Diagonalización. Índice General. Nelson Möller. 1 Matrices Semejantes 2. 2 Matrices diagonalizables 2

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1 Diagonalización Nelson Möller Índice General 1 Matrices Semejantes 2 2 Matrices diagonalizables 2 3 Polinomio característico de una matriz Valores propios Vectores propios Ejemplo Ejemplo Subespacios propios. 7 6 Teorema fundamental 8 7 Ejemplos Ejemplo Ejemplo Ejemplo Aplicaciones Modelos Reconocimiento de Cónicas

2 1 MATRICES SEMEJANTES 2 Diagonalización Definiciones Básicas Dada una transformación lineal, T : V V, fijando una base B del espacio V, podemos asociarle una matriz B [T ] B. Cuando elegimos otra base E, si llamamos C y C 1 a las matrices de cambio de base C = B [id V ] E, C 1 = E [id V ] B. tenemos la relación: E[T ] E = C 1 B[T ] B C. Esta relación nos lleva a la siguiente definición. 1 Matrices Semejantes Definición 1 Dadas dos matrices A, B M n n (IR) decimos que A es semejante a B cuando existe una matriz invertible C tal que A = C 1 BC. Si definimos la relación A B cuando A es semejante a B, podemos verificar que esa relación es de equivalencia en M n n (IR). Por lo tanto, si A es semejante a B tenemos que B es semejante a A; o sea, podemos decir que A y B son semejantes sin especificar el orden. El comentario que nos llevo a la definición de semejanza se puede interpretar como: Matrices semejantes representan a la misma transformación lineal en bases diferentes. Estamos interesados en saber cuando una matriz es semejante a una matriz más simple. 2 Matrices diagonalizables Definición 2 Una matriz A M n n (IR) es diagonalizable cuando A es semejante a una matriz diagonal D. O sea, tenemos que y existe una matriz invertible C tal que λ 1 0 D =... 0 λ n A = C 1 DC.

3 2 MATRICES DIAGONALIZABLES 3 El problema que queremos estudiar es: Como saber si una matriz es o no diagonalizable? Un resultado fundamental en esta linea es el siguiente: Teorema 1 Toda matriz simétrica (A = A t ) es diagonalizable. Este resultado será de importancia en cursos posteriores, cálculos, física, etc. En los mismos apareceran naturalmente matrices simétricas. En el caso de matrices simétricas, basta mirar la matriz para concluir que es diagonalizable. Por ejemplo: A = π es diagonalizable; lo que aparece abajo de la diagonal es simétrico a lo que aparece sobre la misma, A = A t. Lamentablemente no es siempre tan sencillo saber si una matriz es diagonalizable. Vamos a ver que el problema de diagonalizar equivale a encontrar bases especiales. Por que esta afirmación? Dada una matriz A M n n (IR) podemos considerar la transformación: T : IR n IR n, definida por Tv = Av, donde consideramos v IR n como vector columna. Si existe una base P formada por vectores tales que: Entonces, por lo tanto v 1,v 2,...,v n T (v 1 )=λ 1 v 1,T(v 2 )=λ 2 v 2,...,T(v n )=λ n v n. coord P (Tv 1 )= (λ 1,0,0,...,0), coord P (Tv 2 )= (0,λ 2,0,...,0),.. coord P (Tv n )= (0,0,0,...,λ n ), λ λ P[T ] P = ,.. C[T] C =A; λ n donde C es la base canónica de IR n. Colocando juntas las piezas anteriores, vemos que: A = C 1 DC donde C es la matriz de cambio de base de la canónica a la base P, P [id IR n] C,yDes la matriz diagonal P [T ] P. En ese caso concluimos que la matriz A es diagonalizable. El problema de diagonalizar una matriz equivale a encontrar este tipo de base P.

4 3 POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ 4 3 Polinomio característico de una matriz Sea I la matriz identidad n n. Definición 3 Dada una matriz A M n n (IR), el polinomio p(λ) = det(a λi) es llamado el polinomio característico de A. Veamos esta definición en funcionamiento. Ejemplo 3.1 Consideremos la matriz A = Su polinomio característico es: p(λ) = det λ = det 1 λ λ λ 2 λ 1 =(1 λ) 1 3 λ =(1 λ)(λ 2 5λ +7) = λ 3 +6λ 2 12λ +7. Se puede ver que el polinomio característico de una matriz A M n n es: p(λ) = ( 1) n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0. este este coef. coef. es tra es det A Un resultado con una apariencia inocente, pero que es importante es: Lema 1 Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. demostracion: Tenemos que A = C 1 BC queremos ver que: det(a λi) = det(b λi).

5 3 POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ 5 Usando que son semejantes y que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes, det(a λi) = det(c 1 BC λi) = det(c 1 BC λc 1 C) = det[c 1 (B λi)c] = det C 1 det(b λi) det C = det(b λi). Como las matrices asociadas a una transformación en bases distintas son matrices semejantes, el lema anterior nos permite definir la noción de polinomio característico de un transformación T : V V. Definición 4 Sea B una base de V, el polinomio característico de la matriz B [T ] B es llamado polinomio característico de la transformación T. RECUERDE B[T ] B lo mismo El que las matrices asociadas a T en bases diferentes son semejantes es lo que nos garante que el polinomio anterior depende de la transformación y no de la base elegida. 3.2 Valores propios. Definición 5 Dada una matriz A M n n (IR), las raices de su polinomio característico son llamados valores propios de la matriz. Observación: El polinomio característico es un polinomio de grado n con coeficientes reales, puede suceder que tenga raices complejas. Nosotros, en el contexto de diagonalización en espacios vectoriales reales estamos interesados en las raices reales del mismo, por lo tanto tenga en mente: Cuando hablemos de valores propios nos referimos a las raices reales del polinomio característico. Nos interesa la relación: valor propio λ sistema homogéneo con matriz asociada A λi es compatible indeterminado

6 4 VECTORES PROPIOS. 6 o sea el sistema homogéneo cuya matriz es: A λi posea otras soluciones además del 0 IR n. Definición 6 Dada una transformación lineal T : V V, las raices del polinomio característico de T son llamados valores propios de la transformación. 4 Vectores propios. Definición 7 Dada una transformación lineal, T : V V, decimos que un vector v no nulo es un vector propio cuando T (v) =λv, para algun λ IR. Es un ejercicio interesante mostrar que ese λ que aparece en la definición anterior es un valor propio de T ; o sea anula el polinomio característico de T. 4.1 Ejemplo Sea V el espacio generado por las funciones e x, e x ; T : V V definida por Tf = f. Entonces T (e x )= e x, T(e x )= e x. Vemos que e x es vector propio con valor propio 1 y que e x es vector propio con valor propio Ejemplo Sea V el espacio generado por las funciones Los vectores de V son funciones de la forma: cos x, senx; T : V V definida por Tf = f. f(x) =acos x + b senx; donde a, b IR. Tenemos que: T (a cos x + b senx) = acos x b senx, o sea, Tf = f, para toda f V. Todo vector de V es vector propio con valor propio 1. Observación: En algunos libros se utiliza la denominación para autovalores valores propios, autovectores vectores propios.

7 5 SUBESPACIOS PROPIOS. 7 5 Subespacios propios. Definición 8 Dados una transformación lineal T : V V y un escalar λ, definimos los conjuntos E λ = {v V/Tv=λv}. Lema 2 Los E λ son subespacios vectoriales para todo escalar λ. demostración: Dados u, w E λ tenemos o sea u + w está ene λ. De la misma manera T (u + w) =Tu+Tw = λu + λw = λ(u + w), T (αu) =αt u = λ(αu) el vector αu está ene λ para todo escalar α. La mayoría de esos subespacios son triviales, eso quiere decir que son el subespacio formado por el vector nulo solamente. Los que son interesantes son justamente los que corresponden a los valores propios, llamados subespacios propios. Repitiendo el comentario hecho cuando fueron definidos los valores propios, vemos que esto está relacionado con que un sistema homogéneo tenga soluciones no triviales. Algo sencillo de probar pero con consecuencias importantes, es que E λ Eµ = {0}, cuando λ µ. Usaremos esto en el ejemplo 7.1, en el mismo formaremos una base de todo el espacio tomando bases de los distintos subespacios propios. Otro comentario es el siguiente, si tenemos una transformación lineal, T : V V, que no es inyectiva, o sea el ker(t ) tiene otros vectores además del nulo. En este caso tenemos v ker(t ), Tv =0=0vcon v 0; o sea el cero es valor propio y Resultado principal E 0 = ker(t ). El subespacio propio correspondiente al valor propio 0 es Ker T. En esta sección mostraremos lo que ya habiamos adelantado, que diagonalizar equivale a encontrar una base de vectores propios. Definición 9 Una transformación T : V V es diagonalizable si la matriz asociada a T en una base B, B [T ] B, es diagonalizable.

8 6 TEOREMA FUNDAMENTAL 8 Como las matrices asociadas a una transformación lineal en bases diferentes, B[T ] B, C[T ] C son semejantes, tenemos que la matriz asociada a T en cualquier base es diagonalizable. Por lo tanto que una transformación sea diagonalizable no es algo que dependa de la base elegida. Depende efectivamente de la transformación y no de la base como podría parecer a primera vista. Recordemos que toda matriz A M n n (IR) la podemos interpretar como la matriz de la transformación T : IR n IR n dada por T (v) =Av; donde tomamos v IR n como vector columna. Esto nos permite unificar el problema de diagonalizar matrices y transformaciones. El siguiente teorema es el resultado básico sobre diagonalización tanto para matrices como para transformaciones. 6 Teorema fundamental Teorema 2 Una transformación es diagonalizable sii existe una base de vectores propios. demostración: ( ) Sabemos que existe una matriz invertible C y una matriz diagonal λ 1 0 D =... 0 λ n tal que B [T ] B = C 1 DC. lo que vamos a hacer es interpretar la matriz diagonal D como D = P [T ] P, donde P sea una base formada por vectores propios. La matriz C, la interpretaremos como C = P [id V ] B. Sabemos que CC 1 = Id por lo tanto si consideramos las columnas de C 1 como vectores de IR n, tenemos columna. C i = lugar i. de C 1 1. Entonces DC columna i de C 1 = D. 1. = lugar i... λ i

9 6 TEOREMA FUNDAMENTAL 9 De donde resulta que C 1 DC columna i de C 1 = λ i C = λ i columna i de C 1. Interpretemos lo que hemos obtenido. Si consideramos un vector v i cuyas coordenadas en la base B corresponden a la columna i de C 1, Lo que obtuvimos fue que coord B (v i )= columna i de C 1. coord B (Tv i )=λ i coord B (v i )=coord B (λ i v i ). Por la unicidad de las coordenadas tenemos que Nos falta ver que los vectores Tv i = λ i v i para i =1,...,n. v 1,...,v n forman una base de V. Eso resulta de que C 1 es una matriz es invertible. Por lo tanto sus columnas forman una base de IR n, como el pasaje a coordenadas es un isomorfismo(lleva bases en bases) tenemos que los vectores v 1,...,v n forman una base de V. ( ) Sea P una base formada por vectores propios v 1,...,v n tales que T (v 1 )=λ 1 v 1,...,T(v n )=λ n v n. Para la matriz asociada a T en cualquier base B, tenemos que B[T ] B = C 1 P[T ] P C, donde C y C 1 corresponden a las matrices de cambio de base P[id V ] B, B[id V ] P respectivamente. Como P [T ] P es diagonal, tenemos que T es diagonalizable. Recuerde que cuando comenzamos, adelantamos que: Teorema 1 Toda matriz simétrica es diagonalizable. Para este caso, de matrices simétricas, se cumple además que: Teorema 1 Dada una matriz simétrica, existe una base de vectores propios que es ortonormal.

10 7 EJEMPLOS 10 Para cursos posteriores es bueno recordar que: Las raices del polinomio característico de una matriz simétrica son reales. Volviendo ahora al caso general, o sea no sólo matrices simétricas. Si usamos que para cada valor propio existe por lo menos un vector propio asociado a cada valor propio diferente, del resultado principal se deduce: Corolario 2 Sea T : V V donde la dimensión de V es n, o sea A una matriz debe ser n n. Si poseen n valores propios distintos, entonces son diagonalizables. 7 Ejemplos En los ejemplos, además de ilustrar los resultados mostrados en estas notas hay que prestar atención a cada uno de los pasos que se dará y el orden de los mismos. 7.1 Ejemplo Sea A la matriz A = ) Polinomio característico. Para hallar el polinomio característico de la matriz A calculamos p(λ) = det 5 λ λ λ 2) Valores propios. Las raices del polinomio característico son. λ = 1(raiz doble), λ = 3(raiz simple). El polinomio característico factorizado resulta =(1 λ)[ (5 + λ)(9 λ) + 48] =(1 λ)(λ 2 4λ +3) p(λ) = (3 λ)(1 λ) 2 multiplicidad algebraica Definición 10 Los exponentes que aparecen en los factores correspondientes a valores propios diferentes son llamados multiplicidades algebraicas.

11 7 EJEMPLOS 11 En este caso λ = 1 tiene multiplicidad algebraica 2 y λ = 3 tiene multiplicidad algebraica 1. 3)Subespacios propios. El subespacio propio correspondiente al valor propio 3 es O sea, son las soluciones del sistema E 3 = (x, y, z) IR3 /A x y z 5x +12y=3x 4x+9y=3y 2x+4y+z=3z =3 x y z. Como la primera ecuación es múltiplo de la segunda, el sistema nos queda { 4x +6y=0 2x+4y 2z=0 Corresponde al corte de dos planos, o sea E 3 es una recta. Una ecuación paramétrica de la misma es x = 3λ 2 y = λ z = 1λ 2 por lo tanto el vector (3, 2, 1) es una base de E 3. Definición 11 La dimensión del subespacio propio es llamada multiplicidad geométrica del valor propio. En este caso la multiplicidad geométrica del valor propio 3 es 1. El subespacio propio correspondiente al valor propio 1 es O sea, son las soluciones del sistema Esto corresponde al plano E 1 = (x, y, z) IR3 /A Una ecuación paramétrica del mismo es x y z 5x +12y=x 4x+9y=y 2x+4y+z=z 2x 4y =0. = x y z.

12 7 EJEMPLOS 12 x =2λ y=λ z=µ tenemos que los vectores (2, 1, 0), (0, 0, 1) forman una base del mismo. Por lo tanto la multiplicidad geométrica del valor propio 1 es 2. 4) Diagonalización. En este caso los vectores (2, 1, 0), (0, 0, 1) (3, 2, 1) }{{}}{{} valor valor propio propio 1 3 forman una base de IR 3 donde los vectores que aparecen son vectores propios. Si llamamos P a esa base, tenemos que P[T ] P = 0 1 0, donde Tv = Av. Para hallar la matriz de cambio de base P [id IR 3] C, donde C es la base canónica, usamos que (1, 0, 0) = 2(2, 1, 0) (0, 0, 1) (3, 2, 1) (0, 1, 0) = 3(2, 1, 0) 2(0, 0, 1) + 2(3, 2, 1) (0, 0, 1) = 0(2, 1, 0) + (0, 0, 1) + 0(3, 2, 1) o sea coord P (1, 0, 0) = (2, 1, 1) coord P (0, 1, 0) = ( 3, 2, 2) coord P (0, 0, 1) = (0, 1, 0) y por lo tanto la matriz de cambio de base es Tenemos que A = P[id IR 3] C = = En este ejemplo vemos tambíen en funcionamiento un resultado que es equivalente al resultado fundamental mostrado anteriormente y es que: multiplicidad = multiplicidad algebraica geométrica diagonalizable

13 7 EJEMPLOS Ejemplo Sea A la matriz [ ] 3 1 A = ) Polinomio característico. Como la matriz A es diagonal, el cálculo del polinomio característico resulta sencillo, p(λ) = (λ 3) 2 multiplicidad algebraica =2 2) Valores propios. En este caso tenemos un solo valor propio, λ = 3 con multiplicidad algebraica 2. 3) Subespacio propio. El subespacio propio correspondiente al valor propio 3 es { [ ] [ x x E 3 = (x, y) IR 2 /A =3 y y O sea, son las soluciones del sistema { 3x + y =3x 3y=3y que corresponde a la ecuación y =0. Por lo tanto E 3 = {(x, 0) /x IR}, que tiene dimensión 1. Tenemos que la multiplicidad algebraica es distinta de la geométrica. No vamos a tener una base de vectores propios, lo que implica que la matriz [ ] 3 1 A = 0 3 no es diagonalizable. 7.3 Ejemplo Consideremos la transformación lineal T : P 2 P 2, dada por Tp = p. En la base canónica C de P 2 formada por los polinomios x 2,x,1 ]}. recuerde la importancia del orden de los vectores al fijar la base.

14 7 EJEMPLOS 14 1) Matriz asociada a T. Tenemos que Obtenemos 2) Polinomio característico. El polinomio característico de T es Tx 2 =2x, coord C (Tx 2 )=(0,2,0), Tx =1, coord C (Tx)=(0,0,1), T 1=0, coord C (T 1)=(0,0,0). C[T ] C = p(λ) = det λ λ λ. = λ 3. 3) Valores propios de T. Tenemos un solo valor propio, λ = 0 con multiplicidad algebraica 3. 4) Subespacio propio. El subespacio propio asociado al valor propio 0, corresponde a los polinomios Recuerde además E 0 = {p P 2 /Tp=0} p E 0,p(x)=c, c IR. El subespacio propio correspondiente al valor propio 0 es Ker T. El resultado anterior lo podemos hallar en coordenadas utilizando la matriz asociada. Sea p(x) =ax 2 + bx + c E 0, entonces coord C (p) =(a, b, c) y equivale al sistema a b c =0 0=0, 2a=0, b=0 de donde nuevamente obtenemos que a = b = 0. Tenemos que la dimensión de E 0 es 1, o sea la multiplicidad geométrica del valor propio 0 es 1 a b c = 0 0 0

15 7 EJEMPLOS 15 multiplicidad algebraica multiplicidad geométrica y por tanto no existe una base formada por vectores propios, entonces T no es diagonalizable.

16 8 APLICACIONES 16 8 Aplicaciones La diagonalización es de interés en áreas diversas tanto de la matemática como de otras ciencias. Se pueden mencionar por ejemplo: geometría, programación cuadrática, estadística, mecánica, etc. Una de estas aplicaciones de diagonalización es la siguiente. 8.1 Modelos. En las ciencias sociales, existen problemas los cuales se pueden estudiar con lo que son llamados modelos dinámicos de tiempo discreto. En estos casos la diagonalización simplifica el estudio de la dinámica. Que significan todos esos conceptos mencionados anteriormente? Dinámica significa que algo cambia con el tiempo. En el caso que veremos, de tiempo discreto, el tiempo es t=0, t=1,..., o sea t es un número natural. En nuestro caso partimos de un punto x en IR n y luego el pasar del tiempo corresponde a tomar x para t =0, A(x) para t =1, A(A(x)) = A 2 (x) para t =2,. mveces A(A(..A (x)..) =A m (x) para t = m donde A es una matriz n n. La dimensión n depende de cuantas cantidades son de interés para lo que estemos modelando. Esquematicamente corresponde n A x 2 A x Ax x Iterados de un elemento x El punto A m (x) es llamado el iterado m de x. Estudiar la dinámica del problema corresponde a estudiar como se comportan los iterados de los distintos puntos iniciales x de IR n

17 8 APLICACIONES 17 cuando m tiende a infinito. En el caso de que la matriz A sea diagonalizable, o sea A = C 1 DC donde D es diagonal, tenemos que A m (x) =C 1 D m C(x) con D n = λ m λ m n Esto ya simplifica bastante el problema. Pero existe una situación en la cual tenemos más información aún. Es cuando los valores propios satisfacen. λ i < 1, para i =1,...,n tenemos que lim m λm i =0, y como consecuencia la matriz D m tiende a la matriz nula cuando m tiende a infinito. Esto implica que sin importar el punto de partida, cuando el tiempo pasa, o sea cuando m crece A m x se aproxima cada vez más al origen, independientemente del x tomado inicialmente. A 2 x Ax 0 x Figura 1: Iterados de un punto cualquiera En este caso se dice que el origen es un atractor. Todos los puntos de IR n se comportan de la misma manera.

18 8 APLICACIONES 18 Cónicas. 8.2 Reconocimiento de Cónicas. Una ecuación del tipo ax 2 + bxy + cy 2 + dy + ex + f =0, representa una sección cónica en un sistema ortogonal de coordenadas. Figura 2: Secciones cónicas Como reconocemos a partir de la ecuación ax 2 + bxy + cy 2 + dy + ex + f =0, ( ) de que tipo de cónica estamos hablando? Para responder a esto utilizamos el resultado sobre diagonalización de matrices simétricas. Se puede ver que mediante una traslación del origen de coordenadas; o sea existen coordenadas x = x + p, y = y + q, donde podemos elegir (p, q) de forma que la ecuación de la cónica se transforma en ax 2 + bxy + cy 2 + f =0. Como los coeficientes a, b, c son los mismos, para saber que tipo de cónica representa la ecuación estudiamos: ax 2 + bxy + cy 2, se denominan parte principal de la ecuación ( ). Esta expresión se puede escribir en la forma: ax 2 + bxy + cy 2 =(x, y) ( a b 2 b 2 c )( x y ) =(x, y)a ( x y )

19 8 APLICACIONES 19 donde A es una matriz simétrica. Por el teorema 1, la matriz A posee valores propios reales y puede diagonalizarse mediante un cambio de base ortonormal. Esto permite obtener nuevas coordenadas, dadas por una rotación de los ejes x, y; donde no aparece término en xy. Este cambio de coordenadas nos permite reconocer que tipo de cónica representa la ecuación estudiando el signo del producto de los valores propios de A. Para cónicas no degeneradas, si llamamos λ 1 y λ 2 a los valores propios de A, tenemos: λ 1 λ 2 > 0 λ 1 λ 2 < 0 λ 1 λ 2 = 0 { λ1 = λ 2, la cónica es un círculo, λ 1 λ 2, la cónica es una elipse. corresponde a una hipérbola. corresponde a una parábola. Para una descripción más detallada de lo hecho en esta aplicación consultar, por ejemplo, el libro: Algebra y geometría de E. Hernandez.