1. Determinar el volumen del solido que se genera al rotar la región acotada por las parabolas x = y 2 3 y x = y y 2,alrededor de la recta x = 4.

Transcripción

1 Practica. Determinar el volumen del solido que se genera al rotar la región acotada or las arabolas x = y y x = y y,alrededor de la recta x = 4. Encontremos los untos de interceccion de ambas curvas: y =y y => y y ==>y= ey= Asi el volumen generado esta dado or la integral entre - y del metodo del disco: através V = π R ((y y )+4) ((y ) + 4)) dy V = π R (8y 9y y + 5)dy V = 875 π unidades de volumen.determinar el volumen del sólido obtenido al rotar en la recta y =,laregiónentreelgráfico de y = x + e y = x x +. El gráfico es: y x

2 Trasladaremos las funciones y = x y = x x + Ahora el grafico es: y x -.5 Ahora calcularemos el volumen del solido or el metodo de los discos: Las intersecciones de las funciones son en x =y x = Por lo tanto el volumen del solido al rotarlo en el eje x es el siguiente: V = R π((x ) (x x +) )dx V = R π( x4 +4x 5x +x)dx V = 5π unidades de volumen Ahora calcularemos el volumen del solido or el metodo de caas: Las intersecciones en y son y =e y = Desejando x de la funciones obtenemos: x = y + x = y + Por lo tanto el volumen del solido al rotarlo en el eje x es el siguiente: V = R πy(( y +) (y +))dy V = R π(y y )dy V = 5π unidades de volumen. Determinar el volumen que genera el semidisco y = x, y =al girar al rededor de la recta que se indica: a) Al rededor de la recta y =.

3 Al visualizar un lano de corte aralelo al lano yz, se deduce que la función área es A(x) = π π( y) ara x A(x) = π π( x ) = π( x + x ) El volumen será entonces: V = V =π = 4π A(x)dx = A(x)dx ( x + x )dx =4π x dx + π π dada la simetría del sólido de revolución. x dx +π con x =sinw x =< >w= dx =cosw x =< >w= π Reemlazando: V =4π π Z x dx π (cos w)dw + π π =4π π 4 + π π = π 4 π = π (π 4). b) Alrededor de la recta y =. dx Se uede definir una f (x) =+ x de modo que el volumen roducido al girar la suerficie inicial con resecto a y = sea el mismo que al girar la suerficie encerrada or f y la recta y =con resecto a y =. Luego, el area de la sección transversal será: A(x) = π(( + x ) ) = π( x x +) Y el volumen: (or simetría) V =π ( x x +)dx =4π V =4π π 4 π +π = π (π +4) c) Al rededor de la recta y =. x dx π x dx +π Al igual que en la arte b, definimos una f (x) = x y hacemos rotar la suerficie que forma con la recta y =entorno a y =. Luego, el area de la sección transversal será: A(x) = π( ( x ) = π(4 x + x ) Y el volumen: (or simetría) dx

4 V =π (4 x + x ) = 8π V =8π π 4 + π π = π(π ) d) Al rededor de la recta x =. Del método del anillo se tiene: V =π ( x) x dx =4π x dx +π x dx π con x = v x =< >v= xdx = dv x =< >v= Así: V = π + π Z x dx π dx x x dx udu = π + π (u ) = π π = π (π ). 4. Sea R la región acotada or la arábola y = 4x ylasrectas x =, y =, y =. Determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar R en torno del eje X. Utilizar dos métodos diferentes. y = 4x () x = () y = () y = (4) Buscamos untos de intersección ara (): intersección con el eje x (y=): x = intersección con el eje y (x=): y = ± Intersección entre () y (4) 4x =4 4x =8 x =, y = Por el método del disco tenemos: 4

5 Z Z Z V = π [f (x)] dx = π 4dx + π 4xdx =π Por el método de los anillos (cascarón): V =π Z y f (y) dy =π Z y( y )dy =π 4 5

6 6. Determinar la longitud de las siguientes curvas: () y =lnx 8 x,con x 8. () y = ln(cos x),con x π 4. "Longitud de una curva C es": L(C) = Para () f(x) =lnx 8 x f (x) = x 4 x +f (x) =+ Luego, L(C) = (ln + 8 ) Z b a +f (x) dx µ x 4 x = x + + µ 6 x = x + 4 x Z 8 +f (x) dx = µln x + 8 x 8 =ln 8+ Para (): f(x) = ln(cos x), f (x) = sin x cos x =tanx +f (x) =+tan x =sec x Z π 4 L(C) = +f (x) dx = ). Z π 4 sec x =(ln sec x +tanx ) π 4 =ln( + 7. Determinar la longitud de arco de la curva x + y =. ³ ³ ³ x + y = x + y =. Una arametrización de la curva es x (t) = cos t, y (t) = sin t, ox (t) =cos t, y (t) =sin t. 6

7 Usando simetría y la fórmula dada or la integral que da el valor de la longitud de la curva en el rimer cuadrante se tiene: L =4 R q π [x (t)] +[y (t)] dt =4 R q π [cos t sin t] + sin (t)cost dt L =4 R π sin t cos tdt =. 8. Determinar el area de la suerficie del toro generada or la curva x +(y ) =4al rotar alrededor del eje X. El area de una suerficie que rota al rededor del eje x está dada or: Para este caso: ysetiene A s =π Para los limites de integración: Z b a f(x) ( + [f (x)] )dx f(x) = 4 x + [f (x)] = x 4 x Al ser simetrica c/r al eje y se integra veces entre y como sigue: A s = π Z f(x) ( + [f (x)] )dx 7

8 Z A s = π ( r 4 x +) Z Z A s = π dx + A s =8π [x] + Z ( + x 4 x )dx )dx 4 x )dx 4 x h ³ x i A s =8π [x] + arcsin A s =8π + π 9. Determinar el área de la suerficie interior del esejo arabólico obtenido al rotar en el eje y la curva y = 4 x. Como la curva gira en torno al eje y siendo de la forma y = f(x). El área de la suerficie viene dada or A = R b q+(f (x)) a πx dx. La ecuación de la arábola es de la forma y =4x. De aquí se tiene que 4 = 4 = = 6.Podemos afirmar entonces que el foco tiene coordenadas, 6. Luego, ara determinar los valores de a y b tenemos que: 4 x = 6 = x = 4 6 = 4 = x = Por tanto A = R q πx +(f (x)) dx, donde f (x) = x Finalmente A = R q πx + x R q dx = πx + 4 x dx Primeramente determinemos la integral indefinida R q πx + 4 x dx Sea u =+ 4 x = du = xdx = du = xdx = 4πdu =πxdx Sustituyendo y calculando resectivemente tenemos que: R q πx + 4 x dx = 4π R udu = 4π u = 8π u + C Volviendo a la variable original A = R q q πx +(f (x)) dx = 8π 6 6 Portanto,eláreadelasuerficie interior del q esejo arabólico obtenido al rotar en el eje y la curva y = 4 x es 8π