en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud, dirección y su representación geométrica.

Transcripción

1 1 N.SN Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud, dirección y su representación geométrica. Vectores Unidad 4: Vectores Tema 1: Vectores Lección 1: Definición 11 Introducción En aplicaciones de matemáticas, ciertas cantidades se determinan por completo por su magnitud; por ejemplo, longitud, masa, área, temperatura y energía. Se habla de una longitud de 5 metros o una masa de 3 kilogramos; sólo es necesario un número para describir cada una de estas cantidades. Tal cantidad se llama escalar. Por otro lado, para describir el desplazamiento de un objeto, se requieren dos números: la magnitud y la dirección del desplazamiento. Para describir la velocidad de un objeto en movimiento, se debe especificar tanto la velocidad como la dirección del recorrido. Cantidades como desplazamiento, velocidad, aceleración y fuerza que se relacionan con magnitud así como dirección se llaman cantidades dirigidas. Una forma de representar tales cantidades matemáticamente es a través del uso de vectores. Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

2 2 Módulo del vector. Es la magnitud o longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del vector. Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector al extremo B.. El que va del origen A Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos y, con sentido distinto, que se llaman vectores opuestos. Vectores -continuación El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican. Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc. Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino que es preciso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección sudoeste, ya que se llegaría a distinto lugar.

3 Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert ( ) y Stefan Banach ( ), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales, aplicándolos a las técnicas del análisis matemático. Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: 1. Origen - O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. 2. Módulo o magnitud - Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. 3. Dirección - Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. 4. Sentido- Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. 3 Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

4 4 Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado. Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado. Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario denominado. o también Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma: Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: 1. Masa 2. Temperatura 3. Presión 4. Densidad

5 5 Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección. Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

6 6 Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos a+b=(a x i+a y j+ a z k)+(b x i+b y j+ b z k)=(a x +b x )i+(a y +b y )j+(a z +b z )k Propiedades 1. Conmutativa: a+b=b+a 2. Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) 3. Elemento Neutro: a+0=a 4. Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0 Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad. De ese modo,

7 7 Los escalares, y se denominan componentes del vector y se representan por: Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k. También puede representarse de la siguiente forma:

8 8 Ejemplo 1: Encuentre la forma de componentes del vector u con punto inicial (-2,5) y punto terminal (3,7). El valor deseado es Ejemplo 2: u = 3 ( 2), 7 5 = 5,2 Si el vector v = 3,7 se bosqueja con punto inicial (2,4), cuál es su punto terminal? Sea (x,y) el punto terminal de v. Entonces, x 2, y 4 = 3, 7 Por lo tanto x-2= 3 y y - 4= 7 X= 5 y= 11 El punto terminal es (5,11). Ejemplo 3: Bosqueje representaciones del vector w= 2,3 con puntos iniciales en (0,0), (2,2), (-2,-1) y (1,4).

9 9 Ejemplo 4: Encuentre la magnitud de cada vector. a= u = 2, 3 b= v = 5,0 c= w = 3 4, 5 5 a. 2 2 u = 2 + ( 3) = 13 b. 2 2 v = 5 + (0) = 25 = 5 c. w = + = + = =

10 10 Se recomienda esta dirección electrónica. Es interactiva. Referencias: