Problemas de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

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Pascual López Toledo
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1 Problemas de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 6: Ecuaciones en derivadas parciales. 6.1 Series de Fourier Problema 6.1 Problema 6. Problema 6.3 [ π, π]. Problema 6.4 [ π, π]. Problema 6.5 Desarrolle la función x en serie de Fourier en el intervalo [ π, π]. Desarrolle en serie de Fourier en el intervalo [ π, π] la función 0, π <x<0 sen(x), 0 <x<π. Desarrolle la función x cos(x) +cos (x) en serie de Fourier en el intervalo Desarrolle la función (x π)(x + π) en serie de Fourier en el intervalo Dada la función 1 cos (x) en [0,π],halle 1. el desarrollo de Fourier en serie de senos,. el desarrollo de Fourier en serie de cosenos. Problema 6.6 Problema 6.7 Problema 6.8 Problema 6.9 Halle los desarrollos en serie de Fourier de tipo coseno y seno de la función π/4, 0 x π. Desarrolle en serie de Fourier en el intervalo [, ] la función 1, <x<0 x, 0 <x<. Desarrolle en serie de Fourier de tipo coseno la función x, 0 <x< 1 1 (1 x), <x<1. Halle los desarrollos en serie de Fourier de la función x 1. en el intervalo [0, ],. en el intervalo [ 1, 1], 3. en serie de senos en el intervalo [0, 1], 4. en serie de cosenos en el intervalo [0, 1]. 1

2 Tema 6 Ecuaciones en derivadas parciales. Sección 6. EDP Problema 6.10 Halle los desarrollos en serie de Fourier de la función x π 4 1. en serie de senos en el intervalo [0, π],. en serie de cosenos en el intervalo [0, 4π]. Problema 6.11 (E+P, pag 598) Desarrolle en serie de Fourier la función x en el intervalo [0, ]. Aplique el teorema de convergencia para deducir que P 1 1. n=1 n = π 6. P ( 1) n+1. = π n=1 n 1. P 1 3. (n 1) = π 8. n=1 Problema 6.1 (E+P pag. 591) Desarrolle en serie de Fourier la función 0, π <x 0 x, 0 <x<π P Aplique el teorema de convergencia para deducir que 1 (n 1) = π 8. n=1 6. EDP Problema 6.13 (E+P pag. 66) Resuelva la ecuación del calor en [0, 50] para las siguientes condiciones de contorno e iniciales u(0,t) = u(50,t)=0, u(x, 0) = 100. Problema 6.14 e iniciales Problema 6.15 e iniciales Resuelva la ecuación del calor en [0,π] para las siguientes condiciones de contorno 0, 0 <x< π u(x, 0) = π 1, <x<π. x (0,t)= (π, t) =0,t>0. x Resuelva la ecuación del calor en [0,L] para las siguientes condiciones de contorno u(x, 0) = 1 + x, 0 <x<l. x (0,t)= (L, t) =0,t>0. x Problema 6.16 Considere una varilla lateralmente aislada, con longitud L = 50 ydifusividad térmica k = 1que tiene una temperatura inicial de u(x, 0) = 0 ytemperaturasenlosextremos u(0,t)=0, u(50,t)=100. Encuentre la temperatura u(x, t). [Nota: ver problema 17 de E+P pag 69]

3 Tema 6 Ecuaciones en derivadas parciales. Sección 6. EDP Problema 6.17 Resuelva la siguiente variante de la ecuación del calor t = k u + αu, k > 0, α R; x con las siguientes condiciones de contorno e iniciales u(0,t)=u(π, t) =0,t>0, u(x, 0) = 1, 0 <x<π. Problema 6.18 Resuelva la siguiente variante de la ecuación del calor t = k u x +,k>0, con las siguientes condiciones de contorno e iniciales u(0,t)=u(π, t) =0,t>0, u(x, 0) = 0, 0 <x<π. Problema 6.19 Resuelva el problema de ecuaciones en derivadas parciales u xx =u tt 0 <x<1, t > 0, u(0,t)=0, u(1,t)=0, t > 0, u(x, 0) = 0, 0 <x<1, u t (x, 0) = cos (πx), 0 <x<1. Problema 6.0 Resuelva la ecuación de ondas en el intervalo [0,π] con las condiciones de contorno e iniciales que se indican u xx = u tt 0 <x<π, t>0, u(0,t)=0, u(π, t) =0, x, 0 <x< π 4 π, u(x, 0) = 4, π 4 4 3π π x, 4 u t (x, 0) = 0. Problema 6.1 Resuelva la ecuación de ondas en el intervalo [0,π] con las condiciones de contorno e iniciales que se indican u xx = u tt 0 <x<π, t>0, u(0,t)=0, u(π, t) =0, u(x, 0) = sen(x) sen(3x), u t (x, 0) = 3 sen(x). Problema 6. Unacuerdaelásticasujetaenlosextremos(u(0,t)=u(L, t) =0)bajolainfluencia de la gravedad verifica la siguiente ecuación en derivadas parciales u tt = a u xx g 0 <x<l, t>0. 1. Encuentre la solución estacionaria φ(x).. Resolver el problema que surge cuando se añaden las condiciones u(x, 0) = 0 y u t (x, 0) = 0 ala ecuación anterior. 3

4 Tema 6 Ecuaciones en derivadas parciales. Sección 6.3 Algunos problemas de exámenes. Problema 6.3 Problema 6.4 Resuelva el siguiente problema de Dirichlet en el cuadrado [0,π] [0,π] u x + u y =0 u(x, 0) = πx x,u(x, π) =0, 0 <x<π. u(0,y)=u(π, y) =0, 0 <y<π. Resuelva el siguiente problema de Dirichlet en el cuadrado [0,π] [0,π] u x + u y =0 u(x, 0) = 0, u(x, π) =sen(x), 0 <x<π. u(0,y)=0,u(π, y) =sen(y), 0 <y<π. Problema 6.5 La función u(x, y) satisface la ecuación u xx + u yy = a u (donde a es un parámetro real) en el interior del cuadrado de lado unidad y de vértices O =(0, 0), A =(0, 1), B =(1, 0) y C =(1, 1). La función u se anula en los lados OA, OB y BC,mientrasque en el lado AC vale sen(4πx). Hallar el valor de la función u en el centro del cuadrado. Problema 6.6 Resuelva el problema de Dirichlet para el círculo unidad con las siguientes funciones de contorno T0 0 <θ<π 1. f(θ) = T 0 π<θ<π. f(θ) =θ, π <θ<π. 6.3 Algunos problemas de exámenes. Problema 6.7 (Febrero 003) Aplicando el método de separación de variables paso a paso, resuelva el siguiente problema u t = u xx + u, (0 <x<π, t>0) u(0,t)=u(π, t) =0 (t>0) u(x, 0) = sen(x)+sen(3x) (0 <x<π). Problema 6.8 (Segundo parcial 00-03) Se considera la temperatura u(x, t) de un alambre delgado de longitud L, desnudo, que pierde calor hacia el medio que lo rodea, cuya ecuación es t = k u x hu (k, h constantes, k>0, h>0) con las condiciones de contorno u(0,t)=0, u(l, t) =T (t >0) y la condición inicial dada por u(x, 0) = T L x (0 <x<l). Resolver el problema escribiendo u(x, t) =v(x, t)e ht + φ(x), µ v eligiendo φ(x) de forma que v(x, t) satisfaga la ecuación del calor t = k v con las condiciones de contorno homogéneas (v(0,t)=0, v(l, t) x =0). 4

5 Tema 6 Ecuaciones en derivadas parciales. Sección 6.3 Algunos problemas de exámenes. Problema 6.9 (Final Junio 003) Para una cuerda que vibra en el aire con una resistencia proporcional a la velocidad, el problema con condiciones en la frontera es y tt = a y xx hy t (0 <x<l, t>0) y(0, t) = y(l, t) =0 (t>0) y(x, 0) = f(x) (0 < x < L) y t (x, 0) = 0 (0 <x<l). Supongamos que 0 <h<πa/l.se pide resolver el problema anterior sabiendo que la solución y(x, t) es de la forma y(x, t) =e ht v(x, t). Problema 6.30 (Septiembre 003) Sea f(x) una función definida en el intervalo [0,L]. Se pide: 1. Deducir la serie de Fourier de f(x) en términos de senos.. Deducir la serie de Fourier de f(x) en términos impares ¾ de senos. Para ello, considerar la función f(x), x [0,L], F (x) dada por F (x) = y extenderla al intervalo [ L, 0] de forma f(l x), x [L, L], impar como indica la figura. -L -L L L Probar que X n impar b n sen ³ nπx, donde b n = L L Z L 0 f(x)sen ³ nπx dx. L 3. Teniendo en cuenta el apartado anterior, resolver el problema de ecuaciones en derivadas parciales siguiente: u xx + u yy =0, (x, y) Ω, u(x, 0) = 0, u(x, b) =f(x), 0 <x<a, u(0,y)=0, (a, y) =0, x 0 <y<b, donde Ω = {(x, y) :0<x<a, 0 <y<b} y a, b > 0. (Septiembre 00) Resuelva el siguiente problema de ecuaciones en derivadas par- u t = u xx + u, (0 <x<π, t>0) u x (0,t)=u x (π, t) =0, (t >0) u(x, 0) = 1 + cos(6x) (0 <x<π). Problema 6.31 ciales: 5

6 Tema 6 Ecuaciones en derivadas parciales. Sección 6.3 Algunos problemas de exámenes. Problema 6.3 (Febrero 004) Resuelva el problema de ecuaciones en derivadas parciales 4u xx u tt =4(x + )(t), 0 <x< π, t > 0, u(0,t)=0, u( π,t)=0, t > 0, u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = x, 0 <x< π. Busque la solución escribiendo u(x, t) =v(x, t)+φ(x)sen(t), eligiendo Φ(x) de forma que v(x, t) satisfaga la ecuación homogénea (4v xx v tt =0)con las condiciones de contorno homogéneas v(0,t)=v( π,t)=0,t>0. 6

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