Ingeniería de Sistemas Espaciales

Transcripción

1 Ingeniería de Sistemas Espaciales Aplicado a una misión CanSat Ejercicio: introducción a la mecánica orbital. Instrucciones: Revise cuidadosamente el material que a continuación se presenta y resuelva lo que se pide. Puede hacer uso de gráficas si se requiere además del uso de software para realizar los cálculos.

2 Recordando los parámetros de las órbitas. Se puede describir cualquier órbita mediante 6 elementos: Semi-eje mayor: a. Excentricidad: e. Inclinación de la órbita: i. Anomalía verdadera: θ. Ascención recta del nodo ascendente: Ω. Argumento del perigeo (periapsis): ω. El sistema de referencia se encuentra marcado por el polo norte terrestre en el eje z, mientras que el eje x apunta al primer punto de Aries (punto de la eclíptica a partir del cual el Sol pasa del hemisferio sur terrestre al hemisferio norte y que ocurre en el equinoccio de primavera alrededor del 21 de marzo, iniciando la primavera en el hemisferio norte y el otoño en el hemisferio sur).

3 Conservación de la energía (cantidad escalar) Consideremos el problema de dos cuerpos simplificado. Debido a la naturaleza conservativa de la fuerza de gravedad, la energía total se mantiene constante (si aumenta la energía potencial disminuye la energía cinética y viceversa). De esta manera, la relación entre la energía cinética y potencial es: Observaciones: V 2 2 µ r = µ 2a El semieje mayor a se mantiene constante, inversamente relacionado a la energía total. Lo anterior da por resultado la expresión para determinar la velocidad de un satélite en órbita terrestre en cualquier punto a lo largo de la órbita como sigue: V= m. 2 m - 1 =. 1+2ecosn+e 2 r a a 1-e 2

4 Conservación del momento angular (cantidad vectorial) Debido a la fuerza de gravedad actuando hacia el centro del planeta, no hay torques externos, por lo que el vector de momento angular h es constante, esto es: h = r2 ν h = µ a( 1 e 2 ) h = cte Donde el vector normal unitario es: Observaciones: h = r V r V Conociendo la segunda ley de Kepler en que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, da por resultado la relación de momentos lineales en el perigeo y el apogeo: r perigeo V perogeo = r apogeo V apogeo

5 Estado orbital: vectores de velocidad y posición Observaciones: El marco de referencia es el centrado en la Tierra (ECI ó Earth Centered Inertia). Tanto la velocidad como la posición varían rápidamente.

6 Conversión entre Elementos Orbitales Clásicos y vectores de velocidad y posición Dados un vector de velocidad v y posición r, se procede a calcular los elementos orbitales de la siguiente manera: Paso 1: la distancia y la velocidad (escalares): Paso 2: calcular la velocidad radial:! $ v r = r v # x x + y y + z z & r = " % r Es de notar que si vr > 0 entonces el satélite se aleja del perigeo; por otra parte si vr < 0 entonces el satélite se mueve hacia el perigeo.

7 Conversión entre Elementos Orbitales Clásicos y vectores de velocidad y posición Paso 3: calcular el momento angular específico, h: Paso 4: calcular la magnitud del momento angular específico (escalar): Paso 5: calcular la inclinación: Paso 6: calcular el vector de línea de nodos:

8 Conversión entre Elementos Orbitales Clásicos y vectores de velocidad y posición Paso 7: calcular la magnitud del vector de línea de nodos: Paso 8: calcular la ascención recta del nodo ascendente: Paso 9: calcular el vector de excentricidad:

9 Conversión entre Elementos Orbitales Clásicos y vectores de velocidad y posición Paso 10: calcular la excentricidad: Paso 11: calcular el argumento del perigeo: Paso 12: calcular la anomalía verdadera: n Paso 13: calcular el eje semimayor: a = h 2 ( ) µ 1 e 2

10 Conversión entre Elementos Orbitales Clásicos y vectores de velocidad y posición Ejercicio: Suponga que se realiza el rango satelital mediante una señal de radiofrecuencia que utiliza una subportadora a khz, conforme al protocolo de la ESA de 7 tonos (diferentes frecuencias) entre un satélite en órbita geoestacionaria y una estación en tierra. La estación terrena hace uso de una antena de 9 m de diámetro. Después de que el sistema en la estación terrena realiza las mediciones se obtienen los siguientes valores: Time (UTCG): x (km): y (km): z (km): v x (km/sec): v y (km/sec): v z (km/sec): 14 Sep :00:00:00: Se pide encontrar los valores de los 6 elementos orbitales clásicos (excentricidad, semi eje mayor, inclinación, ascención recta del nodo ascendente, argumento del perigeo y anomalía verdadera) para conocer la ubicación del satélite en la órbita.

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