intersección de dicho meridiano sobre el Ecuador.

Transcripción

1 Tema 6 Determinación de la Latitud Geográfica 5.1 Definiciones De acuerdo a la [Figura 5.1a] siguiente pueden darse tres diferentes definiciones de Latitud (): a) es el arco de meridiano comprendido entre el Cenit de la estación y la intersección de dicho meridiano sobre el Ecuador. b) es la altura (h) del Polo sobre el horizonte. c) es la declinación () del Cenit. Figura 5.1 a: Vista del plano definido por el meridiano del lugar. Definiciones de la latitud () de un lugar de observación.

2 5.2 Cálculo de la Latitud Como es imposible medir directamente, es necesario recurrir a relaciones entre los elementos del triángulo de posición, [Figura 5.2a] : Figura 5.2 a: Triángulo de posición del polo norte donde : : es la Latitud del lugar : es la Declinación del astro : es la Distancia Cenital medida con el instrumento H : es el Ángulo Horario A : es el Acimut Q : es el ángulo Paraláctico Aplicando el teorema del eno al lado obtenemos : sen sen δ s δδ H (1) Como la (1) es una ecuación trascendente donde no se puede despejar directamente, se definen cantidades m y M tales que:

3 sen m sen M m sen sen M H m M tg M sen H tg sec H Así, obtenidos los valores de m y M en función de elementos conocidos, reemplazando en la ecuación (1) podremos encontrar el valor de de la siguiente manera: sen m sen M m M m (sen sen M M) m ( - M) m ( - M ) (2) La ecuación (2) permite calcular la latitud. El ángulo horario (H) se calcula con la ascensión recta () del astro y el tiempo sidéreo local (l) mediante : θl exacto H Como el tiempo sidéreo local (l) exacto es igual al leído más o menos una corrección o error (), tendremos: θl leído Δθ H H θl leído Δθ -

4 Si no disponemos de un reloj sidéreo, deberemos usar un reloj normal en Hora Oficial Argentina (HOA) y posteriormente realizar las transformaciones a tiempo sidéreo. De esta manera el cálculo de la latitud de un lugar implica determinar el ángulo horario (H) y la distancia cenital observada () Observación Condiciones más favorables Para encontrar las mejores condiciones en la observación de la latitud debemos determinar la influencia de los errores en distancia cenital () y ángulo horario (H). Para ello diferenciamos la ecuación (1), obteniendo: sen d - ( sen - sen sen H dh H ) d (3) Por la fórmula de los cinco elementos y el teorema del seno aplicados al triángulo de posición, encontramos que: sen - sen H sen A sen H sen sen A Reemplazando en (3) y simplificando obtenemos : d sena d - dh (4) A A Podemos ver que para obtener errores d pequeños, debe ser el denominador de (4) lo mas grande posible. Para ello: tg A = 0 y A = 1, condiciones que se cumplen para acimutes A = 0 y A = 180 sobre el Meridiano del lugar.

5 En el meridiano tenemos también que H = 0 y H = 1, reemplazando en la ecuación (1) queda : sen sen ( - ) Por lo que finalmente obtenemos: meridiano - meridiano (5) La expresión (5) es válida solamente para los astros en culminación, es decir durante tránsitos en el meridiano. Esto significa que si es posible ubicar el instrumento en el meridiano (A = 0, 180 ); con solo leer la distancia cenital () del astro, obtendremos directamente el valor de la latitud () del lugar. Estableceremos una convención de signos para astros transitando el meridiano. Diremos que para estrellas culminando al sur del cenit, las distancias cenitales serán positivas (+s), y para estrellas culminando al norte del cenit, las mismas serán negativas (-n). Tenemos entonces: s n s - n (6) donde : s y n son las declinaciones para el instante de observación de las estrellas al sur y al norte del cenit, extraídas de algún catálogo de coordenadas aparentes, tal como el FK5.

6 5.4-. Método de Observación Elección del Método de Observación Existen varios métodos desarrollados para realizar determinaciones de la Latitud, entre ellos nombraremos tres: (a) Método de Gauss: se basa en la observación de ternas de estrellas a iguales distancias cenitales. Las mediciones consisten en la toma de tiempos de pasajes de las estrellas en el momento del cruce por la respectiva almicantarat. Este método permite también determinar conjuntamente la Longitud. Tiene el inconveniente de que el armado del programa de observación es laborioso y, como se dijo, se necesitan los tiempos de pasajes estelares cuya tarea es complicada y delicada. (b) Método de las Rectas de Altura: consiste en la comparación de las distancias cenitales observadas de estrellas contra los valores calculados de las mismas, mediante el armado gráfico de rectas de alturas. Es necesario tomar lecturas horizontales, verticales y de tiempo de pasajes. Este método también permite conocer la Longitud. Tiene la ventaja de no necesitar programas de observación ya que puede utilizarse con estrellas conocidas, pero tiene el inconveniente de requerir la toma de tiempos y muy cuidadosas medidas de las distancias cenitales. (c) Método de Horrebow-Talcott: se basa en la observación de tránsitos sobre el meridiano, de parejas de estrellas cuyas distancias cenitales sean aproximadamente iguales y simétricas respecto a la vertical. Es el método más simple y ágil de utilizar y el de mayor precisión. No necesita la toma de tiempos de pasajes y el programa de observación es sencillo de confeccionar. Es la técnica usada por el Instituto Geográfico Militar (IGM) para la determinación de la Latitud. Sobre la base de observaciones realizadas y experiencias recogidas en la aplicación de los distintos métodos, para la determinación de las coordenadas geográficas de diversos puntos de la provincia, concluimos que el tercer método nombrado (c), es el que mejor se adapta a nuestras necesidades en cuanto a precisión y facilidad de ejecución. A continuación se describe detalladamente el mismo.

7 Método de HORREBOW - TALCOTT De acuerdo a la expresión diferencial (4) sabemos que las mejores condiciones en la determinación son para A = 0 y A = 180. El método de Horrebow Talcott para la determinación de la Latitud Geográfica consiste en la observación de parejas de estrellas transitando el meridiano, de tal forma que sean simétricas de la vertical del lugar y tratando que las distancias cenitales al sur y al norte sean las mismas. Para: As An 0 ds 180 dn d - d (7) Sumando las expresiones (7) vemos que: ds + dn = 0, o bien ds = - dn, lo que significa que los errores en la determinación de son de efecto contrario y se anulan. En estos casos ideales (para s = n) no sería necesario corregir la lectura vertical del astro por error de índice instrumental ni por refracción; pero como realmente las distancias cenitales de las estrellas no son exactamente iguales, introduciremos solamente la corrección por refracción. En resumen, el método de Horrebow Talcott para la determinación de la latitud, se basa en la observación de varias parejas de estrellas meridianas, mediante la lectura de las distancias cenitales de ambas estrellas, en el momento de sus culminaciones superiores. Las condiciones que deben cumplir las distancias cenitales son que sean aproximadamente simétricas (s n), con una tolerancia de 3 entre ambas estrellas como máximo. Por otra parte, debemos conocer a priori la posición del meridiano bastante bien, lo cual se logrará determinando el acimut de una línea base cualquiera por observaciones de estrellas en máxima elongación.

8 Fórmula empleada En las ecuaciones (6), las distancias cenitales s y n deberán corregirse por refracción normal. Llamando con s y n a las distancias cenitales leídas al sur y al norte y con Rs y Rn las respectivas refracciones, tenemos: s n 's 'n Rs Rn Reemplazando en las ecuaciones (6) encontramos : δs δn 's Rs - 'n - Rn (8) Teniendo en cuenta que la refracción se calcula como: R = 60 tg, sumamos las ecuaciones (8) y despejamos para obtener finalmente la fórmula de Horrebow Talcott para el cálculo de la Latitud mediante parejas estelares: = ½ (s + n) + ½ ( s n) + 30 (tg s tg n) (9) Debo tomar parejas de estrellas con aproximadamente la misma distancia cenital ( 3 ) y que, en lo posible, no tengan diferencias en tiempos de pasaje de mas de 4 o 5 minutos Selección de estrellas Confección del programa Recordamos que sobre el meridiano el ángulo horario (H) es cero, por lo que entonces el tiempo sidéreo local (l) es igual a la ascensión recta () del astro.

9 El siguiente algoritmo muestra los pasos para el cálculo aproximado (sin tener en cuenta el DUT1) de l, a partir de la Hora Oficial Argentina (HOA) elegida para comienzo de las observaciones en un determinado día: HOA Hora Oficial Argentina + huso 3 horas TU Tiempo Universal * corrección tiempo medio a sidéreo g - o + o Tiempo sidéreo de Greenwich a 0h TU g Tiempo sidéreo de Greenwich - 4 h 30 m Longitud aproximada del lugar l Tiempo sidéreo local Figura 5.5a: Elementos para realizar la selección de estrellas sobre el meridiano Conociendo el l de comienzo de las observaciones, comenzamos a buscar en el catálogo las estrellas a partir de = l en adelante, formando parejas con distancias cenitales aproximadamente iguales. De acuerdo a la [Figura 5.5a] y las expresiones (10) siguientes, podemos fácilmente vincular las declinaciones de las estrellas al norte y al sur del cenit.

10 s s n - n (10) 2 s n n 2 - s Programa de Observación Sobre la base de lo anterior se muestra un ejemplo de un programa de observación para alguna fecha determinada. En él se indica la pareja, el número de catálogo FK5, la magnitud aparente, la posición respecto al cenit, el tiempo sidéreo (l) de pasaje en horas y minutos de tiempo y la distancia cenital () de calaje en grados y minutos de arco. Pareja FK5 Mag. Posición l h m sur norte sur norte norte sur norte sur norte sur norte sur sur norte

11 Observaciones y Cálculos De acuerdo a la fórmula (9) se obtuvieron los siguientes resultados para la fecha de observación. Las tablas a continuación muestran la pareja, el número de catálogo FK5, la distancia cenital leída en grados, minutos y segundos de arco, la declinación () para la fecha y la latitud () obtenida del cálculo: Lugar: Fecha: Tabla N 1 Pareja FK5 leído Promedio 7 parejas: =

12 Calculando el error cuadrático medio : Promedio n (n - Vi 2 1 ) =