + ) Dom g [, ] Dom (f + g) [, ] [, ] Dom (f g) [, ] [, ] Dom f g (, ] [, ) g d) Dom [ f, ) (, ] 04 Dadas las funciones: m ( ) 4 n() + 6 p ( ) + define las siguientes funciones y determina sus dominios. n (m + n)() m ( ) (n + p)() d) (m n + p)() ( m+ n)( ) Dom (m + n) (, ] [, + ) ( n+ p)( ) Dom (n + p) R { } n m + 6 ( ) 4 Dom n m (, ) (, + ) d) ( m n+ p)( ) ( + ) Dom (m n + p) (, ] [, + ) 98

22 SOLUCIONARIO 044 Dadas las funciones: f() g() calcula las composiciones de funciones. f g d) g f g h e) h g h f f) f h Determina el valor de cada función para. ( f g)( ) f( g( )) f( ) ( f g)( ) ( g h)( ) g( h( )) g ( g h)( ) 9 ( h f)( ) h( f( )) h( ) ( h f)( ) 8 d) ( g f)( ) g( f( )) g( ) ( g f)( ) 64 e) ( h g)( ) h( g( )) h( ) ( h g)( ) 9 f) ( f h)( ) f( h( )) f ( f h)( ) h ( ) 04 Comprueba con las funciones f ( ) + y g() que la composición de funciones no es conmutativa. Calcula el dominio de f g y de g f. ( f g)( ) f( g( )) f( ) ( ) + ( g f)( ) g( f( )) g + (f g)() (g f )() La composición de funciones no es conmutativa. Dom ( f g), + Dom ( g f ) [, + ) 99

23 Funciones 046 Eplica de qué manera hay que componer las funciones: f ( ) + 4 g() + para obtener las siguientes funciones. m ( ) n() + 6 ( ) + + ( g f)( ) g( f( )) g m( ) h ( ) + p ( ) + + ( g g)( ) g( g( )) g( + ) ( + ) n () ( g h)( ) g( h( )) g p ( ) 047 Determina f f y f f en los pares de funciones para comprobar si son inversas o no. f() y f ( ) + f() y f ( ) f() y f () log d) f() sen y f () arc sen e) f() + y f ( ) ( f f )( ) f( f ( )) f ( f f)( ) f ( f( )) f ( ) + + ( ) Las funciones no son inversas. ( f f )( ) f( f ( )) f ( f f)( ) f ( f( )) f ( ) Las funciones no son inversas. log ( f f )( ) f( f ( )) f(log ) ( f f f f f )( ) ( ( )) ( ) log Las funciones son inversas. d) ( f f )( ) f( f ( )) f( arc sen ) sen ( arc se ) ( f f)( ) f ( f( )) f ( sen ) arc sen ( sen ) Las funciones son inversas. e) ( f f )( ) f( f ( )) f( ) + ( f f)( ) f ( f( )) f ( + ) + Las funciones son inversas. 00

24 SOLUCIONARIO 048 Calcula la función inversa de cada función. y + y y Comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. y + y f ( ) f () f () y y f ( ) f () f () y + y f + ( ) f () f () 0

25 Funciones 049 Dada la gráfica de la función y : y dibuja la gráfica de su función inversa. f () f () 00 Dibuja las funciones inversas. y ln ( + ) y + 0

26 SOLUCIONARIO y + log d) y f () f () f () f () f () f () d) f () f () 0

27 Funciones 0 Dibuja funciones que cumplan estas propiedades. Su dominio y su recorrido son R. Su dominio es R {}. Es creciente y su dominio es R {, }. d) Es logarítmica y su dominio es (, + ). e) Es logarítmica y su dominio es (, ). f) Es eponencial y su dominio es R {0}. Respuesta abierta. f () d) f () e) f () f () f) f () f () 0 En una vivienda pagan 0 euros de gasto fijo y 0,0 euros por cada kilovatio consumido a la empresa que les suministra electricidad. Obtén una epresión de la relación que eiste entre el consumo y el precio y represéntala. Si a esta cantidad hay que aumentarle el 6 % de IVA, cómo será la ecuación? Qué variación sufre la gráfica? 04