Descripción de la posición y orientación.

Transcripción

1 Indice TEMA 5. FUNDAMENTS MATEMÁTICS Descripción de la posición y orientación. Transformaciones básicas: traslación y rotación. Composición de transformaciones. Velocidades y aceleraciones. Momento de inercia, centro de masa y tensor de inercia.

2 . Descripción de la posición y orientación Se empleará el término localización para referirse conjuntamente a una posición y orientación en el espacio. Es por tanto necesario establecer una herramienta matemática capaz de cuantificar y representar las magnitudes que indican, tanto la posición, como la orientación de un cuerpo rígido en el espacio con respecto a un sistema de referencia. 2

3 Sistemas de referencia 3

4 Descripción de la posición Una posición se establece de forma unívoca mediante un vector de posición p M con tres componentes con respecto a un sistema de referencia M, con origen el del sistema de referencia y extremo la posición. Al tener asociado cada objeto de interés un sistema de referencia, el vector p M representa la posición del origen de dicho sistema con respecto al M 4

5 Notación P M P M P 5

6 Coordenadas cartesianas Las componentes del vector p M son las proyecciones sobre cada uno de los ejes del sistema de referencia M p M (x,y,z) 6

7 Coordenadas cilíndricas Las componentes del vector p M en un sistema de referencia M se corresponden, con el módulo de la proyección del vector p M sobre el plano xy, el ángulo que forma dicha proyección con el eje x, y la proyección del vector p M sobre el eje z, respectivamente p M (r,, z). p M (r, ) 7

8 Coordenadas esféricas Coordenadas esféricas p M (r`,, ) P M (r,, ) r M P. r M P p M (r,, ) 8

9 Descripción de la orientación () La orientación del cuerpo con respecto al sistema de referencia M vendrá dada por la orientación relativa de los ejes del sistema de referencia asociado a él con respecto al sistema M. 9

10 Descripción de la orientación (2) Para ver mejor la orientación, se suele representar ambos sistemas coincidentes en el origen.

11 Matrices de rotación Una forma de indicar la orientación de un sistema con respecto a otro M es hacerlo mediante las coordenadas en el sistema M de los vectores unitarios en la dirección de los ejes del sistema

12 Matrices de rotación Y de forma matricial como las columnas de una matriz de dimensión 3x3, cuyos 9 elementos escalares son las coordenadas de los vectores unitarios del sistema en el sistema M, denominada matriz de rotación Al ser los vectores unitarios y los sistemas referencia ortogonales y dextrógiros, con tres parámetros, la orientación de un sistema con respecto a otro queda determinada. 2

13 3 Matrices de rotación Los 9 elementos de la matriz de rotación representan las proyecciones de los vectores unitarios x, y, z sobre los ejes del sistema M. M M M M M M M M M M M M M z z z y z x y z y y y x x z x y x x z y x Rot La matriz de rotación a veces recibe el nombre de matriz de cosenos directores

14 4 Matrices de rotación M M M M M M M M M M M M M z z z y z x y z y y y x x z x y x x z y x Rot La orientación del sistema M respecto al es la orientación inversa y viene expresada por: M Rot = ( Rot M ) T = ( Rot M ) - La matriz de rotación inversa es la matriz de rotación traspuesta

15 Matrices y coordenadas homogéneas En 969 Forest introduce las coordenadas homogéneas y la matriz de transformación homogénea para resolver diferentes problemas de gráficos por computador a través de operaciones con matrices rotación traslación T = = 3x3 3x perspectiva escalado x3 x 5

16 Matrices y coordenadas homogéneas Las coordenadas homogéneas en un espacio n-dimensional son n+. En 3D un punto p(x,y,z) en coordenadas homogéneas es: p(wx,wy,wz,w) donde w es un factor de escala (se considera w=). Matriz de transformación homogénea. Representación de la posición y orientación de forma conjunta de un sistema de coordenadas. 6

17 Matrices homogénea de transformación inversa La matriz de transformación permite localizar un sistema respecto a otro M. En ocasiones interesa conocer la relación inversa, es decir, conocer la localización de M respecto a, lo que se corresponderá con la matriz de transformación inversa a la primera. A A Adj A T 7

18 Indice TEMA 5. FUNDAMENTS MATEMÁTICS Descripción de la posición y orientación. Transformaciones básicas: traslación y rotación. Composición de transformaciones. Velocidades y aceleraciones. Momento de inercia, centro de masa y tensor de inercia. 8

19 2. Transformacipones básicas Las matrices homogéneas pueden emplearse para: Para transformar un vector expresado con respecto a XYZ (sistema transformado) a su expresión en MXYZ (sistema original). 9

20 Transformacipones básicas Localización de un sistema de referencia con respecto a otro. Descripción del movimiento de un objeto o sistema de referencia de una localización inicial M a otra final M. 2

21 Transformacipones básicas Localización de un sistema respecto a otro M tras un movimiento de 2

22 Traslación Se pueden considerar tres traslaciones básicas sobre cada uno de los ejes principales de un sistema de referencia. 22

23 Traslación Traslación compuesta 23

24 Traslación p i Tras (x, y,z) p i El orden en que se efectúan las operaciones básicas de traslación entre sí, no afecta al resultado de la traslación total. 24

25 25 Traslación El sistema `X`Y`Z` está trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema XYZ. Calcular las coordenadas (r x, r y, r z ) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema `X`Y`Z` son r (-2, 7, 3) r r r z y x r r p 3,8) (6, Tras p

26 26 Traslación Calcular el vector r`xyz resultante de trasladar al vector r xyz (4, 4, ) según la transformación Tras (6, -3, 8) r r` r` z y x

27 Rotación respecto al eje x 27

28 Rotación respecto al eje y 28

29 Rotación respecto al eje z 29

30 Indice TEMA 5. FUNDAMENTS MATEMÁTICS Descripción de la posición y orientación. Transformaciones básicas: traslación y rotación. Composición de transformaciones. Velocidades y aceleraciones. Momento de inercia, centro de masa y tensor de inercia. 3

31 3. Composición de transformaciones La composición de transformaciones, al estar representadas por matrices, supone que el orden en que se aplica cada una de las transformaciones básicas que la componen es relevante, puesto que el producto de matrices no es conmutativo. 3

32 C.T. expresadas con referencia a un sistema fijo () Supóngase que un robot, cuya base tiene asociada un sistema de referencia R, debe girar con respecto a él -9 en la dirección del eje z R un objeto, cuyo sistema de referencia asociado es, desde su posición inicial P R (a, b, c) R i p R Tras (a,b,c) p i 32

33 C.T. expresadas con referencia a un sistema fijo (2) p i p i R ifinal R p Rot ( z, 9) p R i inicial p inicial R i R Tras (a,b,c) p i R pi final R Rot (z, 9) R Tras (a,b,c) p i 33

34 Ejemplo. Enunciado () R i p final R Rot ( z, 9)( R Tras ( a, b, c) p i ) 34

35 35 Ejemplo. Cálculo (2),5, ) cos( 9) ( 9) ( 9) cos( sen sen 2,5 4,5 2,5 4,5

36 C.T. expresadas con referencia a un sistema móvil () Será necesario en primer lugar, que el sistema H se traslade hasta el objeto, o lo que es lo mismo, que los orígenes de ambos sistemas de referencia, H de la herramienta y del objeto, sean coincidentes En segundo lugar será necesario que el sistema asociado a la herramienta, el H' (sistema H trasladado hasta ), se oriente de forma adecuada para que finalmente coincida plenamente con el del objeto 36

37 C.T. expresadas con referencia a un sistema móvil (2) p H H Tras H (a,b,c)p H p H H Rot H (z, 9)p H p H H Tras H (a,b,c) H Rot H (z, 9)p H 37

38 Composición de transformaciones (3) No sólo es importante el orden en que se aplican las transformaciones, sino que también es necesario identificar en cada transformación con respecto a qué sistema se realiza. Si la transformación se realiza con respecto al sistema fijo se premultiplica sobre las transformaciones ya efectuadas. Si la transformación se realiza sobre el sistema móvil, es decir, con respecto a la última localización del sistema transformado, la nueva transformación se posmultiplica respecto a las aplicadas previamente. 38

39 C.T. Ejemplo (a) Ejemplo : La localización del extremo de un robot viene determinada por la siguiente matriz homogénea con respecto al sistema de coordenadas situado en la base. btener la localización del extremo si éste sufre en primer lugar una traslación de un vector p(5,,5) y posteriormente una rotación de -9 con respecto al eje y, expresando ambas transformaciones con respecto al sistema de coordenadas de la base del robot. 39

40 C.T. Ejemplo (b) La matriz homogénea que representa el sistema transformado es: 4

41 C.T. Ejemplo 2 (a) Ejemplo 2: btener la matriz de transformación que representa al sistema obtenido a partir de un sistema de referencia fijo sobre el que se le ha aplicado un giro de 9 alrededor del eje x, un giro de 8 alrededor del eje y (estas dos rotaciones se realizan respecto al sistema de coordenadas fijo); y por último un giro de -9 alrededor del eje y" del sistema transformado. T = Rot y, 8 Rot x, 9 Rot (y", 9) 4

42 Gráficos de transformación () El final de la herramienta puede ser referido con respecto al sistema XYZ de dos maneras distintas: a través del manipulador y a través del objeto. 42

43 Gráficos de transformación (2) 43

44 Gráficos de transformación (3) Cualquier otra relación puede ser obtenida fácilmente a partir del gráfico. Para ello se irá desde el objeto inicial al final multiplicando las matrices de transformación correspondiente a los arcos del gráfico, y considerando que de recorrerse éstos en el sentido inverso a las flechas deberá utilizarse una matriz inversa. 44

45 C.T. Ejemplo 3 (a) Hallar la matriz de transformación compuesta del sistema de referencia asociado a la articulación 3 sobre la. 45

46 C.T. Ejemplo 3 (b) T A 2 A 2 A3 A Rot(Y,9)Rot(Z,9)Rot(Y, (9 ))Tras(, L,) Rot(Y,9)Rot(Z,9)Rot(Y,(9 ))Tras(,, L) 2 A A 2 3 Tras(,,L) 46

47 C.T. Ejemplo 3 (c) A Rot(Y,9)Rot(Z,9)Rot(Y, (9 ))Tras(, L,) Rot(Y,9)Rot(Z,9)Rot(Y,(9 ))Tras(,, L) 2 A A 2 3 Tras(,,L) A cos(9) sen(9) sen(9) cos(9) cos(9) sen(9) sen(9) cos(9) cos (9 ) sen (9 ) sen (9 ) cos (9 ) L cos sen sen cos L 47

48 48 ))Tras(,, L),9)Rot(Y,(9 Rot(Y,9)Rot(Z A 2 A 2 3 Tras(,,L) cos(9) sen(9) sen(9) cos(9) cos(9) sen(9) sen(9) cos(9) A 2 Lcos cos sen Lcos 9 sen cos L ) cos(9 ) sen(9 ) sen(9 ) cos(9 L A 2 3 C.T. Ejemplo 3 (d)

49 C.T. Ejemplo 4 (a) El sistema de referencia asociado al elemento 3 con respecto al viene dado por la matriz de transformación homogénea T A A 2 2 A3 A Rot(X,9)Rot(Y, )Tras(,L,) A 2 Rot(Y,9)Rot(Z,9)Rot(Y,(9 ))Tras(,,L) A 2 3 Tras(,,L) Si las coordenadas de un punto i con respecto al elemento son (L, 2L, L) Cúales serán esas coordenadas con respecto al elemento 3 si α y = 9? 49

50 C.T. Ejemplo 4 (b) 5

51 C.T. Ejemplo 5 (a) La muñeca de un robot está en la posición (, 2L, L) con respecto a la base del robot (sistema de referencia cartesiano dextrógiro XYZ ). El versor j3 del sistema de referencia asociado a ella está en la dirección positiva del eje x del sistema asociado a la base del robot, el k3 en el del eje y positivo, siendo el sistema dextrógiro. Las coordenadas de un punto i con respecto a la base del robot son (L, 2L, L). Si el extremo del robot es sometido a una traslación Tras (, L, ) respecto al sistema móvil X3Y3Z3, y luego a otra traslación Tras (-L,, ) con respecto a este último sistema. º Cúal serán las coordenadas del punto i con respecto a ese sistema X5Y5Z5? 2º Y la matriz de transformación geométrica T5? Resolverlo geométrica y matemáticamente. 5

52 C.T. Ejemplo 5 (b) 52

53 Rotaciones compuestas () Un giro general se puede descomponer en una combinación de tres rotaciones básicas realizadas en un cierto orden. Existen 24 combinaciones definidas: 2 de ellas se obtienen mediante combinación de tres rotaciones siempre realizadas sobre ejes principales del sistema fijo. XYZ Las otras 2, conocidas como ángulos de Euler, se definen mediante combinación de tres giros sobre ejes principales del sistema móvil 53

54 Respecto a los ejes fijos: XYZ (Roll, Pitch, Yaw) Z Y X Alabeo, Cabeceo, Guiñada Balanceo, Inclinación, rientación Rotaciones compuestas (2) 54

55 Angulos de Euler (X-Y-Z, X-Z-Y, Y-X-Z, Y-Z-X, Z-X-Y, Z-Y-X, X-Y-X, X-Z-X, Y-X-Y, Y-Z-Y, Z-X-Z, Z-Y-Z) 55