Plano Proyectivo Axioma del Plano Proyectivo

Transcripción

1 Capítuo 2 Pano Proyectivo 2.1. Axioma de Pano Proyectivo Un estructura de incidencia Π=(P,L,I), se dice que Π es un pano proyectivo si y sóo si cumpe os siguientes axiomas B A 1. Sean A,B P, con A B entonces! L ta que AI y BI 2. Sean,m L, con m entonces m (no existen rectas paraeas). m P 3. En e pano proyectivo existen un cuadriátero o cuadránguo, es decir, no existen tres puntos que pertenezca a a misma recta y toda recta a menos tiene tres puntos distintos. D C A B Observación: Por e axioma uno, dos rectas distintas inciden soamente en un punto. Sean,m L distintas entonces m={p}. 44

2 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 45 Definición 2.1 Todo conjunto de puntos que incide con una misma recta, se aman puntos coineaes. Todo conjunto de rectas que pasan o inciden en un punto común se aman rectas concurrentes o coincidentes. Un conjunto de 3 puntos distintos no coineaes A,B,C junto con as rectas BC, CA, AB de ama triánguo. Un conjunto de 4 puntos distintos, 3 de eos no coineaes junto con as rectas de ama cuadriátero. Definición 2.2 Pano Proyectivo minima es aque pano proyectivo formado por e menor número de puntos y rectas que cumpe con os axioma de pano proyectivo. Propiedad 2.3 Todo pano proyectivo contiene a menos siete puntos. Demostración: Por axioma tres, sabemos que existen cuatro puntos que denotaremos por A, B, C y D i) AB CD ={E}, entonces EI AB y EI CD ii) AC BD ={F}, entonces FI AC y FI BD iii) AD BC ={G}, entonces GI AD y GI BC Note que, si E= F, EI AB ; EI AC ; o que AE = AB = AC ; o que significa que tres puntos son coineaes, o cua no es posibe, uego existe siete puntos y a menos siete rectas. C F D G A E B Pano Proyectivo Vectoria Sea V un espacio vectoria de dimensión tres sobre K. Se define e conjunto de os puntos y de as rectas por: y a incidencia a contención. P={U V dim(u)=1}, L={W V dim(w)=2}

3 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 46 Ejempo 2.4 Sea V=Z 2 Z 2 Z 2 (dim(v)=3). Note que cada recta vectoria tiene dos puntos y os panos tiene cuatro puntos incuido e vector nuo. Z (0,0,1) (0,1,1) <(0,0,1)> (1,0,1) (0,0,0) (1,1,1) (0,1,0) Y <(1,0,1)> <(1,1,1)> <(0,1,1)> (1,0,0) (1,1,0) <(1,0,0)> <(1,1,0)> <(0,1,0)> Puntos X Rectas P 1 = (1,0,0) P 2 = (0,1,0) P 3 = (0,0,1) P 4 = (1,1,0) P 5 = (1,0,1) P 6 = (0,1,1) P 7 = (1,1,1) 1 = (1,0,0),(0,1,0) 2 = (1,0,0),(0,0,1) 3 = (0,1,0),(0,0,1) 4 = (1,0,0),(0,1,1) 5 = (0,1,0),(1,0,1) 6 = (0,0,1),(1,1,0) 7 = (1,0,1),(0,1,1) Luego tenemos que Z 2 Z 2 Z 2 es un modeo e pano proyectivo minima. En genera, con as notaciones anteriores se define e pano proyectivo asociado a espacio vectoria a P 2 (V)=(P,L,I). Teorema 2.5 Sea V un espacio vectoria de dimensión 3 sobre K, entonces P 2 (V) es un pano proyectivo. Demostración: i) Axioma uno: Por dos puntos distintos pasa una única recta B A Sea A B con A= v y B= w, entonces{ v, w} son ineamente independiente, en particuar: = v, w.

4 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 47 Es única, ya que AIm y BIm, entonces v, w m, de o cua obtenemos = v, w m. como a dimensión es dos, se obtiene a iguadad. ii) Axioma dos: Si m entonces m Sean = v, w y m= y, z con m, entonces +m=v En particuar m iii) Axioma tres: Existe un cuadránguo. dim(+m) = dim()+dim(m) dim( m) 3 = 2+2 dim( m) dim( m) = 1 v 3 v 1 v 2 Sea B={ v 1, v 2, v 3 } base de V. En donde{ v 1, v 2, v 3, v 1 + v 2 + v 3 } forman un cuadránguo. Ya que dado tres vectores cuaquiera, estos son ineamente independientes, uego no hay tres coineaes. Por o tanto P 2 (V) es un pano proyectivo. Observación: 1. Sea V un K espacio vectoria de dimensión tres y P 2 (V) e pano proyectivo construido a partir de V con PI entonces P, gráficamente se tiene que: P P 2. Sea = v, w recta de pano proyectivo P 2 (V), entonces a ecuación cartesiana de con respecto a a base B={v 1, v 2, v 3 } de V, tiene a forma: con(a,b,c) (0,0,0). ax+by+cz=0

5 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 48 Ejempo 2.6 Dado os puntos de pano A= (1,2,4) y B= ( 2,1,5) en e pano proyectivo P 2 (R 3 ). Determine a ecuación cartesiana de AB Soución: Sea AB = (1,2,4),( 2,1,5). Dado(x,y,z) AB entonces: (x,y,z) = α(1,2,4)+β( 2,1,5) (x,y,z) = (α 2β,2α+β,4α+5β) x = α 2β y = 2α+β z = 4α+5β 1 2 x 1 2 x 2 1 y 0 5 y 2x 4 5 z 0 13 z 4x E sistema tiene soución si y sóo si o bien z 4x 13 5 (y 2x)=0 5z 13y+6x=0 1 0 x+ 2 5 (y 2x) 0 1 y 2x 0 0 z 4x 13 5 (y 2x) De otro modo os vectores os vectores{(x,y,z),(1,2,4),( 2,1,5)} son ineamente dependiente, de o cua tenemos que 1 2 x 0= 2 1 y =(10 4)x (5+8)y+(1+4)z 4 5 z Ejempo 2.7 En e pano proyectivo P 2 (Z 3 3 ). Sean 1 = (1,2,0),(0,1,1) y 2 de ecuación 2x+3y z=0. Cacue 1 2 Soución: Sea(x,y,z) 1 2, por pertenecer a a primera recta 1 tenemos: (x,y,z) = α(1,2,0)+β(0,1,1) (x,y,z) = (α,2α+β,β) Como también(x,y,z) 2, satisface a ecuación, reempazando tenemos que 2α+3(2α+β) β = 0 8α+2β = 0 α = β

6 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 49 uego (x,y,z)=(α, α, α)=α(1,1, 1)=α(1,1,2) Por o tanto 1 2 = (1,1,2). Teorema 2.8 En e pano proyectivo, todas as rectas tienen e mismo número de puntos. Demostración: Sean,m L, m entonces m={x} y A P con A I m y A I. Sea ZIm, uego ZA ={Z }. Construimos una función biyectiva AZ AY Y f m X X Z Z m X Y Z A Con o cua se obtiene que: Z #m=# Coroario 2.9 De a misma forma, por cada punto pasa a misma cantidad de rectas. Demostración: Sea P P y L, ta que P I. Notemos que todarecta quepasa porp tiene intersección con y dado un punto en QI existe a recta PQ. Q P Definición 2.10 Se dice que e orden de pano proyectivo Π es n si y sóo si cada recta contiene n+1 puntos, en cuyo caso denotamos por #Π=n. Ejempo 2.11 P 2 (Z 3 2 ) pano proyectivo minima. 1 = {<(1,0,0)>,<(0,1,0)>,<(1,1,0)>}; 2 = {<(1,0,0)>,<(0,0,1)>,<(1,0,1)>}; 3 = {<(0,1,0)>,<(0,0,1)>,<(0,1,1)>}; 4 = {<(1,1,0)>,<(0,1,1)>,<(1,0,1)>}; 5 = {<(1,0,1)>,<(1,1,1)>,<(0,1,0)>}; 6 = {<(1,0,0)>,<(1,1,1)>,<(0,1,1)>}; 7 = {<(1,1,0)>,<(0,0,1)>,<(1,1,1)>}. Como cada recta contiene tres puntos, entonces #(P 2 (Z 3 2 ))=2. Observación: En genera, si K es cuerpo finito entonces #(P 2 (K 3 ))= K, ya que e pano K 2, por e argumento de a pendiente contiene K + 1 rectas vectoriaes.

7 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 50 Teorema 2.12 Sea Π tiene un pano proyectivo de orden n, entonces #L=n 2 +n+1 y #P=n 2 +n+1 Demostración: Si Π tiene orden n, entonces cada recta contiene n+1 punto y por cada punto P pasan n+1 rectas. Dado que por un punto P pasa n+1 recta y cuaquier punto Q distinto de P esta contenido en una recta que pasa por P, uego tenemos(n+1) 2 pero e punto P o hemos contado n+1 ya que pertenece a todas as rectas y debemos contaro una vez. #P=(n+1) 2 n=n 2 +n+1. Dada dos rectas distintas tiene intersección en un punto, y por cada punto pasa n+1 rectas, uego a cantidad de recta es igua a numero de puntos de una recta por a cantidad de recta que pasa por ese punto, teniendo presente que a recta origina, se contó tanta vez como punto tiene a recta, por eo P m #L=(n+1) 2 n Ejempo 2.13 Cacuar e #P y #L de P 2 (K 3 ), K cuerpo finito. Soución: E orden de P 2 (K 3 ) es K. uego tenemos #P= K 2 + K +1=#L Para K=Z p se tiene #P=p 2 +p+1=#l Teorema 2.14 (Bruck- Ryser 1946) Si n 1 mód 4 o bien n 2 mód 4, entonces no existe un pano proyectivo de orden n, savo que n se escriba como suma de dos cuadrados enteros. Observación: n=6, no es suma de dos cuadrados enteros y n 2 mód 4, uego no existe un pano proyectivo de orden 6, en cambio 10= y 10 2 mód 4. Teorema 2.15 (Lam-Swiercz-Thie 1988) No existe un pano proyectivo de orden Sub-Pano Proyectivo Un sub-pano Π 0 de Π, es un sub conjunto de os eementos de π que forman un pano proyectivo, teniendo a misma reación de incidencia, es decir, si Π=(P,L,I) es un pano proyectivo entonces Π 0 =(P,L,I) es un sub-pano de Π si y sóo sip P,L L y Π 0 es un pano proyectivo. Además es sub-pano es propio si y sóo si Π 0 Π.

8 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 51 Ejempo 2.16 Como R es un subcuerpo de C tenemos que P 2 (R 3 ) es un sub-pano propio de P 2 (C 3 ) Soución: Dado una eemento v R 3 no nuo, tenemos as rectas<v> R 3 C 3, aún más <v> R R 3 y <v> C C 3 donde <v> R ={ tv R 3 t R}, <v> C ={ tv C 3 t C}. Notemos que a recta R 3 <(1,i,2i)> C =φ, R 3 <(3i, i,2i)> C =<(3, 1,2)> R. que corresponde a os puntos de pano proyectivo. Anáogamente para os panos. Observación: En genera, si F es un subcuerpo de K entonces tenemos que P 2 (F 3 ) es un sub-pano de P 2 (K 3 ). Teorema 2.17 Sea Π un pano proyectivo de orden n y Π 0 un sub-pano propio de orden m, entonces n=m 2 n m 2 +m Demostración: Sea un recta de Π 0, uego tiene n m>0puntos dep P. AdemásL contiene m 2 +m+1 eementos De o anterior tenemos que existen a menos(n m)(m 2 +m+1) puntos que inciden con aguna recta de Π 0, es decir, simpificando tenemos de otro modo n 2 +n+1 (n m)(m 2 +m+1)+m 2 +m+1 n 2 nm 2 +nm m 3 0 (n m)(m 2 n) por o tanto m 2 n 0, es decir, n=m 2 o bien n>m 2 Si n=m 2 entonces tenemos que 1+n+n 2 =1+m 2 +m 4 =(m 2 +1) 2 m 2 =(m 2 +m+1)(m 2 m+1)=(m 2 m)(m 2 +m+1)+(m 2 +m+1) Lo que significa que cada punto de pano proyectivo, esta contenido en una recta de sub-pano. Si n>m 2, entonces existe un punto P, e cua no pertenece a ninguna recta de sub-pano, a considerar un punto de sub-pano, existe a recta que pasa por ambos punto, esta recta no puede contener otros punto de sub-pano. Pero P, pasan n+1 rectas, uego tenemos que n+1 m 2 +m+1, canceando obtenemos que n m 2 +m.

9 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 52 Ejempo 2.18 Sean F 2, F 4 y F 8 ; cuerpos de cardina 2,4,8 respectivamente. En e primer caso tenemos que e pano proyectivo Π 2 =P 2 (F 3 2 ) tiene orden 2 y P 2 =7, L 2 =7. En e segundo caso tenemos que e pano proyectivo Π 4 =P 2 (F 3 4 ) tiene orden 4 y P 4 =21, L 4 =21. En e útimo caso tenemos que e pano proyectivo Π 8 =P 2 (F 3 8 ) tiene orden 8 y P 8 =73, L 8 = Pano Proyectivo y Pano Afín Existen reaciones entre os panos afines y os panos proyectivos e siguiente modo Pano Proyectivo en e Pano Afín Dado un pano proyectivo, se puede construir un pano afín, de siguiente modo Sea Π=(P,L,I) un pano proyectivo y L i) Los Puntos P E conjunto de os puntos se definen de siguiente modo: P={P P P I}=P de otro modo os puntos son, os puntos que no inciden en. ii) Las Rectas L Sea m L {}, denotemos P m e punto ta que m ={P m } E conjunto de as rectas esta dado por: m =m {P m }=m m L={m m } es decir, as rectas, son as rectas distintas de a recta extrayendo e punto P m. iii) La reación de Incidencia I Sea P P, m L. Se dice que P incide en m, o que denotamos por PIm, si y sóo si PIm

10 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 53 Ejempo 2.19 Consideremos e pano proyectivo minima P 2 (Z 3 2 ) y omitimos a recta 4 =<(1,0,1),(0,1,1)>. Soución: Sabemos que as rectas de pano proyectivos son: 1 = (1,0,0),(0,1,0),(1,1,0) ; 2 = (1,0,0),(0,0,1),(1,0,1) ; 3 = (0,1,0),(0,0,1),(0,1,1) ; 4 = (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) ; 5 = (1,0,1),(1,1,1),(0,1,0) ; 6 = (1,0,0),(1,1,1),(0,1,1) ; 7 = (1,1,0),(0,0,1),(1,1,1). que graficamos de siguiente modo <(0,0,1)> <(1,0,1)> <(1,1,1)> <(0,1,1)> <(1,0,0)> <(1,1,0)> <(0,1,0)> Luego obtenemos 1 = (1,0,0),(0,1,0) ; 2 = (1,0,0),(0,0,1) ; 3 = (0,1,0),(0,0,1) ; 5 = (1,1,1),(0,1,0) ; 6 = (1,0,0),(1,1,1) ; 7 = (0,0,1),(1,1,1). Es un pano afín con cuatro punto y seis rectas, corresponde a pano afín minima. <(0,0,1)> <(1,1,1)> <(1,0,0)> <(0,1,0)> Teorema 2.20 Π =(P, L, I) es un pano afín.

11 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 54 Demostración: Veamos os axiomas de pano afín. Axioma uno Si A,B P,A B entonces! L ta que AI y BI Si A,B P, A B, por axioma de pano proyectivo se tiene que existe única m L ta que AI m y BIm, a recta m ya que os puntos A I y B I uego se cumpe. Axioma dos Sean P P,m L,P Im entonces existe m n PIn. Si m = m {P m }, con m L, uego tenemos a recta PPm L, caramente tenemos que = PPm {P m } L uego obtenemos m= m Axioma tres: Existe un triánguo. En e pano afín Π existe cuadránguo, os puntos A,B,C,D no son coineaes. Si son cero o un punto en a recta isto. Si hay dos punto en a recta, supongamos que son C,D, uego a recta L AC tiene otro punto E, que no pertenece a, A,B,E no son coineaes. toda recta tenia a menos tres puntos, uego ahora tiene a menos dos puntos, por o tanto Π es un pano afín Pano Afín en e Pano Proyectivo Dadounpanoafín, sepuede construir unpano proyectivo, demodoque e panoafínseinyecta en e proyectivo. Π [ AB ] C A B Sea Π=(P,L,I) un pano afín, se construye e pano proyectivo de siguiente modo: i) Los Puntos P Sea L, denotamos por[] es e haz de rectas paraeas a. E conjunto de os puntos se definen de siguiente modo: P=P {[] L} de otro modo os puntos son, os puntos anteriores unidos con os haces de rectas.

12 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 55 ii) Las Rectas L Dado m L, tenemos que y a recta ={[] L}. E conjunto de as rectas esta dado por: m=m {[m]} L={m m L} { } es decir, as rectas, son as rectas de pano afín unido un punto que corresponde a haz de rectas paraeas a ea o bien a recta que contiene todos os haces de rectas paraeas. iii) La reación de Incidencia I Sea P P, L. Se dice que P incide en, o que denotamos por PI, si y sóo si una de as siguientes condiciones se satisface: a) P P L PI b) P=[m] L m c) P=[m] = Observación: Veamos primero un ejempo antes de probar que es un pano proyectivo. Ejempo 2.21 SeaP=Z 2 Z 2. e pano afín minima. Construir e pano proyectivo, donde esta inyectado e pano afín Soución: Las ecuaciones de as rectas de Z 2 Z 2 son y os haces de rectas paraeas son: representado por 1 y=0 4 x=0 2 x=1 5 y=x 3 y=1 6 y=x+1 [ 1 ]={ 1, 3 },[ 2 ]={ 2, 4 },[ 5 ]={ 5, 6 }. (0,1) 3 (1,1) (0,0) 1 (1,0)

13 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 56 En consecuencia, e pano proyectivo esta dado por donde P = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),[ 1 ],[ 2 ],[ 5 ]} L = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } 1 = {(0,0),(1,0),[ 1 ]} 2 = {(1,0),(1,1),[ 2 ]} 3 = {(0,1),(1,1),[ 1 ]} 4 = {(0,0),(0,1),[ 2 ]} 5 = {(0,0),(1,1),[ 5 ]} 6 = {(0,1),(1,0),[ 5 ]} = {[ 1 ],[ 2 ],[ 5 ]} Teorema 2.22 Sea Π=(P, L, I) e pano afín, ta que se definen e conjunto de os puntos por: P=P {[] L} y e conjunto de as rectas esta dado por: L={m m L} { } y a reación de incidencia es a definida anteriormente entonces Π=(P, L, I) es un pano proyectivo Demostración: Veamos os axiomas de pano proyectivos. Axioma uno Si A,B P,A B entonces! L ta que AI y BI Caso uno Si A,B P, A B, por axioma de pano afín se tiene que! L ta que AI y BI, uego se cumpe. Caso dos Si A P [] P. Sea [] y A I entonces, por axioma dos de pano afín tenemos que!m L ta que AI m y m por o tanto m [] entonces[]i m y AI m. [] Π A m

14 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 57 Caso tres[],[m] P, por definición! L ta que[]i y[m]i Axioma dos Sean,m L, m entonces m. Caso uno: Si = {[ ]} y m=m {[m ]}, con, m L. Si m, uego tenemos que[ ]=[m ], por o tanto m. En e otro caso, suponemos que no es paraea a m, por eo tenemos que m y de o cua se obtiene m. [] Π m Caso dos: Sea = {[ ]} y m= Por definición tenemos que[ ]I [ ]I, de o cua se obtiene [ ] Π Axioma tres: Existe un cuadránguo. [ BC ] [ AC ] Π A C [ AB ] B

15 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 58 En e pano afín Π existe tres puntos A,B,C no coineaes, consideremos os puntos C,B,[ AC ], [ AB ] eos forman un cuadránguo. Note que as rectas AC y a recta AB no son paraeas, uego a a única recta que pertenecen es y as otras rectas son CB, AC y AB, todas distintas y no paraeas, por o tanto Π es un pano proyectivo. Por a construcción de Pano Proyectivo obtenemos e sumergimiento de Pano Afín Observación: De esta manera entendemos que Π Π Pano Afín Vectoria y e Pano Proyectivo Vectoria Ahora veamos e caso especia, de Pano Afín Vectoria y e Pano Proyectivo Vectoria. Sea K un cuerpo y Π e pano afín asociado a espacio vectoria K K, donde os puntos son vectores, as rectas son rectas afines y a incidencia es a pertenecía. Y e pano proyectivo esta dado por P 2 (K 3 )=Π=(P,L,I), donde P = {U K 3 dim(u)=1} L = {W K 3 dim(w)=2} y a incidencia es a contención. Sea π 0 z=0 e pano XY y π 1 z=1, consideremos os siguientes conjuntos de punto y recta. Para a construcción de pano proyectivo, en e pano afín, tenemos que agregar puntos, para eo a cada haz de rectas afines, escogemos como representante a recta vectoria, mirada en e pano π 0, de esta manera, e nuevo conjunto corresponde a os puntos en π 1 unido a as rectas vectoriaes en e pano π 0. f K 2 P 2 (K 3 ) (x,y) <(x,y,1)> [<(x,y)>] <(x,y,0)> Notemosqueainterseccióndeunarectavectoriaconπ 1 esvacío,cuandoarectaestacontenida en e pano XY o en caso contrario es un punto. P ={ π 1 P π 0 }. De esta manera tenemos a correspondencia entre puntos afines y proyectivos. Ahora veamos as rectas proyectiva. A cada recta de pano afín <(x,y)>+(a,b), mirada en π 1 corresponde a <(x,y,0)>+(a,b,1) agregamos a correspondiente recta vectoria en π 0 <(x,y,0)>+(a,b,1) {<(x,y,0)>} <(x,y,0),(a,b,1)>

16 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 59 y e conjunto de todos os recta vectoriaes en π 0. f L L <(x,y)>+(a,b) <(x,y,0),(a,b,1)> π 0 La intersección de una pano vectoria con π 1 es vacío, cuando a pano es e pano π 0 o en caso contrario es una recta L ={U π 1 U L U π 0 }. La incidencia esta definida por a pertenecía A P, m L entonces A m. De esta manera tenemos Π =(P,L,I ) es un pano afín, y existe una correspondencia biunívoca con e pano afín vectoria Π. Ejempo 2.23 En pano proyectivo P 2 (R 3 ), sean as rectas 1 2x+3y+4z=0 y 2 4x+6y+9z=0. i) Comprobar que tiene un punto en común. ii) A mirar as rectas en e Pano Afín, son paraeas z= 1 = Pano XY 1 2 La intersección de eas corresponde a sistema: 2x+3y+4z = 0 4x+6y+9z = 0 Notemos que 1 2 es un punto en e pano proyectivo<( 3,2,0)>, contenido en e pano π 0. En e pano afín, tenemos que reaizar a intersección con e pano π 1 z= 1 y corresponde a dos rectas paraeas, y esta dada por 1 π 1 = 1 2x+3y+4 = 0 2 π 1 = 2 4x+6y+9 = 0

17 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 60 Ejempo 2.24 Sean Π=R 2, A=(2,3) y B=( 2,2). Encuentre a ecuación de a recta AB en e pano proyectivo. Soución: Veamos dos posibes desarroos para determinar a ecuación. Soución uno: Entonces: AB = A B + A AB = (4,1) +(2,3) (x,y)=α(4,1)+(2,3) x = 4α+2 y = α+3 Endondeseobtienequearecta AB x 4y= 10,decuaseobtienearecta AB x 4y+10z=0 Soución dos: AB AB (2,3) (2,3,1) ( 2,2) ( 2,2,1) En donde AB = (2,3,1),( 2,2,1) por o tanto uego os vectores son ineamente dependiente (x,y,z)=α(2,3,1)+β( 2,2,1), Por o tanto 0= x 2 2 y 3 2 z 1 1 =x 4y+10z AB x 4y+10z= Pano Proyectivo Dua E principio de a duaidad, es que todo propiedad sobre puntos y rectas es una propiedad sobre rectas y puntos. Sea Π=(P,L,I) un pano proyectivo y se define Π e pano dua, donde os puntos son rectas y as rectas son puntos. De otro modo tenemos que Π =(P,L,I ) ta que P = L L = P I I P PI

18 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 61 Teorema 2.25 Sea Π=(P,L,I) un pano proyectivo. E pano dua Π =(P, L, I ) es un pano proyectivo, amado pano proyectivo dua. Demostración: Verifiquemos as axiomas de pano proyectivo. Axioma uno: Por dos puntos distintos pasa una única recta. Sea,m P uego,m L, entonces por axioma dos: m m = {P} Luego PI PIm entonces I P mi P, de este modo tenemos (!P L )(I P mi P) Axioma dos: Sea P,Q L ta que P Q, entonces P Q. Si P,Q L entonces P,Q P uego(! L PI QI) de otro modo(i P I Q), por o tanto (!P L )(I P mi P) Axioma tres: Existe un cuadránguo, en Π existe un cuadránguo. S R RS PQ SP P P Q PQ RQ SR R PS RQ Q S Por o tanto Π es un pano proyectivo Observación: Recordemos e propiedad En e pano proyectivo, todas as rectas tienen e mismo número de puntos. por duaidad ahora tenemos En e pano proyectivo, por todos os puntos pasan e mismo número de rectas Coineaciones en e Pano Proyectivo Definición 2.26 Sean Π pano proyectivo y f una función biyectiva. Se dice que f es coineación de Π, si se cumpe: i) f L L y f P P son biyectiva. ii) Preserva incidencia:

19 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 62 Para todo P, se tiene que si PI entonces f(p)if(). Observación: Anáogamente tenemos que Aut(Π)={f f es una coineación de Π} Extensión de transformaciones ineaes a P 2 (V). Sea V un K-espacio vectoria de dimensión tres. Sea P 2 (V) e pano proyectivo construido a partir de V. Si f GL(V), entonces existe una función f definida por f P 2 (V) P 2 (V) v f( v) v, w f( v),f( w) Propiedad 2.27 Sea V un K-espacio vectoria de dimensión tres, P 2 (V) e pano proyectivo y f GL(V) entonces f Aut(P 2 (V)). Ejempo 2.28 Determine, si es que existen, os puntos fijos de f f R 3 R 3 (x,y,z) (x+y,x z,z) Soución: Sea B base canónica de R 3, entonces [f] B = en donde e det([f] B ) 0, por o tanto f GL(R 3 ), entonces existe f Aut(P 2 (R 3 )). f( (x,y,z) ) = (x,y,z) f(x,y,z) = (x,y,z) (x+y,x z,z) = (x,y,z) (x+y,x z,z) = λ(x,y,z) x+y = λx x z = λy z = λz o bien (1 λ)x+y = 0 x λy z = 0 (1 λ)z = 0 (1 λ) λ (1 λ) x y z = 0 0 0

20 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 63 en donde: de cua se obtiene entonces 1 λ λ (1 λ) =0 v (1 λ)( λ+λ 2 1)=0 λ=1 λ= λ= Para cada vaor f tiene un punto fijo, por ejempo para λ=1 e punto fijo es (1,0,1), os otros de deja para ejercicio de ector. Por o tanto, f tiene tres puntos fijos. Observación: Si f GL(V), entonces f tiene a o más tres puntos fijos en e pano proyectivo. Ejercicio 2.29 Determine, si es que existen, os puntos fijos de f, para f R 3 R 3 (x,y,z) (x y,x+y,x z+y) 2.5. Coineaciones en e Sumergimiento Teorema 2.30 Sean Π un pano afín, f Aut(Π) y Π e pano proyectivo en e cua se sumerge Π, entonces existe f Aut(Π) ta que f Π =f. Π [] m f([])=[f()] Demostración:SeaΠ=(P,L,I)panoafínyΠ=(P,L,I)ecorrespondientepanoproyectivo y f Aut(Π). Sean,m L, sabemos que si m, entonces f(m) f(). Por o anterior tenemos que está bien definida f[]=[f()] Luego definimos f(p)=f(p), con P P y con eo tenemos f P P A f(a)

21 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 64 en donde f(a)={ Veamos en as rectas, sea L, uego tenemos que f(a) A P [f()] A=[] f()={f(p) PIL} de donde obtenemos Ambas son biyectivas y respetan incidencia. f L L f() Teorema 2.31 SeaAun pano afín, Entonces existe un único pano proyectivo Π ta quea es isomorfo a Π para aguna recta Π. Demostración: Por a sección anteriores tenemos a constricción de pano proyectivo y a considerar a recta = obtenemos o pedido. Propiedad 2.32 Dos panos Π y Π m son isomorfos si y sóo si existe un isomorfismo entre os panos proyectivos Π y Π, de modo que envía en m. Demostración: Sea θ Π Π m un isomorfismo de panos afines. Construimos a ψ Π Π, de siguiente modo. Sea P P, si P I, ψ(p)=θ(p)en caso contrario escogemos otra recta h ta que PIh,notemos que todas as recta que inciden en P tiene un único punto en común, ψ(p)=θ(h) m. con eo esta bien definida en os puntos y es biyectiva. Sea h L, uego ψ(h)=θ(h) para todo h, y en e otro caso ψ()=m. Corresponde a una isomorfismo, que preserva incidencia por construcción. Inversamente supongamos que ψ Π Π es un isomorfismo de pano proyectivo. ta que ψ()=m. Caramente a restricción es una función biyectiva entre os puntos y as rectas de cada uno de os panos afines. La función ψ preserva incidencia, uego a restricción también, por utimo dada dos rectas paraeas h,k Π, significa que e punto de intersección pertenece a, por eo, e punto de intersección ψ(h),ψ(k) pertenece a m y por ende son paraeas en Π m. Observación: Sabemos que as diataciones un pano afín son de dos tipos homotecia y trasaciones, apicando e teorema anterior veamos como se extiende estas diataciones. Ejempo 2.33 Sea Π e pano proyectivo en e que esta sumergido Π pano afín y f una homotecia en Π. Determinar os puntos fijos y as rectas fijas de f.

22 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 65 Soución: Sea P e punto fijo por a homotecia f, además para todo L entonces f(), de o cua se obtiene que f[]=[f()]=[] Luego todos os haces de rectas están fijas por f. Es decir, f fija P y todas as haces de rectas paraeas[]. Así tenemos que f( )=. Finamente, sea L, ta que P I, uego P I f() y f(), por axioma de pano afín f()=. Deeste modotenemos que f fija ytoda recta L ta que PI. Ejempo 2.34 Sea Π e pano proyectivo en e que esta sumergido Π pano afín y t una trasación en Π. Determinar os puntos fijos y rectas fijas de t. m Π P [] [m] Soución: Anáogamente a o anterior, tenemos que: t[]=[t()]=[] f(m) [] uego os únicos puntos fijos de t son os haces de rectas. Además t fija as mismas rectas que fija t incuyendo. m Π [m] Ejempo 2.35 Sea K un cuerpo y Π e pano Afín Vectoria K 2 y Π=P 2 (K 3 ) e Pano Proyectivo Vectoria donde esta sumergido Π. Dada a trasación t(x)= x+ w en Π, expicitar t Soución: Sea t(x,y)=(x+a,y+b), a trasación dada y definimos Trasadando a Π 1 obtenemos L ={U K 3 dimu=1 Π 1 U }. t L L <(x,y,1)> <(x+a,y+b,1)> Dadaarectaquepasaporospuntos(c,d),(u,v), arectaestadadapor=<c u,d v>+(u,v), y e correspondiente representante en pano Π 0 es =<c u,d v,0)>.

23 CAPÍTULO 2. PLANO PROYECTIVO 66 De esta manera tenemos que a recta que pasa por t(c,d),t(u,v), esta dada por t()=<c u,d v>+(u+a,v+b), a representante en pano Π 0 es =<c u,d v,0)> t L L <(x,y,1)> <(x+a,y+b,1)> <(x,y,0)> <(x,y,0)> de o anterior tenemos que t(x,y,z)=(αx+az,βy+bz,γz), pero a restringir tenemos que t Π =t, uego t(x,y,z)=(x+az,y+bz,z) Ejercicio 2.36 En as condiciones de ejempo anterior. Determinar os puntos y rectas fijas si existen en e pano proyectivo Ejempo 2.37 Sea K un cuerpo y Π e pano Afín Vectoria K 2 y Π=P 2 (K 3 ) e Pano Proyectivo Vectoria donde esta sumergido Π. Dada a homotecia h( x)=α x+(1 α) w en Π, expicitar h Soución: Sea h(x,y)=(αx+(1 α)a,αy+(1 α)b), a homotecia dada y definimos Trasadando obtenemos L ={U K 3 dimu=1 Π 1 U }. h L L <(x,y,1)> <(αx+(1 α)a,αy+(1 α)b,1)> Dada a recta que pasa por os puntos(c,d),(u,v), e representante en e pano Π 0 es =<c u,d v,0)>. De esta manera tenemos que, a recta que pasa por h(c,d),h(u,v), esta definida por h()=<α(c u),α(d v)>+h(u,v), e representante en e pano Π 0 es =<α(c u),α(d v),0)> t L L <(x,y,1)> <(αx+(1 α)a,αy+(1 α)b,1)> <(x,y,0)> <(αx,αy,0)> de o anterior y teniendo presente que debe cumpir que a restringir t Π =t, se obtiene t(x,y,z)=(αx+(1 α)az,αy+(1 α)bz,z) Ejercicio 2.38 En as condiciones de ejempo anterior. Determinar os puntos y rectas fijas si existen en e pano proyectivo