SOLUCIONES. <, >: H H C (x, y) ; <x, y>

Transcripción

1 1. Teoría Ingeniero Industria Curso 99\ Asignatura: Transformadas Integraes y Ecuaciones en Derivadas Parciaes. Test sobre e Método de Separación de Variabes. 7 de Noviembre de SOLUCIONES (a) Qué es un espacio prehibertiano? Qué es un espacio de Hibert? Qué es una base de Hibert? Pon agún ejempo de espacio de Hibert y de base de Hibert. Sea H un espacio vectoria sobre C (eventuamente sobre R). Lamaremos producto interior o escaar sobre H a toda apicación que satisface as siguientes propiedades: <, >: H H C (x, y) ; <x, y> (i) <x,x> x H y <x,x>= x =. (ii) < αx + βy, z >= α <x,z>+β <y,z> α, β C y x, y H. (iii) <x,y>=< y,x> x, y H. Se ama espacio prehibertiano a par formado por un espacio vectoria y un producto interior. Lo denotaremos por (H, <, >). Sea (H, <, >) un espacio prehibertiano. Se dice que (H, <, >) es un espacio de Hibert si es competo, es decir, si toda sucesión de Cauchy en H es convergente respecto de a norma asociada a producto interior, a cua viene dada por kxk =+ <x,x> x H. Un sistema ortonorma {x n : n N} en un espacio de Hibert H se dice que es una base ortonorma o base de Hibert si es un sistema ortonorma maxima, es decir, si no existe ningún otro sistema ortonorma que contiene estrictamente a {x n : n N}. Un ejempo de espacio de Hibert es L ([, π];r) = equipado con e producto interior Una base de Hibert de este espacio es S = ½ f :[, π] R : <f,g>= f (x) g (x) dx. ½ 1, cos x, sin x cos x sin x,,,, π π π π π ¾ f (x) dx < ¾ cos nx sin nx,, π π (b) Enuncia e teorema de caracterización para bases de Hibert. 1

2 Sea {x n : n N} un sistema ortonorma en un espacio de Hibert H. Las siguientes afirmaciones son equivaentes: (i) {x n : n N} es una base de Hibert. (ii) Si existe un x H ta que <x,x n >= n N, entoncesx =. (iii) Para todo x H se verifica que (iv) Para todo x H se cumpe. Cuestiones kxk = x = <x,x n >x n. < x,x n >. (Identidad de Parseva) (a) Sea f : R R una función absoutamente integrabe y ta que f (x + π) = f (x). Probar que f es π periódica y que su serie de Fourier sóo tiene términos impares. Veamos en primer ugar que f es π periódica. Para todo x R se tiene: f (x +π) =f (x + π + π) = f (x + π) = ( f (x)) = f (x). Veamos ahora que a n = b n = n N. Setiene: a n = 1 π f (x)cos(nx) dx = 1 π = 1 π Z Z f (t)cos[nt] dt = 1 π f (t + π)cos[n (t + π)] dt f (t)cos[nt] dt = a n donde en a primera iguadad hemos hecho e cambio x = t+π, en a segunda hemos apicado a hipótesis de ser f (x + π) = f (x) y de ser e coseno π periódico; y en a tercera hemos vueto a apicar e hecho de ser f (x) y cos x ambas funciones π periódicas. Por tanto, a n =que obviamente impica a n =. Para probar que b n =se razona exactamente igua que en e caso a n. (b) Consideremos e siguiente probema de Sturm-Liouvie 1+x u + xu = λe x u (S-L) u (a) =u (b) u (a) =u (b) Es (S-L) un sistema reguar de Sturm-Liouvie? Por qué? Es (S-L) casi-coercivo? Por qué? Se trata efectivamente de un sistema reguar de Sturm- Liouvie ya que en este caso, p (x) = 1+x C 1 ([a, b]),q(x) =x C ([a, b]) y s (x) =e x > x [a, b] yescontinua

3 y además as condiciones de contorno son autoadjuntas para e operador ya que son unas condiciones periódicas. Precisamente, e hecho de ser as condiciones periódicas es o que asegura a casi-coercividad de sistema de Sturm-Liouvie (recuérdese que vimos un resutado en case que asegura o que estoy diciendo). 3. Consideremos a función f (x) = ½ si π x< 1 si x<π (a) Cacua e desarroo en serie de Fourier de a extensión π periódica de f. Se tiene: y a n = 1 π a = 1 π f (x) dx = 1 π f (x)cosnxdx = 1 π b n = 1 f (x)sinnxdx = 1 sin nxdx = π π Por tanto, a serie de Fourier asociada a f es dx =1, cos nxdx = ½ nπ si n es impar si n es par. S (f,x) = 1 + π 1 sin (n 1) x. n 1 (b) Estudia a convergencia en L ([, π]), puntua y uniforme de dicha serie de Fourier. Obviamente, f L ([, π]) ya que f (x) dx = dx = π <. Por tanto, a serie de Fourier asociada a f converje a f en L ([, π]). También es evidente que f es diferenciabe a trozos ya que es diferenciabe en todos os puntos menos en e (me estoy centrando en e intervao ], π[; fuera de este intervao se razona por periodicidad de f). Sin embargo, f no es continua en y por tanto, e teorema de convergencia puntua de series de Fourier se tiene que S (f,) = f (+) + f ( ) = 1 6=1=f (). Por tanto no hay convergencia puntua en y por consiguiente tampoco hay convergencia uniforme en R ya que a convergencia uniforme impica convergencia puntua. Sóo podemos asegurar a convergencia puntua en aqueos puntos donde f es continua; entre eos se encuentra e punto x = π que utiizaremos en e siguiente apartado. (c) Como apicación de (a) y (b) cacua a suma de a serie numérica ( 1) n+1 n 1 3

4 Basta con tener presente que S (f,π/) = 1 + π ( 1) n+1 n 1 = f (π/) = 1 ya que como hemos dicho en e apartado anterior, en e punto x = π a serie de Fourier asociada a f converje puntuamente a f (π/) = 1. Por tanto, ( 1) n+1 n 1 = π Apica e método de separación de variabes para obtener a soución forma de probema u t (t, x) =a u xx (t, x)+1 t, <x< u (,x)= <x< u (t, ) = u (t, ) = t Se trata de un probema de caor no homogéneo con condiciones de contorno homogéneas. Como vimos en case, os autovaores y as autofunciones asociadas a probema homogéneo son ³ nπ λ n = y X n (x) =sin nπx. Como soución de probema no homogéneo proponemos a soución u (t, x) = u n (t)sin nπx. Derivando formamente en esta expresión y sustituyendo en a ecuación de caor se tiene que ³ nπa u n (t)+ un (t) sin nπx = a n sin nπx,t, <x< donde a n son os coeficientes de Fourier de a extensión impar y periódicadeafunción1. En concreto: a n = Z sin nπx ½ 4 dx = nπ si n es impar. si n es par Contodoeosetienequeu n (t) ha de ser soución de os siguientes probemas de ecuaciones diferenciaes ordinarias: ½ u n (t)+ nπa un (t) = si n es par (1) u n () = (La condición inicia u n () = sae a imponer a condición u (,x)=)y ½ u n (t)+ nπa un (t) = nπ 4 si n es impar. () u n () = La soución de (1) es u n (t) =mientras que a soución de () es u n (t) = 4 ³ nπa n 3 π 3 a 1 e ( ) t. Por tanto, u (t, x) = 4 1 ³ nπa π 3 a (n 1) 3 1 e ( ) t (n 1) πx sin. 4

5 5. La energía tota de una cuerda de ongitud π vibrando en un instante t, savo una constante, es E (t) = u t (t, x)+c u x (t, x) dx. (E primer sumando en a integra es a energía cinética y e segundo a potencia). Si u (t, x) es soución cásica de probema de ondas u tt (t, x) =c u xx (t, x) t, <x<π u (,x)=f(x) ; u t (,x)=g(x) <x<π u (t, ) = u (t, π) = t donde demuestra que f (x) = a n sin nx y g (x) = E (t) = πc (na n ) + π b n sin nx b n. Observa que esto, en particuar, nos da e principio de conservación de a energía: E (t) es independiente de t. También nos sugiere que un requerimiento físico natura es que a serie h i (na n ) + b n sea convergente. Esto es efectivamente cierto si f es continua y diferenciabe a trozos y si g es continua a trozos. Por qué? Una posibe forma de responder a este probema es a siguiente: Veamos en primer ugar que E (t) =. Por e teorema de derivación de integraes paramétricas se tiene de dt (t) = = = d u dt t (t, x)+c u x (t, x) dx ut (t, x) u tt (t, x)+c u x (t, x) u xt (t, x) dx ut (t, x) c u xx (t, x)+c u x (t, x) u xt (t, x) dx = c d dx [u t (t, x) u x (t, x)] dx = c u t (t, x) u x (t, x) π = donde en a segunda iguadad hemos apicado e hecho de que u tt (t, x) =c u xx (t, x) ya útima iguadad se debe a que u (t, ) = u (t, π) = t yportantou t (t, ) = u t (t, π) =. Por tanto, E (t) = (constante) =E () = u t (,x)+c u x (,x) dx h = g (x)+c f (x) i dx 5

6 = 1 kgk L ([,π]) + c f L ([,π]) = π b n + πc (na n ) donde a útima iguadad es consecuencia de a identidad de Parseva. Finamente, para poder garantizar que a serie numérica h i (na n ) + b n (3) es convergente es suficiente con pedir que f sea diferenciabe a trozos (esto garantiza que f L )yqueg sea continua a trozos (esto garantiza que g L ) y por tanto, a convergencia de (3) es otra vez consecuencia de a identidad de Parseva. 6