Apéndice B APÉNDICE B: PROPIEDADES DE TENSORES DE SEGUNDO RANGO

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1 Apéndice B APÉNDICE B: PROPIEDADES DE TENSORES DE SEGUNDO RANGO B1 Descomposición invariante de espacio 2 E E grupo O(n) de as transformaciones ortogonaes divide e espacio vectoria de os tensores cartesianos de rango 2, T = 2 E (E: espacio vectoria eucidiano de n dimensiones) en tres subespacios vectoriaes Estos están formados por: a) e espacio de os tensores isótropos, T (i), también denominados esféricos; b) e espacio de os tensores simétricos de traza nua, T (s) ; y c) e espacio de os tensores antisimétricos, T (a) Cuaquier matriz ortogona Q transforma estos subespacios en si mismos E único eemento común es e tensor nuo Ninguno de estos subespacios posee otro subespacio propio (es decir, cerrado para as operaciones de suma y producto por un escaar) que se transforme en si mismo bajo a acción de Q Esta descomposición de T en subespacios irreducibes e invariantes respecto de O(n) es, por o tanto, a mayor posibe T = T (i) T (s) T (a) (B1) E espacio T es a suma directa de os espacios compontes Escrita en componentes a descomposición de os tensores cartesianos resuta de una identidad agebraica fáci de verificar T ij = 1 n T δ ij (T ij + T ji 2 n T δ ij )+ 1 2 (T ij T ji ), (B2) donde T es a traza T r (T ij ) de tensor Se puede probar que a forma de esta descomposición de as componentes es independiente de sistema de coordenadas cartesianas B2 Representación espectra de un tensor simétrico de rango 2 B21 Ecuación de autovaores Sea un tensor simétrico S ij = S ji, i, j =1, 2,,n,cuyamatrizn n es S = S T E probema de os autovaores de S dependedeasoucíonde Su (α) = λ (α) u (α), (B3) donde u (α) es un vector coumna (n 1, con componentes u (α), =1, 2,,n) denominado autovector, λ (α), amado autovaor, es un número y a notación prevee a existencia de n autovaores con sus respectivos autovectores, α =1, 2,, n Naturamente B3 es equivaente a u (α)t S = λ (α) u (α)t, (B4) donde v (α) = u (α)t es un vector fia (1 n, cuyas componentes son v (α) = u (α), = 1, 2,, n) Escribiendo a B3 como una ecuación secuar (S λ (α) I)u (α) =0 (B5) (I: matriz identidad) reconocemos que se trata de un sistema de n ecuaciones agebraicas ineaes y homogéneas para as incógnitas u (α),=1, 2,, n, que tiene soución no trivia, u (α) 6= 0,siysóosi det(s λ (α) I)=0 (B6)

2 Representación espectra de un tensor simétrico de rango 2 87 Es fáci convencerse de que e desarroo de determinante puede ordenarse en potencias de λ (α), generando un poinomio de grado n, denominado poinomio característico det(s λ (α) I) = P n (λ) ( 1) n λ n +( 1) n 1 a n 1 λ n a 0 (B7) ( 1) n λ n +( 1) n 1 T r (S)λ n 1 + +det(s) =0, donde e coeficiente a n 1 = T r (S) es a traza de S y a 0 =det(s) Las n raices de P n (λ) determinan e conjunto de os autovaores λ (α), α =1, 2,,n, y para cada raiz podemos cacuar, a partir de B5, por o menos un autovector u (α) B22 Invariancia de poinomio característico Consideremos una transformación ortogona con matriz Q, ta que apicada a vectores coumna u, u 0 = Q u (B8) La matriz S asociada a tensor de componentes S ij se transforma según a fórmua de semejanza S 0 = QSQ T (B9) La ecuación secuar para S 0 es S 0 u 0 = λ 0 u 0 det(s 0 λ 0 I)=0, (B10) osea, P(n) 0 (λ0 ) = det Q (S λi)q T =det(q)det(q T )det(s λi) (B11) = P (n) (λ) Se infiere de esto que e poinomio característico permanece invariante en a transformación y que os autovaores λ 0 = λ son os mismos Esto impica a existencia de n invariantes asociados con as componentes de S: oscoeficientes de poinomio característico, entre os cuaes están a traza y e determinante de S Dadoque P (n) (λ) =(λ (1) λ)(λ (2) λ)(λ (n) λ) =0, (B12) es evidente que T r (S) =( 1) n 1 (λ (1) + λ (2) + + λ (n) ), det(s) =λ (1) λ (2) λ (n) (B13) En tres dimensiones, además de T r (S) y det(s) que son inea y cúbico, respectivamente, en as componentes S ij, existe un invariante cuadrático, C u (S), ecuaequivae a a suma de os tres menores asociados con os eementos diagonaes S 11,S 22,S 33, C u (S) =a 1 = S22 S 23 S 32 S 33 + S11 S 13 S 31 S 33 + S11 S 12 S 21 S 22 (B14) Resumiendo, en tres dimensiones as reaciones entre os autovaores y os invariantes son T r (S) =λ (1) + λ (2) + λ (3), C u (S) =λ (2) λ (3) + λ (1) λ (3) + λ (1) λ (2), det(s) =λ (1) λ (2) λ (3) (B15) B23 Reaidad de os autovaores Cuando S ij es simétrico sus autovaores son reaes Esta es una propiedad muy conocida, que se prueba con as siguientes ecuaciones Partimos de Su = λu, u T Su = λ u 2, u 2 u T u, (B16) donde u indica que sus componentes son compejas conjugadas de u Transponiendo y conjugando a anterior u T S T = λ u T, u T Su = λ u 2, (B17) uego de premutipicar por u Restando as dos útimas se obtiene (λ λ) u 2 =0, (B18) de a cua se deduce a reaidad: λ = λ

3 Representación espectra de un tensor simétrico de rango 2 88 B24 Ortogonaidad de os autovectores Dos autovectores u (α),u (β) asociados a dos autovaores distintos, λ (α) 6= λ (β), son ortogonaes, u (α)t u (β) =0Partimosde y formamos os productos Su (α) = λ (α) u (α), Su (β) = λ (β) u (β), (B19) u (β)t Su (α) = λ (α) (u (β)t u (α) ), u (α)t Su (β) = λ (β) (u (α)t u (β) ) (B20) Pero (u (β)t u (α) )=(u (α)t u (β) ) puesto que representa e producto escaar de os vectores Transponiendo a segunda y restando a primera, en virtud de a simetría de S, se obtiene (λ (β) λ (α) )(u (β)t u (α) )=0 (B21) Dedondeseconcuyequesiλ (α) 6= λ (β), e producto escaar (u (α)t u (β) ) = 0 yos autovectores son ortogonaes En o que sigue vamos a suponer que os autovectores han sido normaizados, u(α) 2 u (α) T u (α) =1 B25 Degeneración Es posibe que existan raíces mútipes de P (n) (λ) Ecasoenecuadosautovaores coinciden se ama degenerado Supongamos que λ (α) = λ (β) = λ, y que u y v son dos autovectores con e mismo λ Si no fueran de entrada ortogonaes, procedemos de siguiente modo Su = λu, Sv = λv, S(au + bv) =λ(au + bv), (B22) es decir, Sw = λw, conw = au + bv Por o tanto u, v, generan un subespacio inea, en este caso de dos dimensiones y en genera de dimensión equivaente a a mutipicidad de autovaor Puesto que u T v 6= 0, siempre podemos encontrar un w ta que u T w =0 mediante a eección a b = v ut u 2 (B23) Entonces, hay infinitos pares de vectores ortonormaes (bases) en e subespacio asociado con e autovaor repetido λ Por o tanto, se puede siempre construir un par de autovectores ortogonaes, sóo que no son únicos Este argumento se puede extender a caso de una mayor mutipicidad de as raíces B26 La matriz particionada de autovectores Una matriz cuyas componentes son a su vez matrices (submatrices) se denomina matriz particionada Las regas de mutipicación de as matrices se apican a as matrices particionadas cuando e producto de as respectivas submatrices tiene sentido (número de fias igua a número de coumnas de os factores que intervienen en a mutipicación) Podemos formar a matriz particionada 1 n de autovectores U =[u (1),u (2),, u (n) ], (B24) donde os u (α) son autovectores coumna La U se compone de n submatrices y es también una matriz n n que contiene todas as componentes de os autovectores de S Evidentemente U T U = I, (B25) puesto que, e producto de una matriz particionada n 1 por otra 1 n es una matriz n n y os autovectores, como sabemos, son ortogonaes u (α)t u (β) = δ αβ (o han sido ortogonaizados en e caso de raíces mútipes) Se verifica también que UU T = I, (B26)

4 Representación espectra de un tensor simétrico de rango 2 89 porque, si bien e producto de una matriz particionada 1 n por otra n 1 es a matriz particionada de un sóo eemento, 1 1, en este caso e eemento único resuta ser una submatriz n n, porque cada eemento de a suma P α u(α) u (α)t es una matriz n n con todos os eementos cero, savo e que corresponde a a posición α de a diagona principa que vae 1 Vaen B25, B26 y, por o tanto, U es una matriz ortogona Anaogamente, podemos escribir una matriz diagona con os autovaores Λ=diag(λ (1), λ (2),, λ (n) ), (B27) como una matriz particionada mediante os vectores fia λ i =[0, 0,, 1,, 0]λ (i),enos cuaes todos os eementos son nuos excepto e correspondiente a a coumna i-esima que vae 1 (λ (i) es un escaar) Es decir, escribimos Λ= λ 1 λ 2 λ n, (B28) yresuta [u (1),u (2),, u (n) ] λ 1 λ 2 λ n = u(1) λ u (n) λ n =[λ (1) u (1),, λ (n) u (n) ], (B29) expresión que equivae a producto de as matrices UΛ Por o dicho, e conjunto de todas as ecuaciones B3 con α =1, 2,, n se puede escribir en forma compacta como SU = UΛ (B30) B27 Diagonaización E trabajo de escribir en forma sintética a ecuación secuar para e conjunto competo de os autovaores λ (α) tiene una recompensa: es ahora muy simpe obtener e teorema de diagonaización de S Enefecto, U T SU = Λ (B31) De manera que empeando una transformación de semejanza mediante a matriz ortogona de autovectores se obtiene a forma diagona de S S 0 = U T SU =diag(λ (1), λ (2),, λ (n) ), (B32) fórmua que demuestra: (a) que os autovaores son as componentes de tensor cuando este adquiere su forma diagona, y (b) que en ese caso as direcciones de os ejes de coordenadas están definidas por os autovectores En ugar de U se puede trabajar con V = U T = v (1) v (2) v (n), (B33) donde v (α) = u (α)t =[u (α) 1,u(α) 2,, u(α) n ] son ahora vectores fias y egar a mismo resutado fina VS =ΛV S 0 = VSV T =diag(λ (1), λ (2),, λ (n) ) (B34)

5 Ejercicios de Apéndice B 90 B28 Teorema de Cayey-Hamiton Como consecuencia de teorema de diagonaización es fáci probar que cuando se forma e poinomio característico utiizando como argumento a matriz correspondiente, es decir cuando se construye a función de matriz, P n (S) =( 1) n S n +( 1) n 1 a n 1 S n a 0, (B35) se obtiene a matriz nua P n (S) =0 (B36) En efecto, dado que cada término de poinomio es un coeficiente que mutipica una potencia de S, es evidente que S y P n (S) se diagonaizan simutáneamente con a misma transformación ortogona Cuando S es diagona, también P n (S) es diagona y sus eementos diagonaes vaen P n (λ), como es fáci ver Pero P n (λ) es invariante y P n (λ) =0, de donde resuta e teorema de Cayey-Hamiton B3 Ejercicios de Apéndice B Ejercicio B1 Probar que dos tensores cartesianos de rango dos S,T, tienen os mismos autovaores si y sóo si existe una transformación ortogona Q ta que T = QSQ T (B37) Ejercicio B2 Introducir dos tensores cartesianos de cuarto rango definidos por componentes como sigue S ijpq 1 2 (δ ijδ pq + δ iq δ jp ), A ijpq 1 2 (δ ijδ pq δ iq δ jp ), (B38) os cuaes se denominan operadores de simetrización y antisimetrización, respectivamente Considerar un tensor cartesiano arbitrario T ij de rango dos y cacuar Comprobar as siguientes propiedades T (ij) = S ijpq T pq, T [ij] = A ijpq T pq (B39) T (ij) = T (ji), T [ij] = T [ji] T ij = T (ij) + T [ij] (B40) Ejercicio B3 a) Sea un vector cuaquiera u i yunvectorn de móduo 1 que especifica una dirección (as componentes n son cosenos directores) La media esférica de vector hu(n )i se define como e vaor medio de a función inea U(n )=u n, (B41) sobre a esfera unidad n n =1 (B42) Probar que a media esférica de cuaquier vector es cero, hu(n )i =0 b) Para un tensor cartesiano de segundo rango T ij a función biinea es T (n i,m j )=T ij n i m j (B43) donde n i,m j son vectores unitarios que especifican dos direcciones En este caso a media esférica de tensor ht (n i,n j )i es e vaor medio de T (n i,n j )=T ij n i n j sobre a esfera unidad n n =1 (B44) Probar que a media esférica de T ij vae ht (n i,n j )i = 1 3 T, (B45) y que, por o tanto, es un invariante frente a cambios ortogonaes de coordenadas

6 Ejercicios de Apéndice B 91 Ejercicio B4 Sea e tensor cartesiano simétrico S ij cuya matriz es S = 0 C 0 C 0 C, 0 C 0 (B46) donde C = Cacuar os autovaores y os autovectores Comprobar que os primeros vaen λ (1) = 1, λ (2) =0, λ (3) =1, (B47) mientras que os útimos nombrados son v (1) v (2) v (3) = 1 2 C 1 2 C 0 C C 2 (B48) Verificar que os autovectores son ortogonaes entre sí Que a matriz formada con os autovectores es ortogona Que se puede diagonaizar S con una transformación de semejanza empeando a matriz de os autovectores