2.7.1 Movimientos de los planos fundamentales a los que se refieren las coordenadas de los astros

Transcripción

1 .7 Precesión y Nutación.7. Movimientos de los planos fundamentales a los que se refieren las coordenadas de los astros La acción perturbatriz del Sol, la Luna y los planetas sobre la Tierra da lugar a que, en el transcurso del tiempo, cambien de posición en el espacio los planos fundamentales, eclíptica y ecuador, definidos por los movimientos de traslación y rotación de la Tierra con respecto a un sistema de referencia fijo. Para definir las posiciones de la eclíptica E y el ecuador Q en una cierta época, suelen referirse éstos a un plano de referencia x o y o y una dirección origen en él (que puede ser, por ejemplo, la eclíptica y el punto Aries en una época determinada) dando la longitud del nodo ψ y la inclinación K de E respecto a x o y o, y la longitud del nodo -ω y la inclinación -ε de Q con respecto a E (Fig. 8.). FIG 8. La teoría del movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol suministra ψ y K por las relaciones = = P K = q= q + qt+ q t + + Q sen Ksen ψ p p0 pt pt... sen cos ψ 0... cuyos segundos miembros constan de una parte de variación secular, en potencias crecientes de t, y de otra parte periódica P y Q.

2 Asimismo, la teoría del movimiento de rotación de la Tierra suministra directamente ω-ψ y ε en la forma: ω ψ = h= h0 + ht + ht P ε = ε = ε0 + εt+ εt Q cuyos segundos miembros constan también de una parte secular y una parte periódica P y Q. Tomando como plano de referencia x 0 y 0 el de la eclíptica E 0 en la época en que se empieza a contar el tiempo, y despreciando los términos periódicos P y Q, dada su pequeñez, las relaciones anteriores toman la forma: sen Ksen ψ = p= pt + pt +... sen Kcos ψ q qt qt... ω = = + + ψ = h= ht + ht P ε ε ε0 εt... Q = = (59.) ya que, en efecto, ello equivale a hacer K=0, sen K=0 y para t=0, despreciando P y Q, queda p 0 =0, q 0 =0, siendo además, para t=0, ω=ψ y por tanto, también, h 0 =0. En términos generales, recibe el nombre de precesión las variaciones de la eclíptica, el ecuador y el equinoccio representadas por los términos seculares de (59.) y el de nutación las variaciones de la eclíptica, el ecuador y el equinoccio representadas por los términos periódicos P y Q. En particular, los términos seculares de h reciben el nombre de precesión general en longitud y los de ε la denominación de oblicuidad media de la eclíptica. El coeficiente h es la constante de precesión general en longitud y su valor por siglo juliano en la época J 000,0 es h = 509",0966. El valor de ε 0 en la época J 000,0 es ε 0 = 3º 6' ",448. Los términos periódicos P y Q se denominan, respectivamente, nutación en longitud y nutación en oblicuidad..7. Precesión y nutación solares Como hemos indicado, la precesión y la nutación son debidas a la acción que sobre la Tierra producen los momentos de los astros perturbadores. Pueden ser de origen solar, lunar o planetario. Estudiaremos en primer lugar la precesión y la nutación de origen solar.

3 FIG 9. Consideraremos un sol ficticio que describa la eclíptica con velocidad angular n constante y con un radio R igual a la distancia media de la Tierra al Sol: π = = 365, 5-6 n dias R 49, 6 0 km La longitud L de este sol ficticio crece proporcionalmente al tiempo, siendo L = nt si empezamos a contar el tiempo cuando el Sol pasa por el punto Aries. Consideremos dos sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares con, origen común en el centro de gravedad de la Tierra: X,Y,Z tal que el plano fundamental X,Y sea el plano de la eclíptica y Z en la dirección del polo de la eclíptica; x',y',z' tal que x',y' sea el plano del ecuador, con x' hacia el punto Aries (Fig. 9.), los dos orientados en sentido directo. Las coordenadas ecuatoriales del Sol son: x' = RcosL y' = Rcosε senl (60.) z' = Rsenε senl Sustituyéndolas en las relaciones (58.) del apartado.6. teniendo en cuenta que ahora θ =-ε, tendremos: ε = KR sen εsen L cos L (6.) ψ sen ε = KR sen εcosεsen L

4 Como que ε varía muy lentamente podemos considerarla constante (=ε 0 ) en los segundos miembros de (6.) y con L=nt donde dε = sen ε0 sen nt dt dψ = cosε0 cos dt ( nt) Al integrar tendremos: Con c =ψ 0. KR 3Gmζ = = (m=masa del Sol) 3 R ε = senε0 cos nt + c n ψ = tcosε0+ cosε0sen nt+ c n Observemos que ε, oblicuidad de la eclíptica, varía periódicamente con un periodo de medio año (T=365,5/, ya que n=π/t) El término senε 0 cos nt recibe el nombre de nutación en oblicuidad. n En ψ aparece un término lineal en t que es la precesión en longitud y uno periódico que es la nutación en longitud. Esto implica que, con el tiempo, el punto Aries va retrogradando sobre la eclíptica, ya que el coeficiente del término secular es negativo, y que al mismo tiempo que retrograda, va oscilando alrededor del Aries medio que es el obtenido teniendo en cuenta sólo la precesión en longitud. Naturalmente las hipótesis admitidas de que la distancia R del Sol a la Tierra permanece constante, como también que la longitud L del Sol varía uniformemente con el tiempo, están muy lejos de la realidad, y ello hace que la nutación debida a la atracción solar no quede perfectamente expresada por los términos sen ε0cos nt y cosε 0sen nt. A estos términos es preciso agregarles otros, n n también de carácter periódico, en que intervendrá la posición del Sol respecto al apogeo; términos que, aunque de menor importancia que los citados, no son completamente despreciables..7.3 Precesión y nutación lunares La Luna sigue una órbita media con una inclinación I respecto a la eclíptica que oscila entre 5º y 5º 8', es decir, en media I=5º 9'. Se denomina línea de los nodos a la

5 intersección del plano de la órbita lunar con el plano de la eclíptica. Al punto N por el cual la Luna pasa del hemisferio celeste sur al hemisferio celeste norte se le llama nodo ascendente y al punto diametralmente opuesto nodo descendente. En primera aproximación, la órbita de la Luna es una elipse con una excentricidad del orden de /0. Supongamos que es una circunferencia de radio R igual a la distancia media de la Tierra a la Luna, recorrida con velocidad media constante n : R n = = 6 0,38 0 km dias 7,3 Procederemos análogamente al apartado anterior, tomando como plano x,y el del ecuador (que llamaremos x', y') y como plano x', y' el de la órbita lunar (que llamaremos x ', y ') con x ' dirigido hacia a intersección de la órbita lunar con el ecuador, γ. Si R es el radio vector de la Luna, L, los ángulos de Euler serán (Fig. 0.): FIG 0. ψ = ψ medido sobre el ecuador θ = -ε ϕ = L = γ L medido sobre la órbita lunar

6 La longitud media de la Luna crece proporcionalmente al tiempo, siendo L = n t si empezamos a contar el tiempo cuando la Luna pasa por γ. Estamos pues en una situación completamente paralela a la del apartado anterior, por lo que sustituyendo en las mismas fórmulas (58.) obtendremos: ε = sen ε0sen nt ψ = cos ε0( cos nt ) (6.) con 3Gmζ = 3 R siendo la razón entre y Integrando (6.) obtendremos: m R = =,7 m R 3 ε = ε + sen ε cos nt 0 0 n ψ = ψ cos ε t + cosε sennt n fórmulas que suelen darse en función de Ω y ς siendo (Fig. 0.) π Ω= γ N = longitud del nodo lunar Ω=Ω0 8,60 t (t en años) ς = γ L = longitud de la Luna sobre su órbita = π 7,3 t (t en días) E nodo ascendente retrograda a lo largo de la eclíptica dando una vuelta completa en 8,6 años, fenómeno que recibe el nombre de retrogradación de la línea de los nodos de la órbita lunar y es debido a las perturbaciones gravitatorias que ejerce la Tierra sobre la Luna. Al poner L =n t en función de Ω y ς se obtiene en ε una suma de términos periódicos (cosω, cosω, cosς ) que constituyen la nutación lunar en oblicuidad. En ψ se obtiene un término secular en t, la precesión lunar en longitud y una suma de términos periódicos (senω, senς, senω ), la nutación lunar en longitud..7.4 Precesión y nutación luni-solares Como su nombre indica, son debidas a la acción gravitatoria combinada del Sol y la Luna. Se obtienen sumando término a término (precesión con precesión, nutación con nutación) las precesiones y nutaciones solar y lunar:

7 ψ LS = ψ + ψ ε LS = ε + ε precesión y nutación luni-solar en longitud. nutación luni-solar en oblicuidad. obteniéndose: ψ = ψ 50",39 t+... 7", 3senΩ ", 7sen L+ 0", sen Ω 0", sen ς+... LS 0 0 ε = ε + 9", cosω+ 0",55cos L 0",09cos Ω+ 0",09cos ς +... LS donde t viene dado en años de 365,5 días. Al factor 50",39 se le llama constante de la precesión luni-solar y al factor 9", constante de la nutación (no se especifica que sea luni-solar dado que es el término nutacional en oblicuidad más importante de todos los que seguirán)..7.5 Precesión y nutación planetarias Los planetas, en especial Júpiter (por su masa) y Venus (por su proximidad), producen un avance del punto Aries de 0", por año, precesión planetaria en longitud. Además, aparece una precesión planetaria en oblicuidad de -0",47 t +... que corresponde, realmente, al primer término del desarrollo en serie de una nutación de periodo muy largo ( años). También aparecen términos nutacionales en Γ y Γ (longitudes de los perigeos solar y lunar, respectivamente). Como era de esperar, los efectos son mucho menores que los debidos al Sol y la Luna..7.6 Precesión y nutación generales Son debidas a la composición de todos los efectos anteriormente estudiados: ψ = ψ 0-50",9 t + + (términos nutacionales) ε = ε o - 0",4685 t - 0", t (términos nutacionales) Al término secular en longitud -50",9 se le llama constante de la precesión general. Implica que el punto Aries retrograda sobre la eclíptica a razón de 50",9 por año, recorriéndola, por tanto, aproximadamente, en unos años..7.7 Correcciones Existe una corrección relativista de la precesión en longitud de +0",0 por año, que se considera englobada en la luni-solar. Por otra parte, el suponer constantes ε y ε en los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales, se ha introducido un error que provoca que las constantes de precesión y nutación no sean realmente constantes. Teniendo en cuenta este hecho, tales "constantes" valen para la época J.000,0: constante de la precesión general = 50",9 + 0",000 t constante de la nutación = 9",06 + 0", t (t en años de 365,5 días).

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