Cambios del Sistema de Coordenadas. Transformación de

Transcripción

1 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de Tema N Cambios del Sistema de. Transformación de.- Cambios del Sistema de Consideremos dos sistemas de coordenadas, uno denominado S=(, X, Y, Z), al que llamaremos Viejo Sistema, otro denominado T=(C, U, V, W), al que llamaremos Nuevo Sistema, [Figura.a]. Figura.a: Cambio de un viejo sistema (S) a un nuevo sistema (T) En el viejo sistema S tenemos: = (,,), coordenadas del punto origen = {,,}s, componentes del vector unitario = {,,}s, componentes del vector unitario = {,,}s, componentes del vector unitario P = {,,}s, coordenadas del punto P = componentes del vector de posición p V = {,,}s componentes del vector v

2 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de En el nuevo sistema será: P = {u,v,w} T, coordenadas del punto P = componentes del vector de posición de P = CP V = {u,v,w} T, componentes del vector v Vamos a suponer que se tiene localiado el viejo sistema S en el nuevo sistema T = {uo,vo,wo} T coordenadas del origen de S en T = {,,} T componentes del versor de S en T = {,,} T componentes del versor de S en T = {,,} T componentes del versor de S en T Todo vector puede epresarse como combinación lineal de los vectores unidad: V = + + = u u + v v + w w en T será : = u + v + w en T será : = u + v + w en T será : = u + v + w Multiplicando cada una de las epresiones anteriores por,, respectivamente, sumando sacando factor común, tendremos: V = ( + + )u + ( + + )v + ( + + )w Comparando con lo obtenido anteriormente: V = u u + v v + u = + + v = + + w = + + tendremos: Definiendo:

3 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de X M w v u U,, U = M X w v u U () V T T T T Vs La ecuación () nos da el pasaje de S a T.Se llama Le de Variación de las Componentes para el paso de S a T, independiente de la posición del origen respecto a T. Para obtener la Le de variación de las de los Puntos aplicamos la le de variación de las componentes al vector p de P en S. P = p = {,,}s = {u-uo, v-vo, w-wo} T Aplicando () : w v u wo vo uo P T T T T T P S Definiendo las matrices: w v u U, wo vo uo Uo U = Uo + M X

4 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de.- Transformación Inversa sistema. Será cuestión ahora de considerar a T como el viejo sistema a S como el nuevo Para S T teníamos: M, U M X T T T V T Vs Ahora para T S tendremos : u M u u v v v w w w, X M U us vs ws Vs V T Donde M M son inversas, M = M - Para la le de variación de las coordenadas de los puntos teníamos en S T : U = Uo + M X () P T T Ps con : uo Uo vo wo T Ahora tendremos para T S :

5 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de X = Xc + M U () Ps Pc P T Reemplaando () en () : X = Xc + M (Uo + M X) X = Xc + M Uo + M M X, M M = Identidad I X = Xc + M Uo + X X X = = Xc + M Uo Xc = M Uo = M - Uo En consecuencia, como conoco la matri M la matri Uo (es decir las coordenadas del origen S en T), conoco también Xc (es decir las coordenadas del origen de T en S). La matri que gobierna la transformación en un sistema cartesiano es ortonormal, lo que significa que su inversa no es mas que su transpuesta M - = M t. Las filas columnas de esta matri conservan la longitud del vector el ángulo, es decir que no se produce distorsión. Como las columnas de M - son los vectores unidad de T en S, entonces también las filas de M son los vectores unidad de T en S. M us vs ws T T T

6 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de.- Traslación Rotación de Sistemas a) Traslación La traslación de sistemas cartesianos implica un cambio de origen sin cambiar la orientación de los ejes, [Figura.a], es decir que: = u, = v, = w Figura. a: Traslación entre sistemas de coordenadas En la matri de traslación M: M us vs ws T T T Como : u = {,,} T, = {,,}s v = {,,} T, = {,,}s w = {,,} T, = {,,}s La matri M será : M = I

7 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de La le de variación de las componentes de los vectores: U = M X U = X o sea : u v w I, de donde : u =, v =, w = Entonces, la traslación lo único que produce es un rebautio de las componentes del vector V, las que en el viejo sistema S se llamaban,,, ahora en el nuevo sistema T se llaman u, v, w. Para la le de variación de las coordenadas de los puntos: U = Uo + M X, con M = I tendremos: U = Uo + X, o sea u = uo + v = vo + w = wo + donde: (u,v,w) son las coordenadas de P en T (uo,vo,wo) son las coordenadas de O en T (,,) son las coordenadas de P en S b) Rotación La rotación es un cambio de orientación de los ejes sin cambio en el origen, [Figura.b]. El origen O = C, lo que implica que: uo =, vo =, wo =, por lo que las coordenadas de O en T son nulas. Figura.b: Rotación del sistema Como la variación de las componentes de los vectores no depende de la posición del origen C del nuevo sistema, se tiene: U = M X.

8 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de Pero en la le de variación de las coordenadas de los puntos: U = Uo + M X. Si Uo =, tenemos U = M X, de donde u = + + v = + + w = Esquema de Ángulos Directores de Cosenos Directores us M vs, U = M X ws T T T Las componentes de un vector respecto de un eje se calculan como el coseno del módulo del ángulo no orientado que el vector forma con el eje. cos u cos u cos u cos v, cos v, cos v cos w cos w cos w cos u M cos v cos w cos cos cos u v w cos u cos v cos w En todo problema se puede armar un cuadro de Ángulos Directores de Cosenos Directores, que son los ángulos que forman entre sí los ejes de los sistemas, [Tabla ]. Tabla : Esquema de ángulos directores Cosenos directores Ángulo Coseno u u u u u cos u cos u cos u v v v v v cos v cos v cos v w w w w w cos w cos w cos w

9 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de.4.- Rotación alrededor del primer eje X Sea el sistema S = (O, X, Y, Z) directo, sobre cuo eje X realiamos una rotación del mismo sentido que la del sistema, es decir que será positiva [+], [Figura.4a] ángulo u 9 9 v 9 9 w coseno u v cos sen w sen cos Figura.4a: Rotación alrededor del eje X La ecuación de transformación será: u v w cos - sen sen cos.4.- Rotación alrededor del segundo eje Y Consideremos un sistema S = (O, X, Y, Z) directo sobre cuo eje Y realiamos una rotación del mismo sentido que el del sistema, positiva [+], [Figura.b] ángulo u v 9 9 w 9 9 coseno u cos sen v Figura.4b: Rotación alrededor del eje Y w sen cos

10 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de La ecuación de transformación será: u cos v w sen sen cos.4.- Rotación alrededor del tercer eje Z Consideremos el sistema S = (O, X, Y, Z) directo sobre cuo eje Z realiamos una rotación del mismo sentido que el del sistema, o sea que será positiva [+], [Figura.4c]. ángulo u 9 9 v w 9 9 coseno u cos sen v sen cos Figura.4c: Rotación alrededor del eje Z w La ecuación de transformación será : u cos v sen w sen cos.5- Transformación de Para realiar transformaciones de coordenadas se utilian matrices de rotación, de tal manera que si tenemos un punto en el sistema (,,), después de aplicar rotación a dicho sistema las nuevas coordenadas del punto serán (u,v,w)

11 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de Estas matrices, según el eje donde se produce la rotación, son las siguientes: R cos sen, sen cos cos - sen R, sen cos cos R - sen sen cos La rotación es positiva si es en sentido contrario a las agujas del reloj. Para cambiar el sentido de rotación, debemos tener en cuenta que =, por lo tanto el sen = sen. Al trabajar con coordenadas astronómicas usualmente debemos pasar de coordenadas cartesianas a esféricas, [Figura.5a]: Figura.5a: Pasaje de coordenadas cartesianas a esféricas De la figura anterior podemos ver que: = r sen r = r cos = r cos = r cos cos = r sen = r cos sen

12 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de Por lo que la matri de transformación será: r r cos cos cos sen r sen Como los vectores tienen norma igual a uno, entonces r =..5.- Transformación de Ecuatoriales Celestes a Eclípticas En esta transformación debe llevarse el ecuador hacia la eclíptica girando un ángulo = 7 (oblicuidad de la eclíptica) sobre el eje X, [Figura.5b]. Figura.5b: Rotación [] del ecuador sobre la eclíptica Definiendo: L, B = Longitud Latitud Eclípticas, = Ascensión Recta Declinación La transformación se realia del siguiente modo: cos L cos B sen L cos B sen B cos - sen sen cos cos cos sen cos sen

13 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de X = cos L cos B = cos cos Y = sen L cos B = cos sen cos + sen sen Z = sen B = sen sen cos + cos sen B = sen - Z o mejor usar B = tg - ( Z / (X + Y ) / ) L = tg - (Y / X) Si se desea llevar de coordenadas eclípticas a ecuatoriales se debe tener en cuenta que = -, o bien utiliando la inversa (transpuesta) de la matri rotación..5.- Transformación de Ecuatoriales Celestes a Galácticas Sea la [Figura.5c], donde se indican los siguientes elementos: Figura.5c: Elementos del sistema de coordenadas galáctico b, l = latitud longitud galácticas C = coordenadas del centro galáctico

14 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de U = intersección del ecuador celeste con el ecuador galáctico con un ángulo de PG = h 5 m 6 s.754 PG = UC = lo = CG = 7 h 45 m 7 s.99 CG = Estas precisiones (J.) son ficticias a que solo se asegura el minuto, pero a fin de conservar la precisión de los cálculos se usan completamente. Los vectores de posición son : cos l cos b sen l cos b sen b, cos cos sen cos sen Aplicamos: () Una rotación sobre el eje Z de o + 9 = 8 h 5 m en sentido antihorario. Llevo el punto vernal () a coincidir con U. () Una rotación sobre el eje X de 66 4 en sentido antihorario. Llevo el polo norte a coincidir con el polo norte galáctico o lo que es lo mismo el ecuador con el ecuador galáctico. () Una rotación sobre el eje Z de 56 en sentido horario. Llevo U a coincidir con C. Rot - sen o - cos o cos o - sen o

15 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de Rot sen o - cos o cos o sen o Rot cos lo sen lo - sen lo cos lo El orden para resolver este producto es el siguiente: A = (R(R(R B))). Debemos recordar que para el producto de matrices no aplicamos la propiedad conmutativa. R R R Para pasar de coordenadas eclípticas a galácticas ( L, B l, b ), se tendrá que hacer una rotación mas. Deberemos primero llevar la eclíptica al ecuador girando sobre el eje X un ángulo de = 7 luego seguir los pasos vistos anteriormente..5.- Transformación de Ecuatoriales Locales a Horiontales El elemento clave para realiar esta transformación es la latitud del lugar. Si no se conoce la latitud, entonces no se puede operar. Los parámetros que deben relacionarse son: H, = Ángulo Horario Declinación A, h = Acimut (desde el norte pasando por el este) ángulo de altura Hacemos dos rotaciones no mu obvias, [Figura.5d]:

16 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de () Rotación alrededor del eje Z de 8, para hacer que el Acimut el Ángulo Horario sean compatibles en signo. () Rotación alrededor del eje Y de (9 ), para llevar el Ecuador hacia el plano del Horionte. Figura.5d: Transformación entre los sistemas Ecuatorial Local Horiontal Recordamos que: cos (9 ) = sen sen (9 ) = cos cos H cos sen H cos sen sen - cos cos sen - - cos A cos h sen A cos h sen h

17 ASTRONOMÍA DE POSICIÓN Cambios del Sistema de. Transformación de cos H cos sen H cos sen - sen cos - cos sen cos A cos h sen A cos h sen h Como la matri de rotación es simétrica la transpuesta es la misma, por lo tanto la transformación inversa se hace igual. cos A cos h sen A cos h sen h - sen cos - cos sen cos H cos sen H cos sen X = cos A cos h = sen cos H cos + cos sen Y = sen A cos h = sen H cos Z = sen h = cos cos H cos + sen sen h = sen - Z, o mejor usar: h = tg - ( Z / (X + Y ) / ) A = tg - (Y / X)