Problemas. Simetrías Discretas

Transcripción

1 Probemas Probemas 1 Sea T d e operador de trasación con vector despazamiento d, D(ˆn, φ) e operador de rotación (ˆn y φ son respectivamente e eje y e ánguo de rotación), y Π e operador de paridad Cuáes de os siguientes pares de operadores conmutan? Por qué? (a) T d y T d (d y d en distintas direcciones) (b) D(ˆn, φ) y D(ˆn, φ ) (ˆn y ˆn en distintas direcciones) (c) T d y Π (d) D(ˆn, φ) y Π 2 Señaar de as siguientes expresiones cuaes son verdaderas y cuaes fasas (a) Si e Hamitoniano es invariante rotaciona, necesariamente [Ĵ, Ĥ] = 0 y [Ĵ 2, Ĥ] = 0 (b) Si e Hamitoniano es invariante rotaciona, todos os estados de a forma D(R) n; jm tienen a misma energía (c) Si e Hamitoniano es invariante rotaciona, todos os estados de a forma n; jm tienen a misma energía, independientemente de vaor de m (d) E Hamitoniano cuyo potencia es V (r) + α ˆL Ŝ tiene una degeneración (2j + 1) en cada nive, debido a punto anterior (e) E operador momento dipoar eéctrico tiene paridad par (f) E conmutador [ˆx, Π] = 0 } (g) E anticonmutador {ˆL, Π = 0 (h) E conmutador [Ĵ, Π] = 0 (i) Π ĴΠ = Ĵ (j) Si [Π, Ĥ] = 0, un vector con paridad definida a t = 0 mantiene su paridad a todo t (k) Π 1 Ŝ ˆxΠ = Ŝ ˆx () Π 1 Ŝ ˆLΠ = Ŝ ˆL (m) Si un Hamitoniano es invariante ante inversiones espaciaes, os estados estacionarios no tienen momento dipoar permanente (n) Puede existir un estado de átomo de Hidrógeno con n = 2 que tenga momento dipoar permanente 3 En a case vimos que operando ˆT [ˆr, ˆp] ˆT 1 nos eva a que ˆT i ˆT 1 = i, y por o tanto ˆT debe ser antiinea Legar a a misma concusión con as reaciones de conmutación entre as componentes de Ĵ y entre as componentes de ˆp y Ĵ 4 Considerar un sistema que a t = 0 se encuentra en e estado α A tiempo t = 0 se e apica un operador de reversión tempora ˆT y se o deja evoucionar hasta un tiempo infinitesima δt (a) Si e movimiento es simétrico bajo inversión tempora, cómo debería pantearse a equivaencia si intercambiamos e orden de as operaciones? 1

2 Probemas (b) Expresar as operaciones de trasación tempora infinitesima en forma matemática y egar a as reaciones de conmutación pertinentes (c) Eaborar un argumento adiciona acerca de por qué e operador ˆT debe ser antiinea 5 Demostrar que si un operador antiinea ˆθ = Ŷ ˆK donde ˆK es e operador conjugación compeja, entonces Ŷ debe ser inea 6 Demostrar que si un operador antiinea ˆθ = Û ˆK donde Û es un operador unitario y ˆK es e operador conjugación compeja, entonces si ᾱ = ˆθ α y β = ˆθ β, entonces β ᾱ = α β 7 Evaúe os siguientes eementos de matriz Si aguno se anua, expique por qué usando argumentos de simetría (a) n = 2, = 1, m = 0 x n = 2, = 0, m = 0 (b) n = 2, = 1, m = 0 p z n = 2, = 0, m = 0 (c) L z para un eectrón en un campo centra con j = 9/2, m = 7/2, y = 4 En (a) y (b), nm son os autoestados de energía de átomo de hidrógeno ignorando os efectos de spín 8 (a) Sea φ(x, t) a función de onda de una partícua sin espín correspondiente a una onda pana en tres dimensiones Muestre que φ (x, t) es a función de onda de una onda pana con a dirección de momento invertida (b) Sea χ(ˆn) e auto-spinor de dos componentes de σ ˆn con autovaor +1 Utiizando a forma expícita de χ( ˆn) en términos de os ánguos poares y azimutaes α y β que caracterizan a ˆn, verifique que iσ y χ (ˆn) es e auto-spinor con a dirección de spín invertida 9 (a) Asumiendo que e hamitoniano es invariante ante inversión tempora, pruebe que a función de onda para un sistema no degenerado sin espín, puede ser eegida rea en cada instante de tiempo (b) La función de onda para un estado de onda pana está dada en t = 0 por a función compeja e ip x/ Por qué esto no vioa a invariancia de inversión tempora? 10 Sea φ(p ) = p α a función de onda en representación de momentos de estado α La función de onda en representación de momentos de estado Θ α (donde Θ es e operador de inversión tempora), está dada por φ(p ), φ( p ), φ (p ), o por φ ( p )? Justifique 11 Se sabe que un estado cuántico Φ es simutáneamente autoestado de dos operadores hermíticos A y B que anticonmutan Qué puede decir sobre os correspondientes autovaores de A y B para este estado? Iustre e resutado usando e operador paridad y e operador de momentos (utiice que Π = Π 1 = Π ) 12 Considere dos autoestados de operador paridad Π α = ɛ α α Π β = ɛ β β, donde os autovaores ɛ α y ɛ β pueden ser 1 o 1 Muestre que β x α = 0 2

3 Probemas savo si ɛ α = ɛ β Reacione este resutado con e argumento usua φ β xφ αd 3 x = 0 si φ α y φ β tienen a misma paridad (rega de Laporte) Qué ocurre con β p α? Y con β S x α? 13 Considere a función de onda de una partícua sin spín x αm = R α (r)y m Qué puede decir de V (r) en que se encuentra a partícua? Usando as expresiones de os armónicos esféricos, muestre que frente a a transformación de paridad x x, e estado se transforma como Π αm = ( 1) αm Qué puede decir de as propiedades de conmutación de Π y L? 14 Una partícua de spin s = 1/2 está igada a un centro fijo por un potencia esféricamente simétrico Las autofunciones simutáneas de L 2, S 2, J 2 y J z se pueden escribir: Y j=±1/2,m = ± = ± m + 1/ ( ( Y m 1/2 1 0 ± ± m + 1/2Y m 1/2 m + 1/2Y m+1/2 (a) Escriba a función spín-anguar Y j=1/2,m=1/2 =0 ) ( m + 1/2 + Y m+1/ ) (b) Exprese (σ x)y j=1/2,m=1/2 =0 en términos de Y j,m (c) Muestre que e resutado obtenido en (b) se puede interpretar usando as propiedades de transformación de S x ante rotaciones e inversión espacia (paridad) 15 En términos de cuaes de os Y j,m puede expresarse (S x y S y x)y j=3/2,m=3/2 =1? Ayuda: Puede resutar úti saber que si U y V son tensores de rango 1, entonces (U V) i 2 también o es 16 Debido a interacciones débies existentes entre os eectrones atómicos y e núceo, se puede tomar un potencia que vioa paridad de a siguiente forma: V = λ[δ 3 (x)s p + S pδ 3 (x)], donde S y p son os operadores de spín y de momento de eectrón respectivamente, y se supone que e núceo está ubicado en e origen de coordenadas Como resutado, e estado fundamenta de un átomo acaino, usuamente caracterizado por n,, j, m, en reaidad contiene pequeñas contribuciones provenientes de otros autoestados en a siguiente manera: n,, j, m n,, j, m + C n j m n,, j, m n j m Usando soamente consideraciones de simetría, qué puede decir acerca de os (n,, j, m ) que dan contribuciones no nuas? Suponga que as funciones de onda radiaes y os nivees de energía son conocidos Indique como cacuaría os C n j m Se obtienen más restricciones acerca de os (n,, j, m )? ) 3

4 Probemas 17 Sea una partícua sometida a un potencia de osciador armónico cuyo estado inicia a t = 0 es e estado coherente β = e β 2 /2 n=0 β n n! n, donde β C (a) Se mide e operador paridad Π a t = 0 obteniéndose e autovaor +1 Cuá es e estado ψ de sistema a tiempo t > 0? (b) Qué vaores puede tomar a t > 0 e operador H y con qué probabiidad? Cuá es e estado a un tiempo posterior? Cuá es e primer estado excitado? Qué resutados posibes daría a medición de Π? (c) Si se quisiera medir e operador de aniquiación a en e estado ψ, qué vaores podría obtener? (d) Cacue e vaor medio de os operadores a y a coherente? Es ψ un estado 18 Muestre que os operadores P + = (1+Π)/2 y P = (1 Π)/2 son proyectores Qué condición debe cumpir ψ(r) para que ψ pertenezca a subespacio invariante de P + o de P? Qué quiere decir físicamente que P + + P = 1? 19 Considere un potencia rectanguar simétrico dado por para x > a + b V (x) = 0 para a < x < a + b V 0 > 0 para x < a Asumiendo que V 0 es mucho mayor que as energías correspondientes a os nivees mas bajos, obtenga una expresión aproximada para a separación en a energía de os dos estados mas bajos Qué ocurre en e ímite V 0? Tienen en este caso os autoestados de a energía paridad definida? Justifique (a) Cuá es e estado inverso-tempora correspondiente a D(R) j, m? (b) Usando as propiedades de inversión tempora y rotaciones, pruebe que (c) Pruebe que Θ j, m = i 2m j, m D (j) m,m (R) = ( 1)m m D (j) m, m (R) 20 Suponga que una partícua sin spín está igada a un centro fijo por un potencia V (x), tan asimétrico que ningún nive de energía es degenerado Usando invariancia ante inversión tempora, pruebe que L = 0 para cuaquier autoestado de energía Si a función de onda de uno de estos autoestado no degenerados se expande en a forma F m (r)y m, qué tipo de restricciones de fase se obtienen para F m (r)? m 4

5 Probemas 21 E Hamitoniano de un sistema de spín 1 está dado por H = AS 2 z + B(S 2 x S 2 y) Resueva exactamente este probema para encontrar os autoestados normaizados de energía y sus autovaores (un Hamitoniano dependiente de espín de este tipo aparece en e estudio de cristaes) Es este Hamitoniano invariante ante inversión tempora? Cómo se transforman ante inversión tempora os autoestados normaizados obtenidos? 5