TRANSFORMACIONES LINEALES II. Computación Gráfica

Transcripción

1 TRANSFORMACIONES LINEALES II Computación Gráfica

2 Rotaciones Transformación lineal que preserva producto punto entre vectores. Transforma bases de mano derecha a bases de mano derecha. En D, cada rotación fija un eje de rotación rota por un ángulo alrededor de ese eje. Vemos el caso 2D. Consideramo un vector: ~ b t h i apple ~v = ~b1 b2 ~ Suponemos que es una base ortonormal de mano derecha en 2D. Supongamos que queremos rotar, ~v grados en sentido anti-horario alrededor del origen. Las coordenadas 0 0 t del vector rotado se pueden calcular: 0 = cos sin 0 = sin + cos S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

3 Rotaciones: 2D Que se puede escribir: h ~b1 ~ b2 i apple h ~b1 ~ b2 i apple cos sin apple ) sin cos Ta mb ién podemos rotar una base: h ~b1 ~ b2 i h ~b1 ~ b2 i apple cos sin ) sin cos S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

4 Rotaciones: D Usando un sistema coordenado de mano derecha, una rotación de un vector por θ grados alrededor del eje de la base se epresa: h ~b1 ~ b2 ~ b i ) h ~b1 ~ b2 ~ b i 2 4 cos sin 0 sin cos Una rotación de un vector por θ grados alrededor del eje de la base se epresa: 2 h i ~b1 b2 ~ b ~ 4 5 ) 2 h i ~b1 b2 ~ b ~ 4 0 cos sin 0 sin cos S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

5 Rotaciones: D Una rotación de un vector por θ grados alrededor del eje de la base se epresa: cos 0 sin 2 h ~b1 ~ b2 ~ b i ) h ~b1 ~ b2 ~ b i sin 0 cos La composición de rotaciones resulta en otra rotación. Podemos tener una rotación arbitraria aplicando una rotación alrededor del eje-, seguida de una alrededor del eje- luego una alrededor del eje-. Las cantidades angulares de las tres rotaciones se conocen como ángulos de Euler. (roll-pitch-aw) S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

6 Matrices de rotación R Matrices cuadradas, con elementos reales. T -1 Matrices ortogonales: R = R det R =1. Si incluimos aquellas cuo det R = -1 incluimos también las refleiones. El conjunto de las matrices de tamaño n con det R = +1 forman un grupo llamado ortogonal especial SO(n). En D es SO(). ortogonal especial (1) Vectores renglón unitarios (2) Vectores renglón perpendiculares entre si (producto punto es cero) () Los vectores columna también verifican las propiedades (1) (2). S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

7 Ais-angle Otra forma de representar una rotación arbitraria es tomar un vector unitario ~ k como eje de rotación aplicar directamente una rotación de θ radianes alrededor de éste. ~ k = k k k t ~ k = 2 4 k 2 v + c k k v k s k k v + k s k k v + k s k 2 v + c k k v k s k k v k s k k v + k s k 2 v + c 5 c := cos s := sin v := 1 c S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

8 Rotaciones Dos rotaciones alrededor de ejes diferentes no conmutan entre sí. Cuando componemos dos rotaciones alrededor de dos ejes diferentes tenemos una rotación alrededor de un tercer eje. Diferentes parametriaciones de rotaciones: Matrices de rotación Ais-angle Ángulos de Euler Cuaternios Mapa eponencial S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

9 Escalamientos Para escalar un vector por un factor s podemos usar: s ~v = h ~b1 ~ b2 ~ b i ) h ~b1 ~ b2 ~ b i s s s = s = s : escalamiento uniforme. s s s : escalamiento diferencial. S.J. Gortler. Foundations of D Computer Graphics. MIT Press

10 Ciallamiento (Shear) Para ciallar un vector alrededor del eje-: 1 0 a 2 ~v = h ~b1 ~ b2 ~ b i ) h ~b1 ~ b2 ~ b i b

11 Tra nsforma cion es Lin ea les De cuerpos rígidos: secuencia arbitraria de translaciones rotaciones. preservan paralelismo, ángulos longitudes. Afines: secuencia arbitraria de rotaciones, translaciones, escalamientos ciallamientos (shear). preserva paralelismo.

12 Coordenadas Homogéneas Coordenadas homogéneas o coordenadas proectivas. Introducidas por August Ferdinand Möbius en Sistema de coordenadas utiliado en geometría proectiva, como las coordenadas cartesianas se usan en geometría Euclideana. En CG permiten que las operaciones como translación, rotación, escalamiento, proecciones perspectivas se implementen con matrices.

13 Coordenadas Homogéneas Permiten tratar a las transformaciones de manera consistente. Un punto se representa con tripletas (,, W ) W P que son múltiplos entre si. que es una línea en un espacio D. Coordenadas cartesianas del punto homogéneo: (t, t, tw ) con t = 0. plano W=1 (,, 0)? W, W, 1 con W = 0. puntos al infinito en dirección (, ). 1

14 Coordenadas homogéneas Al menos una de las coordenadas homogéneas debe ser diferente a cero. Si la coordenada W es diferente a cero podemos dividir entre ella: (,,W) representa el mismo punto que (/W, /W, 1). Cuando W es diferente a cero hacemos esta división los números /W, / W se llaman coordenadas Cartesianas del punto homogéneo. Los puntos con W=0 se llaman puntos en el infinito.

15 Translación en coordenadas homogéneas P = T (d, d ) P con T (d, d )= 1 0 d 0 1 d P = T (d 1 2, d 1 2 ) P T (d 1 2, d 1 2 )=T(d 2, d 2 ) T (d 1, d 1 ) 1 0 d d 1 = 0 1 d d d 1 + d 2 = 0 1 d 1 + d

16 Escalamiento en coordenadas homogéneas P = S(s, s ) P con S(s, s )= s s = : escalamiento uniforme. : escalamiento diferencial. P = S(s 1 2, s 1 2 ) P S(s 1 2, s 1 2 )=S(s 2, s 2 ) S(s 1, s 1 ). s = 0 s = s 1 s s 1 s s s

17 Rotación en coordenadas homogéneas Alrededor del origen. P = R( ) P con R( )= cos sin 0 sin cos R( )= cos sin 0 sin cos ortogonal especial (1) Vectores renglón unitarios (2) Vectores renglón perpendiculares entre si (producto punto es cero) () El primer segundo vector al rotarse por R(θ) estarán en el eje- positivo eje- positivo respectivamente. (4) Los vectores columna también verifican las propiedades (1) (2).

18 Shear en coordenadas homogéneas Alrededor del eje-. P = SH P con SH = 1 a P = SH 1 = + a 1

19 Alrededor del eje-. Shear en coordenadas homogéneas P = SH P con SH = P = SH 1 = b b + 1.

20 Coordenadas Homogéneas

21 Transformaciones en D Transformaciones en 2D matrices con coordenadas homogéneas. Transformaciones en D matrices 44 con coordenadas homogéneas. (,,W) (,,,W) (/W, /W, /W, 1) con W 0. Sistema coordenado con la mano derecha. eje de rotación dirección positiva de la rotación a a 21 a

22 Tra nsforma cion es en D Simple etensión de translación en 2D. Translación: d T (d, d, d )= d d T (d, d, d ) 1 + d = + d + d 1 Escalamiento: s S(s, s, s )= 0 s s S(s, s, s ) 1 = s s s 1

23 Alrededor del eje- R ( )= cos sin 0 0 sin cos Alrededor del eje R ( )= 0 cos sin 0 0 sin cos Alrededor del eje-. R ( )= sin 0 cos 0 cos 0 sin

24 Rotaciones en D Los renglones columas de la submatri superior iquierda de de R (θ), R (θ) R (θ) son: vectores unitarios mutuamente perpendiculares. la submatri tiene determinante 1. ortogonales especiales. Una secuencia arbitraria de rotaciones translaciones en D preserva ángulos, longitudes paralelismo.

25 Inversa de transformaciones en D Todas las matrices de transformación tienen inversas. La inversa de T se obtiene negando d, d, d. La inversa de S se obtiene reemplaando s, s, s por su recíproco. La inversa de las tres rotaciones se obtiene negando el ángulo de rotación. La inversa de cualquier matri ortogonal B es la transpuesta de B: B 1 = B T

26 Composición de transformaciones Cualquier secuencia de transformaciones de rotación, escalamiento translación se pueden multiplicar. El resultado es de la forma: rotación escalamiento r 11 r 12 r 1 t M = r 21 r 22 r 2 t r 1 r 2 r t translación

27 Rotación alrededor de un punto arbitrario P 1 T ( 1, 1 ) R( ) T ( 1, 1 ) P 1 casa original P 1 P 1 θ P 1 T ( 1, 1 ) R( ) T ( 1, 1 )= = cos sin sin cos cos sin 1 (1 cos )+ 1 sin sin cos 1 (1 cos ) 1 sin

28 Escalamiento alrededor de un punto arbitrario P 1 T ( 1, 1 ) S(s, s ) T ( 1, 1 ) P 1 casa original P 1 P 1 P 1 T ( 1, 1 ) S(s, s ) T ( 1, 1 ) = = s 0 1 (1 s ) 0 s 1 (1 s ) s s

29 Ejercicio Encuentra las matrices de transformación para transformar el objeto (1) al objeto (2) (1) (2)

30 Ejercicio Encuentra las matrices de transformación para transformar el objeto (1) al objeto (2) (1) (2)