Laboratorio de Física de Fluidos, Calor y Termodinámica - Física 3 Practica No. 1 - El péndulo simple

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1 Laboratorio de Física de Fuidos, Caor y Termodinámica - Física 3 Practica No. 1 - E pénduo simpe Departamento de Física - Universidad de Cauca Resumen E estudio de os sistemas osciatorios es de fundamenta importancia para todos os ingenieros, independiente de a rama de a ingeniería en a que se hayan formado, y su entendimiento es necesario para poder entender con mayor detae mutitud de situaciones teóricas y experimentaes que aparecen en a física. Hasta ahora en a física soamente se ha estudiado e movimiento de objetos bajo a inuencia de una fuerza constante que no cambia. Este movimiento es descrito a cacuar a posición y a veocidad como funciones de tiempo. Sin embargo, e mundo rea frecuentemente tiene fuerzas cambiantes. Ejempos comunes son os pénduos osciantes, as ruedas de baance de os reojes mecánicos, diapasones, membranas vibrantes y as cuerdas de os instrumentos musicaes. Para entender estos casos y muchos otros se necesita una descripción más competa de movimiento causado por una fuerza resutante que varía de una manera predecibe. 1. E Movimiento Periódico Siempre que un objeto se deforma, aparece una fuerza eástica de restitución que es proporciona a a deformación. Cuando se deja de apicar a fuerza, e objeto vibrará de una ado a otro de su posición de equiibrio. Por ejempo, ta como se puede apreciar en a gura 1, después de que un cavadista sata de a taba de trampoín, este continua vibrando arededor de su posición norma, durante un tiempo determinado. Se dice que este tipo de movimiento es periódico, ya Figura 1: Vibración periódica de un trampoín que a posición y veocidad de as partícuas en movimiento se repiten como función de tiempo. Puesto que a fuerza de restitución se reduce después de cada vibración, namente e trampoín vueve a reposo. Movimiento Periódico es aque en e que un cuerpo se mueve de un ado a otro en una trayectoria ja, regresando a cada posición y veocidad después de un intervao de tiempo denido. En a gura 2 se muestra un sistema simpe tipo masa - resorte que se mueve sobre una supercie sin rozamiento, supóngase que tiramos de cuerpo m y o despazamos una distancia x a a derecha de punto de equiibrio para uego iberaro desde e reposo de manera que oscie arededor de a posición x = 0. De acuerdo con a ey de Hooke, e resorte como todo cuerpo eástico reaccionará a a deformación con a aparición de una fuerza restitutiva de a forma: F = kx (1) 1

2 kx = ma x (4) y recordando nuestros conceptos de cinemática sabemos que: a x = d2 x así pues a ecuación (4) queda: kx = m d2 x (5) si dividimos a ambos ados de a expresión por m se tiene: k m x = d2 x a cantidad ω denida a través de a reación: Figura 2: Sistema osciatorio masa resorte donde debemos recordar que e signo menos indica que este tipo de fuerzas siempre se opone a despazamiento, a constante k se ama coeciente de restitución o de recuperación e indica e comportamiento eástico de este cuerpo. Para poder encontrar una función que represente e comportamiento de este sistema debemos entonces apicar a segunda ey de movimiento: F = m a (2) Debemos recordar que esta es una expresión vectoria y en consecuencia debemos tener en cuenta cuantas fuerzas aparecen y a o argo de que ejes o hacen, en este caso no nos interesa o que sucede a o argo de eje y, ya que a fuerza gravitaciona va a estar equiibrada con a fuerza norma y e sistema no presenta rozamiento. En e caso de eje x tendremos: Fx = ma x (3) k m = ω2 se ama a frecuencia anguar y tiene unidades de rad s. Así pues si reacomodamos de nuevo a ecuación diferencia, esta toma a forma: d 2 x = ω2 x (6) a cua puede ser soucionada muy fácimente si encontramos una función que a ser derivada dos veces con respecto de tiempo vueva a ser a misma, en este caso as funciones que podemos utiizar deben ser aqueas que se comporten de a misma manera que un sistema osciatorio. No es muy difíci dar con eas, as funciones trigonométricas seno y coseno cumpen con esta condición. Supongamos entonces una función soución de a forma: donde: x = A cos (ωt + φ) (7) a reempazar a magnitud de a fuerza recuperadora se tiene: A ω φ Ampitud de osciación Frecuencia anguar Diferencia o constante de fase 2

3 La ampitud A es e despazamiento máximo de cuerpo con respecto a su posición de equiibrio, en aquí donde e cuerpo a fuerza máxima de restitución y consecuentemente a mayor aceeración. La fuerza decrece a medida que e cuerpo se aproxima a su centro de osciación, y ega a cero en este punto. Sería de esperar que e cuerpo se detuviera por acción de a fuerza restitutiva, sin embargo a cantidad de movimiento que e cuerpo m eva hace que se continué despazando hasta comprimir e resorte, a egar a a máxima compresión a fuerza restitutiva de nuevo actúa ahora en dirección opuesta a a compresión de resorte o que resuta en e inicio de un nuevo movimiento. Movimiento Armónico Simpe es e movimiento periódico en ausencia de rozamiento, producido por una fuerza de restitución que es directamente proporciona a despazamiento y apicada en a misma dirección pero en sentido opuesto. E tiempo que e toma a sistema en reaizar una osciación competa, es decir partir de una posición y regresar a ea se denomina periodo T y a frecuencia es cuantas osciaciones ocurren por unidad de tiempo, estas dos cantidades están reacionas así: f = 1 T = ω 2π T = 1 f = 2π ω (8) (9) Suee denirse a unidad de frecuencia como e inverso de tiempo o 1 /s = Hz La diferencia de fase φ está reacionada con cuanto se separa a función soución de a función idea, es decir es un despazamiento en e comportamiento de sistema debido a as condiciones iniciaes tanto de posición (x (0) = x i ) como de veocidad (v (0) = v i ). Esta puede ser determinada entonces en base a estas condiciones iniciaes. Para comprobar que a función x es a adecuada derivemos dos veces: dx dt = Aω sin (ωt + φ) Figura 3: Comportamiento Osciatorio de Sistema masa resorte d 2 x = Aω2 cos (ωt + φ) Si reempazamos en a ecuación (6) se tiene: Aω 2 cos (ωt + φ) = ω 2 A cos (ωt + φ) con o que vemos que a función es soución de esta ecuación diferencia. En a gura 3 aparece e comportamiento de una de estas funciones, e cua nos muestra como oscia a posición de a masa a medida que transcurre e tiempo. Ahora habemos acerca de a veocidad y a aceeración que este tipo de movimiento poseen, tanto a aceeración como a veocidad de un cuerpo en vibración nunca son constantes. Por consiguiente deben cambiar de a misma manera que o hace a función que describe a posición. Recordando que en a cinemática a veocidad ha sido denida como a derivada de a posición con respecto de tiempo y a aceeración como a segunda derivada de a posición con respecto de tiempo tenemos: v = dx dt = Aω sin (ωt + φ) (10) a = d2 x = Aω2 cos (ωt + φ) (11) Ambas funciones son osciatorias y o hacen arededor de unos vaores máximos, que son: 3

4 distancia recorrida no será una ínea recta sino un segmento de una circunferencia amado ongitud de arco s a cua está denida como: Ahora: s = θ (14) Fy = 0 T = mg cos (θ) Figura 4: Pénduo Simpe y Ft = ma t v max = ±Aω (12) a max = ±Aω 2 (13) 2. E Pénduo Simpe E movimiento periódico de un pénduo se ha utiizado desde a antigüedad en os reojes con e n de reguar e mecanismo que hace que as manecias se muevan arededor de a esfera. Veremos que para pequeños despazamientos desde a posición de equiibrio, e pénduo experimenta un movimiento armónico simpe. Para que e pénduo sea considerado simpe debemos tener en cuenta ciertas condiciones, a primera es que toda a masa de sistema se debe concentrar en a masa o esfera que hay en su extremo. La otra gran condición es que a cuerda de pénduo sea idea, es decir, sin masa, sin easticidad y con ongitud constante. En a gura 4 a masa de a esfera tiene un peso de magnitud mg orientado hacia abajo, y a moverse se puede apreciar como as diversas componentes de este peso cambian, apiquemos entonces a segunda ey de movimiento: F = m a y tomemos en cuenta que en este caso e movimiento de cuerpo no es inea sino anguar, por o que a como entonces: mg sin (θ) = ma t a t = d2 s mg sin (θ) = m d2 s por a ecuación (14) podemos decir que: mg sin (θ) = m d2 (θ) como es una cantidad constante y m está a ambos ados de a expresión, podemos organizar así g sin (θ) = d2 θ o de una manera que es conocida: d 2 θ = g sin (θ) (15) sin embargo, a ecuación (15) no es todavía a ecuación de un movimiento armónico simpe, para sero debe ser equivaente a a ecuación (6). Es en este punto donde veremos a importancia de reaizar este 4

5 experimento para pequeñas osciaciones. Si as osciaciones son pequeñas entonces e ánguo que forma a cuerda con a vertica es muy pequeño y podemos aproximar: sin (θ) θ θ3 3! + θ5 5! θ7 7! +... dado que e ánguo θ es muy pequeño y que a eevaro a una potencia como 3 o 7 será aún mas pequeño, entonces podemos decir que en este caso: sin (θ) θ y a ecuación (15) puede escribirse como: 3. Objetivo de a Práctica Estudiar as propiedades de un pénduo simpe mediante mediciones de período de osciación en función de su ongitud y su masa tanto de forma anaítica como gráca. 4. Materiaes 1. Soporte 2. Cuerda 3. Esfera metáica ó con: d 2 θ = g θ (16) d 2 θ = ω2 θ (17) ω = g 4. Baanza 5. Cinta métrica 6. Cronómetro 7. Pape miimetrado (o pueden imprimir en 8. Pape semiogaritmico (o pueden imprimir en La ecuación (17) es ahora a ecuación de un osciador armónico simpe y e sistema que ea describe posee todas as características de as que hemos habado hasta ahora, su función soución sera: su frecuencia anguar: su período: su frecuencia: θ = θ max cos (ωt + φ) (18) ω = g T = 2π ω = 2π g (19) (20) 5. Procedimiento En e aboratorio empearemos como pénduo simpe una esfera sóida metáica cogada de un hio. E pénduo describe un movimiento armónico simpe en torno a su posición de equiibrio, y su periodo que es e tiempo que tarda en reaizar una osciación o ir y vover a a misma posición está dado por a ecuación (20). Trate que as osciaciones sea o mas pequeñas posibes, de preferencia trabaje con ampitudes menores a 10º y que a ongitud de hio no representa a ongitud de pénduo, mas precisamente a ongitud de pénduo debe medirse desde e punto donde se sujeta a cuerda hasta e centro de masa de a esfera. Los pasos a seguir son: f = 1 T = ω 2π = 1 g 2π (21) 1. Montar e pénduo 2. Fijar a ongitud de hio en 100 cm. 5

6 3. Separar e pénduo de a posición vertica un ánguo pequeño (recuerde menor de 10º) y dejaro osciar ibremente, teniendo cuidado de vericar que a osciación se produce en un pano vertica. 4. Cuando se esté seguro de que as osciaciones son reguares, se pone en marcha e cronómetro y se cuentan N osciaciones competas a partir de a máxima separación de equiibrio (se aconseja tomar N = 20, bien entendido que una osciación competa dura e tiempo de ida y vueta hasta a posición donde se tomó e origen de tiempos). E periodo de pénduo es igua a tiempo medido dividido por N. d) ¾Por qué se indica que se cuide que e pénduo oscie en un pano vertica? e) ¾Cuá es e vaor de a pendiente de as rectas obtenidas, y cuá es su signicado físico? "Cuaquier camino, si se sigue precisamente hasta e n, no conduce exactamente a ningún ugar. Escaad tan sóo un poco a montaña para comprobar si es una montaña. Desde a cima de a montaña, no podréis ver a montaña" - Proverbio Bene Gesserit 5. Se repite a medida anterior un tota de 5 veces con e mismo pénduo. 6. Se repite todo e procedimiento con ongitudes de 90 cm, 80 cm, 70 cm, 60 cm y 50 cm. 6. Tratamiento y Anáisis de Datos 1. Represente grácamente T en función de usando escaas ineaes y ogaritmicas 2. Represente grácamente T 2 en función de usando escaa inea. 3. Lineaize ambas grácas usando e método de os mínimos cuadrados 4. Responda as siguientes preguntas a) ¾Qué fuentes de error aparecen en a determinación de a gravedad reaizada en esta práctica? b) ¾Disminuiría a precisión en a determinación de g utiizar un cronómetro que sóo apreciase décimas de segundo en ugar de centésimas? c) ¾Sería una buena idea aumentar e vaor de número de osciaciones hasta varios miares para minimizar e error cometido a medir e periodo de pénduo? 6