CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO CON PEQUEÑAS OSCILACIONES, PEQUEÑAS VARIACIONES DE LONGITUD Y SIN AMORTIGUAMIENTO.

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1 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO CON PEQUEÑAS OSCILACIONES, PEQUEÑAS VARIACIONES DE LONGITUD Y SIN AMORTIGUAMIENTO. Aquí ya si se empieza a tratar e asunto que fundamenta este proyecto, esto es un pénduo cuya ongitud varía armónicamente con e tiempo. En este apartado no se va a considerar a presencia de ninguna amortiguación exterior, y se supondrá pequeños despazamientos, o cua va a permitir ineaizar a ecuación. Ta y como se ha demostrado anteriormente, a ecuación de movimiento de un pénduo cuya ongitud es función de tiempo se representa por: & & g θ + & θ + senθ = con ( t ) = + a sen( ωt) ec.5. Sobre esta ecuación se va a reaizar un cambio de variabes que coneva a aparente desaparición de término de rozamiento, esto es, de término asociado a θ &. En reaidad, o que se consigue con este cambio de variabes es pasar a compejidad de trabajar con e término asociado a θ & a un término asociado a θ con una dependencia de (t) más compicada. Para iustrar qué efectos tiene este cambio de variabes sobre una ecuación diferencia de segundo orden, consideremos previamente e siguiente ejempo: Sea a ecuación de movimiento: & x &+ x& + x = Consideremos e cambio de variabes siguiente: x = exp( at ) y [ ay y& ] x & = exp( at ) + [ a y + ay && y] & x = exp( at ) + Sin más que sustituir en a ecuación de movimiento: [&& y + ( a + ) y + ( a + a + ) y] = & x + x& + x = exp( at ) & ( a + ) y + ( a + a + ) y = & y + & 66

2 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. Luego para hacer desparecer e término asociado a y& es necesario que: a + = a = De este modo e cambio a apicar es: x = exp t y 3 La ecuación de movimiento queda: & y + y = 4 Voviendo a caso que nos ocupa, se va a buscar un cambio de variabe que nos permita hacer desaparecer e término asociado a θ &. Para eo, consideremos e cambio: ( α( t )) ϕ = ( α ) ϕ θ = exp exp ( α ) [ & αϕ & ϕ] & θ = exp + ( α ) [ & α ϕ + & αϕ& + && αϕ & ϕ ] & θ = exp + Sustituyendo en a ec.5.: & & g & ϕ + + & α & ϕ + & α + & α + & α ϕ + exp( α ) sen( exp( α ) ϕ ) = ec.5. De este modo, para que e término asociado a θ & desaparezca es necesario que: & + α& = & = & α α ( t) = n( ) Luego e cambio de variabes a reaizar es: ϕ θ = exp( α ) ϕ = exp( n( )) ϕ = ϕ θ = donde, como es ógico, >. Apicando este cambio: α = n() & α = & 67

3 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. && & & α = + que sustituyendo en a ecuación ec.5.3 da ugar a: && ϕ & ϕ + + g sen = ϕ ec.5.5 Esta es a ecuación de movimiento de pénduo de modo que aparentemente no hay término asociado a θ. +) Sustitución de (t) en a ecuación de movimiento: Se va a sustituir ahora a expresión de a ongitud de pénduo en función de tiempo en a ecuación de movimiento de pénduo. Así: ( t) = + a sen ω & = aω cos ( ωt) & = aω sen ( ωt) Sustituyendo en a ecuación ec.5.5: ( ωt) ϕ ϕ + g sen ( t) ω + a sen( ωt) aω sen ϕ& & + = a sen ec ) Desarroo en serie de potencias de + a sen ( t) ω. A continuación se apica sobre e desarroo en serie de potencias + a sen( ωt) de a inversa de a suma de + X, con X<<. Para eo se considera: 68

4 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. + a sen + t sen ωt = = ( ωt) a + ε sen ( ) ( ) ω donde se define uno de os parámetros que se empearán para representar e mapa de estabiidad: ε = Puesto que se parte en este probema de a suposición de pequeñas variaciones de ongitud con respecto a a ongitud tota, se tiene que ε <<, por o que es factibe apicar e desarroo en serie de potencias: + ε sen ( ωt) a { ε sen( ωt) + ε sen ( ω t) +...} Despreciando os términos de ε de segundo orden en adeante, a aproximación queda: + a sen ( ωt) { ε sen( ωt) } Sustituyendo en a ecuación ec.5.6, se obtiene: ϕ { ε ( ε sen( ωt) ) ω sen( ωt) } ϕ + g sen ( ε sen( t) ) = ϕ& & + ω ec.5.7 +) Suposición de pequeños despazamientos y ineaización de seno: En este punto de desarroo se va a suponer que os despazamientos de pénduo son de pequeño orden con respecto a a ongitud de pénduo, esto es: ϕ << Dado que, como se ha afirmado anteriormente, ε <<, e término ε sen ωt es de orden unidad. Por tanto, se puede decir que: ( ( )) 69

5 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. ϕ << ( sen( ωt) ) Así se vaida e hecho de aproximar e seno por e ánguo, por o que: ϕ sen ϕ ( ε sen( ωt) ) ( ε sen( ωt) ) Sin más que sustituir esta expresión en a ecuación ec.5.7, se obtiene: g ϕ& & + ε ( ε sen( ωt) ) ω sen( ωt) + ( ε sen( ωt) ) ϕ = g ϕ& & + ( ε sen( ωt) ) ε ω sen( ωt) + ϕ = g g ϕ& & + ε ω sen( ωt) + ε ω sen( ωt) ε sen( ωt) ϕ = Despreciando os términos de ε de segundo orden, a ecuación anterior queda: g g ϕ& & + + ε sen( t) = ω ω ϕ ec.5.8 +) Adimensionaización de tiempo: Se procede ahora a adimensionaizar e tiempo, para o cua se apica e siguiente cambio de variabes: τ = ωt dτ = ω dt Por tanto, sin más que sustituir en a ecuación ec.5.8 y representar as derivadas en τ por una coma en ugar de un punto, a ecuación de movimiento se transforma en: g g ϕ + + ε sen( ) = τ ϕ ω ω 7

6 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. Esta ecuación permite definir e otro parámetro que empearemos para determinar e mapa de estabiidad, que es e siguiente: = g ω = ω ω µ µ por tanto es a reación entre a frecuencia natura de pénduo y a frecuencia de a variación armónica de ongitud. Introduciendo a definición de este parámetro en a ecuación de movimiento de pénduo, se obtiene: { µ + ε ( µ ) sen( τ )} = ϕ + ϕ ec.5.9a +) Ahora se apica un nuevo cambio de variabes sobre a variabe principa de a ecuación de movimiento, pues con e cambio anterior (que permitía hacer desaparecer e término asociado a θ & ), se pasó de trabajar con un ánguo a trabajar con una ongitud: ϕ θ = ϕ = θ Este nuevo cambio de variabes permitirá vover a trabajar con ánguos: ϕ ϕ ϕ η = η = η = Sin más que sustituir en a ecuación de ec.5.a y simpificar, se obtiene a ecuación a empear con MATLAB: { µ + ε ( µ ) sen( τ )} = η + η ec.5.9b Es a ecuación ec.5.9b a que vamos a empear para determinar e mapa de estabiidad con MATLAB. Obsérvese que, como puede comprobarse sin más que mirar a ecuación obtenida, e pénduo que se considera no tendrá región de inestabiidad asociada a pico µ = (en este caso se tendría un pénduo simpe), a contrario que ocurría en e apartado a estudiar a ecuación de Mathieu. Esto expica porque en e apartado anterior se eigió e anáisis de a región de inestabiidad para e pico µ =. 5, ya que así se pueden reaizar comparaciones. 7

7 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. En cuaquier caso, es a ecuación ec.5.9b a que vamos a empear para determinar e mapa de estabiidad con MATLAB. +) Determinación de mapa de estabiidad: Para poder resover esta ecuación mediante MATLAB es necesario convertir a ecuación diferencia de segundo orden anterior en un sistema de dos ecuaciones diferenciaes de primer orden. Con este fin, se apica e siguiente cambio de variabes: y = ϕ -> y & = ϕ = y y = ϕ -> y& = ϕ Sin más que sustituir e sistema de ecuaciones diferenciaes de primer orden es: y & = y y& [ µ + ε ( ) ()] sent = µ y ec.5. Las funciones impementadas para resover este caso se encuentran en un anexo, y se denominan: Función amathiin(u,eps,x,v,m) Nombre de archivo amathin.m repmathin(u,eps,x,v) repmathin.m repmathin(u,eps,x,v,tf) repmathin.m Una vez determinados os vaores de os parámetros para os que se obtienen souciones de tránsito, estos se recogen en a siguiente taba: 7

8 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. Taba 5.. Vaores de os parámetros que dan ugar a souciones de tránsito. ε µ µ Estos resutados se pueden representar en en e mapa de estabiidad que se recoge en a Fig 5.. Tras esta figura se adjuntan as Fig 5., Fig 5.3 y Fig 5.4 con distintos ejempos de souciones para ε =.. 73

9 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. - Fig 5.. Mapa de estabiidad de a ecuación de pénduo con ongitud variabe con e tiempo. No se considera amortiguamiento externo, y sí pequeños despazamientos y ampitudes de osciación, por o que se apica ineaización y simpificaciones. Como puede comprobarse, e mapa de estabiidad obtenido difiere en cuanto a forma muy poco de que se obtuvo de a ecuación de Mathieu en e apartado, si bien, esta cuña es más estrecha. La región de inestabiidad es menor., Hay que indicar que e gran parecido de mapa de estabiidad obtenido con e correspondiente a a ecuación de Mathieu se podía haber previsto sin más que fijar a atención en e hecho de que a ecuación de movimiento de pénduo en cuestión es: ϕ + { µ + ε ( µ ) sen( τ) } ϕ = Si se define una nueva variabe ˆ = ε ( µ ) ecuación de Mathieu. ε y se sustituye, se tiene de nuevo a 74

10 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. - Fig 5.. Soución estabe para a ec. de pénduo con (t), sin amortiguamiento exterior y con ineaización apicada. ε=., µ=

11 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. De nuevo se obtiene una respuesta estabe periódica, ta y como se puede deducir de os dos gráficos incuidos en a figura anterior. E pénduo responde ante a variación de ongitud armónica con os parámetros que se han especificado con un movimiento periódico. En e pano de fases (gráfico superior de a figura anterior) se puede apreciar como de nuevo os puntos se organizan en torno a figuras eípticas o circuares, mientras que en e gráfico posición/tiempo, se puede visuaizar cómo se produce a evoución tempora de pénduo: es periódica. 76

12 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. - Fig Soución de tránsito para a ec. de pénduo con (t),sin amortiguamiento exterior y con ineaización. ε=., µ=

13 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. De nuevo se tiene un caso de respuesta de tránsito, que no es más que un indicativo de a variación de comportamiento que se está dando en e pénduo cuya ongitud varía armónicamente con e tiempo. Si se observa e gráfico de pano de fases (contenido en a parte superior de a figura anterior), se puede apreciar como os puntos caen unos encima de otros, agrupándose en dos zonas. Por otra parte, a partir de gráfico posición/tiempo, situado en a parte inferior de a misma figura, se puede deducir que a evoución tempora de pénduo es periódica, siendo cada osciación competa igua a as demás. 78

14 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. - Fig Soución inestabe para a ecuación de pénduo con ongitud variabe con e tiempo, sin amortiguamiento exterior y con ineaización. 79

15 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. Una vez más, se obtiene una soución inestabe, ta y como predice e mapa de estabiidad. E comportamiento de pénduo para estos vaores es inestabe: a ampitud de as osciaciones así como a veocidad anguar crecen sin orden con e paso de tiempo. En e pano de fases (figura anterior arriba) puede apreciarse como os puntos se distribuyen caóticamente, si bien ganan distancia con respecto a origen aqueos asociados a intervaos temporaes más aejados de momento inicia. En e gráfico de posición frente a tiempo, a evoución tempora de pénduo haba por sí soa: cuanto más tiempo pasa, mayores son as ampitudes. Aquí se puede observar como a posición y a veocidad de pénduo crecen con veocidades de crecimiento de mismo orden. Es caramente una soución inestabe. 8

16 CAPÍTULO 5.Ecuación de movimiento con pequeñas osciaciones, pequeñas variaciones de ongitud y sin amortiguamiento. 8