Un vector geométrico es un segmento de recta dirigido en el plano o el espacio euclidiano.

Transcripción

1 ectores n vector geométrico es un segmento de recta dirigido en el plano o el espacio euclidiano. Diremos que dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, magnitud (tamaño) y sentido, sin importar donde empiecen. Los vectores pueden representar muchas cosas, como posiciones relativas, desplazamientos, velocidades, fuerzas, etc. Los vectores pueden escalarse (multiplicarse por un número real r): W 3W -W r tiene la misma direccion que, tiene r veces su magnitud y tiene el mismo sentido si r>0 y el sentido opuesto si r<0. Los vectores pueden sumarse y restarse: = +(-) es el vector que al sumarle da

2 La regla del paralelogramo: + - La suma y resta de dos vectores basados en el mismo punto están dadas por las diagonales del paralelogramo definido por los dos vectores. ropiedades de la suma de vectores y la multiplicación por escalares: + = + conmutatividad ( + ) + W = + (+ W) asociatividad α(+) = α + α distributividad (α+β) = α + β Estas propiedades se obtienen de la ley del paralelogramo y de la semejanza de triangulos Aplicaciones: Las posiciones relativas se suman como vectores: El vector que da la posición de Marte desde la Tierra es la suma del vector que da la posición del Sol desde la Tierra con el vector que da la posición de Marte desde el Sol. Marte Sol Las velocidades se suman como vectores: Tierra Si A, B y C son dos objetos en movimiento, la velocidad de C respecto a A se obtiene sumando la velocidad de C respecto a B con la velocidad de B repecho a A. F 1 Las fuerzas se suman como vectores: Si se aplican simultáneamente dos fuerzas sobre un punto, la fuerza resultante es su suma vectorial. F 1 + F 2 F 2

3 ectores y coordenadas Cada punto del plano (x,y) determina un vector que va del origen al punto, y que se denota también por (x,y). Entonces el vector que va del punto (x,y) al punto (x',y') es (x'-x,y'-y). (1,3) (1,3) (3,-2) (4,1) (0,0) Observar que la suma de vectores esta dada por la suma coordenada a coordenada, y el producto por escalares también esta dado por el producto en cada coordenada: (a,b) (c,d) (a,b) r(a,b) = (ra,rb) (a+c,b+d) Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la suma de vectores y el producto por escalares son consecuencia de las propiedades de la suma y el producto de números reales. Ejemplos: Si y son dos puntos en el plano, el punto medio entre y es ½(+). - Ejemplo: El punto medio entre (2,4) y (6,1) es ½(2+6,4+1) = (4,2.5) +½(-) = ½(+)

4 Cada punto S alineado con y puede obtenerse sumándole a un múltiplo de -: - Ejemplo: el punto que esta a un tercio del camino entre (2,4) y (6,1) es (2,4)+1/3(6-2,1-4) = (2,4)+1/3(4,-3) = = (2,4)+(4/3,-1) = (10/3,3) S = +λ(-) Afirmacion: Las medianas de un triángulo concurren en un punto que las divide en la razón 2:1 Dem. Las medianas son las lineas que van de los vertices a los puntos medios de los lados opuestos. ara ver que las medianas concurren hay que ver que el punto que esta a 2/3 del recorrido de cada mediana es el mismo para las 3 medianas. R- Si las posiciones de los vértices del triángulo estan dadas por los vectores, y R, - R entonces los lados del triángulo están representados por los vectores -, R- y R- 0 R-. ½(R-) La mediana por el vertice esta representada por el vector - + ½(R-) - R El vector que va de al punto T que esta a dos tercios del recorrido de la mediana es 0 R- 2/3(-+½(R-)) Así que la posición de T esta dada por el vector T = +2/3(-+½(R-)) = = +2/3-2/3 +1/3R-1/3 = = 1/3+1/3+1/3R - T R Como T = 1/3+1/3+1/3R es simétrico 0 R- respecto a, R, el punto T es el mismo para las 3 medianas.

5 Norma y distancia Al tamaño de un vector se le conoce como su magnitud o norma y se le denota por. Los vectores de norma 1 se llaman unitarios. or el Teorema de itagoras la norma del vector (x,y) es (x,y) = x 2 +y 2 (x,y) y Ejemplo: (4,-3) = 4 2 +(-3) 2 = 25 = 5 x Al multiplicar un vector por un numero r, se obtiene un vector paralelo a cuya norma es r veces la norma de. Ejemplo: n vector unitario paralelo a =(4,-3) es 1 / = 1 /5(4,-3) = ( 4 /5, -3 /5) La distancia entre dos puntos y del plano es la norma del vector - - Ejemplo: Si =(4,1) y =(7,0) entonces dist(,)= (7-4,0-1) = 3 2 +(-1) 2 = 10 Los vectores (a,b) y (-b,a) tienen magnitudes iguales y son perpendiculares. Dem. (a,b) 2 = a 2 +b 2 = (-b) 2 +a 2 = (-b,a) 2 (a+b,b-a) así que (a,b) y (-b,a) tienen la misma norma. ara ver que (a,b) y (-b,a) son perpendiculares, hay (-b,a) (a,b) que ver que las normas de (a,b), (-b,a) y su diferencia (a+b,b-a) cumplen el teorema de itagoras: (a+b,b-a) 2 = a 2 +2ab+b 2 +b 2-2ba+a 2 = = a 2 +b 2 +b 2 +a 2 = (a,b) 2 + (-b,a) 2

6 roblemas 1. Dibuja cuidadosamente -+2, 2- y 3-2 basados en el mismo punto que y. Luego dibuja -2, -2 y 2-3. ue observas? 2. a. Encuentra un vector de norma 5 con la misma dirección que (3,7) b. Encuentra dos vectores unitarios perpendiculares a (3,7) 3. Encuentra las coordenadas de 3 vectores del plano, todos de la misma magnitud, que sumen 0. W ++W = 0 4. Demuestra usando vectores (y sin usar coordenadas) que los puntos medios de cualquier cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo. 5. Demuestra analíticamente* que para todos los vectores, del plano, + + Será cierto que - -? * (usando coordenadas y algebra)