Preferencias. Teoría del consumidor. Preferencias. Preferencias. Tema 6

Transcripción

1 Preferencias Tema 6 Teoría del consumidor La Teoría del Consumidor arte del suuesto de que los individuos tienen referencias (gustos) sobre los bienes Problema: las referencias no son observables. No obstante, odemos inferir los gustos a artir de lo que los individuos eligen Si eliges A cuando B también era osible, debe ser que te gusta más A que B Preferencias Llamamos X al conjunto de alternativas. Elemento de X son,,.. Una relación de referencia R es una relación binaria en X Leemos R como es al menos tan referido como ( débilmente referida ) A artir de R odemos obtener otras dos relaciones binarias Preferencias Decimos que P ( es estrictamente mejor que ) cuando R ero no es cierto que R Decimos que I ( es indiferente con ) cuando R también R Vamos a eigir que R sea racional. Esto requiere que sea comleta transitiva 3 4

2 Preferencias Utilidad Decimos que R es comleta si, ara todo, X, o bien R o bien R o bien ambos Decimos que R es transitiva si ara todo,,z X: R e Rz imlica Rz Ej. : R si esa al menos tanto como Ej. : R si esa mide al menos tanto como 5 Una función u: X R es una función de utilidad que reresenta R si, ara cualquier, X : R u() u() Ejemlo: X = {,,z} R, Rz, Rz Podemos escribir u()=9, u()=4, u(z)= Si u() reresenta R f: R R es una transformación monótona creciente, v() = f(u()) también reresenta R 6 Utilidad La utilidad es una medida ordinal, no cardinal Un roblema clásico es el de la reresentación de las referencias Es decir, cuándo se ueden reresentar unas referencias R mediante una función de utilidad? Que R sea racional es una condición necesaria Utilidad Es también suficiente sólo cuando X es finito o contable (numerable) Ejemlo (clásico): suongamos R si o bien >, o bien = > Decimos que R es continua en X si ara todo en X, los conjuntos de contorno suerior e inferior de son cerrados El conjunto de contorno suerior de es { X: R} 7 8

3 Reresentación Si una relación de referencias R en X R n + es comleta, transitiva continua entonces es reresentable mediante una función de utilidad continua En general nos centraremos en el caso de bienes Podemos ensar que uno de ellos es un bien comuesto Conjunto resuuestario Suongamos que el consumidor tiene una cantidad fija de dinero ara gastar M Ha dos bienes, X e Y, cuos recios son X Y Las cestas que uede comrar cumlen: X + Y M Suonemos además que 0 e Conjunto resuuestario Conjunto resuuestario M Y X + Conjunto resuuestario Y M Recta resuuestaria M X La endiente de la recta resuuestaria es - X / Y Indica a cuánto de un bien debemos renunciar si queremos más del otro Por ejemlo, si X = 3 Y =, si queremos una unidad más de X debemos renunciar a 3 unidades de Y

4 Aumento de un recio Aumento de un recio M Y M Y La recta resuuestaria ivota hacia dentro M X 3 M X 4 Aumento de la renta Aumento de la renta M Y M Y La recta resuuestaria se deslaza hacia fuera (la endiente no cambia) M X 5 M X 6

5 Conjunto resuuestario Si los dos recios aumentan en la misma roorción es lo mismo que si la renta M disminue De hecho uno de los 3 arámetros ( X, Y M) es redundante Podemos hacer X =. Entonces el bien X es el bien numerario El tiemo también es una restricción Oferta de trabajo Cuando estudiamos la oferta de trabajo el tiemo es crucial Ofrecer trabajo significa que ese tiemo no lo odremos usar ara consumir bienes Lo que hacemos es comrar ocio renunciando a trabajar. Es decir, el recio del ocio es el salario que dejamos de ganar or no trabajar 7 8 Curvas de indiferencia Las curvas de nivel de la función de utilidad son las curvas de indiferencia Cada CI reresenta combinaciones de cestas entre las que el consumidor está indiferente En general, curvas más alejadas del origen reresentan cestas mejores Si u(x,y) = XY, las cestas (0,0), (0,5) (5,0) están en la misma CI 9 Curvas de indiferencia

6 Relación marginal de sustitución La endiente de una curva de indiferencia tiene la interretación de la tasa a la que el consumidor está disuesto a intercambiar un bien or otro Lo llamamos Relación Marginal de Sustitución (RMS) Nos dice la cantidad de Y que está disuesto a erder or una unidad adicional de X Relación marginal de sustitución Para obtener la RMS artimos de la ecuación de una CI de utilidad u 0 : u(, ) = u 0 Diferenciando, u d + u d = 0 d d u= u 0 u = u RMS, ejemlo Si u(x,y) = XY, la RMS es Y/X Calculamos la RMS en tres cestas diferentes: RMS(5,0) = -4 RMS(0,0) = - RMS(0,5) = -/4 La tasa a la que está disuesto a cambiar X or Y deende de las cantidades que tiene de X e Y 3 Preferencias conveas Las referencias son conveas si el conjunto de contorno suerior es conveo. Esto imlica que se refieren las medias a los etremos Suongamos que u(, ) = u(, ). Cualquier unto en la línea que conecta (, ) (, ) es al menos tan bueno como los etremos 4

7 Preferencias conveas Preferencias conveas Maimización de la utilidad Condición de rimer orden Ma {,} u(,) s.a. Ma M u, Y d M 0 = u d, Y X X X + Y u = M X Y u d M 0 = u d, Y X = u d = u d u X = = Y u= u 0 X Y RMS Pendiente recta resuuestaria = endiente de la CI u 7 8

8 9 Condición de rimer orden Suongamos que X / Y = 3, ero tenemos una cesta en la que la RMS es 4 No es la cesta ótima. Por unidad más de X estamos disuestos a ceder 4 de Y Pero sólo tenemos que dar 3!! 30 Ilustración gráfica X M Y M 3 Condición de segundo orden Para más adelante: Concavidad resecto de X ) ( ) (, ) ( 0 u u u M u d d Y X Y X Y X + = 3 Notación Este es el gradiente, la dirección de máimo crecimiento de u La CPO imlica que el gradiente es erendicular a la recta resuuestaria = u u u u, ), (

9 Problemas Cuando la utilidad no es diferenciable. Por ejemlo, u(, ) = min{, } Cuando la condición de tangencia no es suficiente. Por ejemlo, con referencias que no son conveas (solución esquina) También uede ocurrir que el ótimo esté en una esquina 33 u Ejemlo Cobb-Douglas α α (, ) = X Y = d d u = u αm ( α ) M =, = 0 X Y u = u α =. ( α) La roorción de gasto en cada bien es constante (α - α, resectivamente) 34 Comlementos erfectos Si dos bienes son comlementos erfectos se consumen en roorciones fijas La utilidad es u(, ) = min{, β} El consumidor comrará de forma que = β. Si > β, la cantidad etra de no le añade utilidad Podemos definir un bien comuesto Comlementos erfectos Consiste en comrar la cantidad de Y la cantidad β de X El recio de este bien es β X + Y la utilidad es u = M/(β X + Y ) Los comlementos erfectos se ueden ver como un único bien 35 36

10 Punto de saciedad Si los dos únicos bienes son izza cerveza, es mu robable que eista un unto de saciedad Algo así como una combinación ótima, or encima de la cual a no queremos consumir más También es razonable cuando hablamos de cuestiones olíticas 37 Punto de saciedad 0.8 u=0 0.6 u=00 u= u=40 u=30 0. u=0 u= Efecto sustitución Suongamos que el recio de un bien sube. Comraremos menos de él? No necesariamente Pensemos en el ocio. Si sube el salario, el coste del ocio aumenta Si el individuo se siente más rico, uede elegir trabajar menos tener más ocio También uede ocurrir con bienes de subsistencia 39 Efecto sustitución La cantidad de Y uede aumentar cuando el recio de Y aumenta 40

11 Sustitución Efecto Sustitución Un aumento de un recio imlica una reducción del oder de comra (M tiene ahora menos oder adquisitivo) más un cambio en el recio relativo Los efectos sustitución renta searan estos dos efectos El ES aísla el efecto del cambio en el recio relativo, cambiando la renta de forma que el consumidor se mantenga en la misma curva de indiferencia 4 Elección inicial 4 Aumenta el recio de Y ES mantiene la utilidad constante Elección inicial Ahora no uede alcanzar la misma CI que en la elección inicial. Para ello necesitaría más renta Elección inicial Y Y Demanda comensada 43 44

12 Efecto sustitución (ejemlo) La función de utilidad es u(, ) = Precios X =, Y = 5. Renta M = 00 El consumidor elige la cesta (5, 0) en la que obtiene una utilidad de 50 El recio de Y sube a Y = 6. Ya no uede comrar la misma cesta (vemos que = 0 > 00 Cuánto debería aumentar la renta ara que alcanzase la utilidad 50? Efecto sustitución (ejemlo) La nueva renta la llamamos m Sabemos que elegirá = m /4, = m / Por tanto, obtendrá una utilidad igual a (m ) /48 Igualando a 50, obtenemos m = Por lo tanto, la renta debe aumentar en m -m = 9.54 Esta es la comensación Efecto sustitución El ES de un aumento en el recio de Y siemre disminue el consumo de Y aumenta el de X Todas las cestas del conjunto resuuestario en las que la cantidad de Y es maor que en la elección inicial le dan una utilidad menor Efecto renta Para niveles bajos de renta la maoría de los bienes son normales Cuando la renta es suficientemente alta, la maor arte de los bienes se convierten en inferiores La curva que reresenta el conjunto de las cestas ótimas ara diferentes niveles de renta es la curva de Engel 47 48

13 Efecto renta X inferior, Y normal Bienes normales Gasto en comida (USA) Año Gasto en comida (%) Ejemlo: Cobb-Douglas En el caso Cobb-Douglas, las cestas ótimas son = αm/ X, = (-α)m/ Y Por tanto, la curva de Engel es una recta con endiente (-α) X /α Y En general, se dice que un individuo tiene referencias homotéticas, si la curva de Engel es una línea recta 5 5

14 Efecto renta Hemos visto que el ES nos ermite descomoner el efecto de un cambio en un recio en un ES un ER En la figura siguiente vemos cuál es el ER Descomosición en ES ER Descomosición en ES ER Descomosición en ES ER Efecto sustitución Efecto sustitución Efecto renta 55 56

15 ET Descomosición en ES ER ES ER Efecto renta Efecto sustitución Soluciones esquina En ocasiones el ótimo uede estar en una de las esquinas del conjunto resuuestario Por ejemlo, si en el ótimo * = 0, se cumle que RMS < X / Y El consumidor querría reducir el consumo de, ero no uede (a es 0) Ejemlo: referencias cuasilineales Si la función de utilidad tiene la forma u(,) = v()+α, con v() cóncava, decimos que el individuo tiene referencias cuasilineales Las curvas de indiferencia son aralelas (no necesariamente rectas) entre sí Por ejemlo, estudiamos el caso en el que u(,) = ln()+ α 59 Preferencias cuasilineales Usamos la restricción resuuestaria ara eliminar Tenemos: m X ln( ) + α Y La condición de rimer orden es: * α X Y 0 ( = 0 si * > 0) 60

16 Preferencias cuasilineales El ótimo interior es: * = Y /α X ; * = (M/ Y )-(/α) Para que el ótimo sea interior se debe cumlir que M > Y /α Si, or el contrario, M < Y /α, el ótimo es: * = M/ X ; * = 0 Cuando M es equeña, sólo consume X. A artir de cierto valor ( Y /α), consume de ambos (ero su consumo de X es fijo) Oferta de trabajo Trabajar más horas ermite consumir más bienes, ero reduce el tiemo de ocio Llamamos al consumo, L es el tiemo de ocio, T-L el tiemo de trabajo M la renta no laboral La restricción es = M+w(T-L), donde es el recio del consumo w el salario O también +wl = M+wT 6 6 Restricción resuuestaria Restricción resuuestaria M/+wT/ M/+wT/ La endiente es w/ M/ M/ T L T L 63 64

17 Oferta de trabajo La utilidad del individuo es u(, L). Sustituendo odemos escribir: M + w( T L) Ma h( L) = u, L 0 L T La condición de rimer orden es: w 0 = h ( L*) = u + u Las derivadas arciales se evalúan en el ótimo Oferta de trabajo Estudiamos el efecto en L* de un aumento del salario Diferenciando la CPO, obtenemos: L * w = u u + w u w T L u El signo deende del numerador (den < 0) ( T L ) w u + u Oferta de trabajo En concreto, L*/ w > 0, si sólo si: u w T L ( T L) + u < u Simlificando esta eresión: (T L ) w u u + u > 0 Dado que: Y que: Oferta de trabajo Log ( u) = L w Podemos escribir la condición: u u + u Log( T L) = L T L 67 68

18 Oferta de trabajo Log( u Log T L > = ) ) ( L T L L O simlemente: Log ( u ) Log( T L) + > 0 L L En total, la condición queda: Log ( u ( T L)) L > 0 69 Oferta de trabajo En alabras, la condición dice que u (T-L) debe ser creciente con L La cantidad ótima de ocio aumenta ( or lo tanto la cantidad de trabajo se reduce) cuando sube el salario si la utilidad marginal del consumo, multilicada or las horas trabajadas, es creciente con L Si el consumo el ocio son sustitutos, esto no uede ocurrir 70 Oferta de trabajo Oferta de trabajo La razón es que, si son sustitutos, un aumento de L reduce la utilidad marginal del consumo Por tanto, si el consumo el ocio son sustitutos, un aumento del salario reducirá la cantidad de ocio aumentará la oferta de trabajo Y si son comlementarios? 7 Suongamos que u(, L) = Min{, L} En este caso vemos que: L* = (M+wT)/(+w) Por tanto, el ocio crece con el salario siemre que T > M (si M es equeño) En el caso Cobb-Douglas, u(, L) = α L - α Vemos que: L* = (-α)(t+m/w) 7

19 Oferta de trabajo Horas anuales trabajadas France German Sain Es una función decreciente del salario La cantidad ótima de trabajo es: T-L = Ma{0, αt-(- α)(m/w)} Es decir, sólo trabaja si la renta no laboral M es suficientemente equeña En concreto, si M > (α/(- α))(tw), refiere no trabajar en absoluto Diferencias comensatorias Las diferencias comensatorias se refieren a las diferencias salariales debidas a ciertas características de los emleos Los trabajos difieren en muchos asectos: duración de la jornada, riesgos físicos, el entorno del trabajo, etc. La teoría de las DC arte de la remisa de que no ha nada gratis ( no free lunch ) Diferencias comensatorias En un equilibrio de mercado, los trabajos más desagradables deben ofrecer una rima salarial en relación a otros trabajos Suongamos que la utilidad de un trabajador deende del salario w de cierta característica del emleo, or ejemlo la seguridad en su trabajo s Imaginemos que ha trabajos A B, con diferentes características 75 76

20 Diferencias comensatorias En el equilibrio, se debe cumlir: u(w A, s A ) = u(w B, s B ) Por qué? Qué ocurriría si no es así? Si s A > s B, entonces w A < w B Diferencias comensatorias Los salarios astronómicos que ganan algunos deortistas no se deben a DC Son agos que reflejan la rareza del talento Los mismo ocurre con los artistas. El recio de los cuadros de Picasso refleja la escasez de los mismos resecto a la demanda Precio de la vivienda Los recios de la vivienda reflejan las valoraciones de diferentes asectos Para mucha gente es mejor vivir en el centro, cerca de su trabajo, que en las afueras. Vemos un modelo El bien cua oferta está limitada en la ciudad no es la vivienda, sino el suelo Los costes de construcción son mu similares en diferentes ciudades Precio de la vivienda La diferencia está en el recio del suelo Es decir, la diferencia de recio entre el centro de Madrid las afueras se debe a la diferencia en los recios del suelo Imaginemos una ciudad lana en la que todos trabajan en (0,0), el centro Los costes de llegar al centro, en tiemo, son c(t), donde t = λr r es la distancia al centro (λ es 79 80

21 Precio de la vivienda Si una ersona aga or su vivienda un recio (r) a la distancia r, en total agará or la combinación de vivienda transorte: c(λr)+(r) Todos tratarán de buscar la alternativa menos costosa Si todos tienen idénticas referencias, los recios de las casas deenderán de r Precio de la vivienda Estarán determinados or la ecuación: c(λr)+(r) = constante Los individuos estarán indiferentes resecto a la distancia: un menor tiemo de llegar al centro se comensa eactamente con un maor recio Vemos cuál es la constante. La oblación total es N cada individuo ocua un área unitaria 8 8 Precio de la vivienda Precio de la vivienda El tamaño de la ciudad r ma debe cumlir N = π(r ma ) Por lo tanto: r ma = N π En los límites de la ciudad, el recio de la tierra viene dado or otro uso diferente de la construcción, or ejemlo or la agricultura Suongamos que ese recio es v or el tamaño de una vivienda 83 Por lo tanto, en el límite de la ciudad se debe cumlir que (r ma ) = v Con esto obtenemos todos los recios: c( λr ) + ( r ) = c( λr = c( λr ma ) + v = c λ De ahí obtenemos: ma ) + ( r ma N + v π N ( r ) = c λ + v c( λr ) π ) = 84

22 Precio de la vivienda Precio de la vivienda Los recios son maores cuanto más cerca del centro El recio más caro es (0). El más barato es (r ma ) También aumentan con N con v En equilibrio no ha chollos. Los recios reflejan las características del bien que interesan a los consumidores (la distancia al centro) Elección intertemoral El consumo tiene lugar en diferentes momentos de tiemo Llamamos al consumo en el eriodo al consumo en el eriodo Podemos ensar en años o en dos eriodos más largos, como vida laboral retiro El valor del consumo es: u(, ) = v( ) + δv( ) RMS intertemoral El arámetro δ es la tasa individual de descuento La RMS entre nos dice a qué tasa está disuesto el consumidor a cambiar consumo entre eriodos En articular: RMS v ( = δ v ( ) ) 87 88

23 RMS intertemoral La RMS nos dice a cuántas unidades de consumo futuro está disuesto a renunciar or una unidad más de consumo ho Por ejemlo, si = la RMS es -/δ Si δ = 0.5, quiere decir que está disuesto a renunciar a unidades de consumo mañana or una unidad más ho Normalmente, δ < Restricción intertemoral El consumidor esera ganar M en el rimer eriodo M en el segundo La restricción resuuestaria es: (+r)(m - ) = - M El término (M - ) reresenta lo que ahorra el rimer eriodo Aquí r es el tio de interés. También: (+r) + = (+r)m + M Restricción intertemoral Restricción intertemoral Esta restricción se llama restricción resuuestaria intertemoral Vemos que el recio del consumo en el eriodo en términos del consumo en el eriodo es (+r) La renta relevante es la renta ermanente, no la renta de cada eriodo La renta ermanente es (+r)m + M M +(+r)m (M,M ) M +M /(+r) 9 9

24 Restricción intertemoral Restricción intertemoral M +(+r)m La endiente de la RP es (+r) Ahorra (M,M ) (M,M ) Pide restado (desahorra) M +M /(+r) Elección intertemoral Elección intertemoral La CPO en el ótimo interior es: v ( ) = ( + r ) δv ( ) El arámetro δ mide lo que el consumidor valora el futuro El término /(+r) indica lo que el mercado valora el futuro Si δ < /(+r), valora el consumo en el eriodo más de lo que lo hace el mercado 95 Entonces, v ( ) < v ( ) or lo que > Decimos que el consumidor es más imaciente que el mercado Si δ(+r) =, consume lo mismo en los dos eriodos Si δ(+r) >, es que valora el consumo en el eriodo menos que el mercado, or lo que querrá consumir más en el eriodo 96

25 Elección intertemoral El que un individuo sea ahorrador o ida restado no deende sólo de sus referencias, también deende de sus ingresos Por ejemlo, si sus ingresos son mucho maores en el segundo eriodo es osible que su ahorro en el eriodo sea negativo 97 Otimización intertemoral Devolución del réstamo (M,M ) En el eriodo ide restado 98 Aumento del tio de interés Aumento del tio de interés Si el tio de interés aumenta, la recta ivota alrededor del unto (M, M ) La razón es que ese unto siemre es factible El efecto deenderá de si el individuo es un restamista o un restatario En la figura vemos un restatario que decide edir restado menos dinero (M,M ) 99 00

26 Aumento del tio de interés No está claro el efecto en el consumo del eriodo Por un lado tiene menos renta, ero or otro lado el recio relativo del consumo en el eriodo ha bajado Un aumento del tio de interés es ositivo ara los restamistas netos. Consumirá más en el eriodo. Y en el eriodo? Aumento del tio de interés La renta del restamista aumenta (M,M ) 0 0 Diferentes tios de interés La endiente es -(+r ) (M,M ) Aquí es -(+r ) Efecto de un aumento transitorio de la renta Ahora un aumento transitorio de la renta uede tener un efecto imortante en el consumo Esto elica or qué los individuos no ahorran mucho cuando reciben una cantidad ineserada de dinero, o or qué sufren una gran érdida untual en lugar de una érdida equeño durante un eriodo largo, cuando les surgen gastos ineserados 03 04

27 Proensión a consumir del 00% (M,M ) Decisión con incertidumbre 05 Estadística básica Sea una variable aleatoria que toma los valores,,.., n con robabilidades,,.., n Si las alternativas son ehaustivas mutuamente ecluentes: n = Definimos la media de (o el valor eserado) como: E() = n n Estadística básica La media nos da información sobre el valor central de la variable aleatoria La varianza de nos mide la disersión de la variable alrededor de la media: Var() = ( -E()) + + n ( n -E()) En la ráctica se usa más la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza 07 08

28 Decisión con incertidumbre Decisión con incertidumbre Ahora los individuos deben elegir entre diferentes alternativas con incertidumbre ( loterías ) Ejemlo de lotería: lanzamos una moneda al aire. Si sale cara ganas 00 euros. Si sale cruz no ganas nada Cada lotería es una distribución de robabilidad sobre cantidades de dinero 09 En ausencia de incertidumbre todos referimos más dinero Si reresenta cantidades de dinero, cualquiera de las funciones siguientes es equivalente en términos de cómo ordenan nuestras referencias: U() = a+b, con b > 0 U() = E() U() = 3 0 Decisión con incertidumbre No obstante, nosotros queremos algo más Queremos ordenar también las loterías Por ejemlo, considera las siguientes loterías: L: Con ½ ganas 00 euros, con ½ ganas 0 L: Con ½ ganas 70 euros, con ½ ganas 30 Von Neumann Morgestern rousieron una forma de ordenar estas loterías Decisión con incertidumbre En concreto, rueban que bajo ciertas condiciones eiste una forma de asignar números a cada osible resultado de forma que odemos comarar las loterías, comarando la utilidad eserada Esto es, a artir de U(00) = U 00, U(70) = U 70, U(30) = U 30, U(0) = U 0, la utilidad de L es ½U 00 + ½U 0 la utilidad de L es ½U 70 + ½ U 30

29 Decisión con incertidumbre Es decir, bajo ciertas condiciones, eiste una función de utilidad sobre las cantidades de dinero que odemos usar tanto ara comarar cantidades de dinero (esta arte es trivial) como loterías sobre cantidades de dinero (esto a no lo es) Este rocedimiento es mu útil 3 Decisión con incertidumbre En general, suongamos que los osibles resultados son,,.., n sus robabilidades resectivas son,,.., n La utilidad (eserada) es: { ( ) } E U = U( ) + U( = n i = U( ) i i ) U( n n ) = 4 Decisión con incertidumbre Volviendo a las loterías L L, cuál refieres? Tu referencia dice algo sobre tu función de utilidad eserada Obviamente, U () > 0, no? Suongamos además que es lineal, es decir, U() = a+b, con b > 0 Entonces U(0) = a, U(30) = a+30b, U(70) = a+70b U(00) = a+00b 5 Decisión con incertidumbre Entonces resulta que: ½U(30)+½U(70) = ½U(0)+½U(00) Si la utilidad es lineal, las loterías con igual valor eserado son indiferentes entre sí Si, como es habitual, L es mejor que L, la función de utilidad eserada debe ser cóncava Esto se llama aversión al riesgo 6

30 Aversión al riesgo Hablamos de aversión al riesgo si: U ( + ) U ( ) + U ( ) U( + ) U( )+ U( ) Aversión al riesgo U Por ejemlo, refieres 50 euros a otra alternativa en la que ganas 00 si una moneda sale cara 0 si sale cruz Aversión al riesgo imlica que la función U es cóncava (segunda derivada < 0) EC Aversión al riesgo En general, suonemos que a las ersonas no les gusta el riesgo Otra forma de ver la aversión al riesgo es la siguiente Si un individuo es averso al riesgo, entonces, ara todo : U() EU(+ ), donde E( ) = 0 Por ejemlo, 00 euros frente a una lotería que aga 05 o 95 (ambos con ½) Definiciones El equivalente cierto (EC) es la cantidad de dinero que el individuo valora igual que la alternativa incierta: E{U()} = U(EC) La rima de riesgo (PM) es el valor eserado de la alternativa menos el EC La rima del riesgo es el coste monetario del riesgo. Es lo que agaría el individuo or evitar el riesgo 9 0

31 Definiciones Por ejemlo, cuál es ara ti el EC de una lotería que te da 00 euros con ½ 0 euros con ½? Suongamos que es 30 euros. Sería 50 euros si no te reocua el riesgo Si tu EC es 30 euros, la rima del riesgo es = 0 euros Transformaciones ermisibles Una función de utilidad eserada no es invariante frente a una transformación arbitraria Si tu función de UE es U() = α entonces tú eres neutral frente al riesgo sólo te reocua el valor eserado Si mi función de UE es V() = {U()} /, mi función es cóncava Transformaciones ermisibles Yo tengo aversión al riesgo Pero entonces tú o no evaluamos las loterías de la misma forma Las funciones de UE sólo son invariantes frente a transformaciones lineales Si tu función es U() la mía es V() = a+bu() con b > 0, entonces ambos ordenamos las loterías igual Transformaciones ermisibles Esto nos ermite re-escalar la función de forma que asignamos al eor resultado utilidad 0 al mejor utilidad Si el eor resultado es -,000 euros el mejor resultado es +5,000 euros tenemos U(-000) = u 0, U(5000) = u, odemos re-escalar a V() = a+bu(), con b = /(u -u 0 ) a = u 0 /(u -u 0 ) 3 4

32 Tu función de utilidad eserada Suongamos que el eor resultado osible es -00 el mejor es +,000 Queremos asignar números a todos los valores entre -00,000 Emezamos or asignar U(-00) = 0 U(000) = Para cualquier valor intermedio, contesta a la regunta siguiente: Tu función de utilidad eserada Si tuvieras la oción de elegir entre 50 euros seguros una lotería que da +,000 euros con robabilidad o -00 euros con robabilidad (-), ara que valor de estarías indiferente entre ambas ociones? 5 6 Tu función de utilidad eserada Le llamamos 50. Es maor que.38? Obviamente, 0 < 50 < Podemos asignar a la cantidad 50 ese valor, es decir, U(50) = 50. Por qué? Por la definición de 50, tenemos: 50 U(,000)+(- 50 )U(0) = U(50) Como U(-00) = 0, U(000) =, tenemos que U(50) = 50 Precio de una acción Tienes 0 euros en el bolsillo también una acción de una emresa Mañana esa acción uede valer 6 euros u 80 euros (ambas con ½) Cuál es el recio mínimo al que estarías disuesto a vender la acción? La utilidad eserada si no vendes es: ½U(36)+½U(80) 7 8

33 Precio de una acción La utilidad eserada si vendes al recio es U(0+) Querrás vender siemre que: U(0+) ½U(36)+½U(80) El recio mínimo * cumle: U(0+*) = ½U(36)+½U(80) Si U() = ½, * = 44 euros Sólo vende si 44 Seguros Probamos que un averso al riesgo, si uede comrar un seguro actuarialmente justo, elegirá asegurarse comletamente Suongamos que tienes 30,000 euros ero con una robabilidad uedes erder 0,000 euros Sin seguro, tu utilidad eserada es: (- )U(30,000)+U(0,000) Sabemos que U > 0 U < Seguros Una óliza de seguros te da euro de cobertura si agas una rima π Es decir, si agas π euros de rima, en caso de accidente la comañía te aga euro nada en otro caso El valor eserado de la óliza ara la comañía es (-)π + (π-) Cuando esto es cero, se dice que el seguro es actuarialmente justo Seguros Esto imlica que π = Si comras C euros de cobertura tu UE es: Φ(C) = (-)U(30,000-πC)+ +U(0,000-πC+C) La CPO (comrobar la CSO) es: Φ (C) = -π(-)u (30,000-πC)+ +(- π)u (0,000+(- π)c) = 0 3 3

34 Seguros Comrobamos que nunca uede ocurrir C* = 0 La CPO quedaría (dado que π = ): Φ (0) = -π(- π)u (30,000)+ +(- π)πu (0,000) = 0 Es decir (- π)π[u (0,000)-U (30,000)] = 0 Esto es imosible a que U es cóncava Seguros Dado que π = : -(-)U (30,000-C)+ +(- )U (0,000+(- )C) = 0 O también: U (30,000-C) = U (0,000+(- )C) Como U < 0: 30,000-C = 0,000+(- )C Seguros Pero entonces C = 0,000 Variantes: Si tienes que agar una tasa de F euros, ero aún π =, uedes robar que si se asegura, se asegura or comleto. No obstante, uede que no se asegure (si F es suficientemente grande) Si π >, el individuo no se asegura comletamente 35 Defraudar Un contribuente tiene una renta. El tio marginal del imuesto es t (0 < t < ) Debe elegir la renta que declara, con lo que aga t Ser honrado significa = No ser honrado significa 0 < Llamamos z = - a la renta que oculta La AT revisa la declaración con robabilidad (indeendiente de ) 36

35 Defraudar Si le revisan ha defraudado le illan Debe agar lo que ocultó mas una multa θz Con robabilidad su renta es: -t-θz-tz = (-t)-θz Con - su renta es: -t = (-t)+tz Maimiza la utilidad eserada Defraudar Su objetivo es elegir z [0, ] ara: Ma U(z) = (-)U((-t)+tz)+ +U((-t)-θz) La rimera derivada es: U (z) = t(-)u ((-t)+tz)-θu ((-t)-θz) Evaluando en z = 0: U (0) = [t(-)-θ]u ((-t)) Defraudar Vemos que ara que U (0) > 0 debe ocurrir que: t > θ Esta condición garantiza que z* > 0. Es decir, que decide defraudar También obtenemos z*/ < 0 que z*/ θ < 0. El signo de z*/ t es ambiguo Búsqueda ( search ) En el mundo real encontramos una gran variación de recios de los roductos Pero entonces, esto significa que los consumidores odrían ganar si buscan el mejor recio La teoría de búsqueda arte de la idea de que el recio es, desde el unto de vista del consumidor, una variable aleatoria 39 40

36 Búsqueda ( search ) Suongamos que la función de densidad del recio es f() El coste de obtener información de un recio (visitar una tienda) es c El individuo usa un recio de reserva. Comrará si * Coste eserado (fórmula recursiva): J( *) = c + * 0 f( ) d + * J( *) f ( ) d 4 Búsqueda Obtener información de un recio cuesta c uede resultar en un recio menor que * El segundo término es el valor medio del recio, dado que es menor que * El tercer término es el valor de continuación, en términos eserados 4 Coste eserado de comrar CPO: * f ( ) d + c 0 J( *) = F( *) * f ( *) f ( ) d + c f ( *) 0 J ( *) = * F( *) F( *) * ( *) f( ) d c f + f ( *) = * F( *) 0 = F( *) F( *) ( * J( *) ) Solución La solución es J(*)=* Consiste en fijar un recio de reserva igual al coste total eserado de comrar el bien La regla es comrar siemre que encontremos un recio or debajo de dicho recio de reserva No tiene sentido eserar or un recio menor de lo que eseramos agar en romedio 43 44

37 Ejemlo Si el recio sigue una distribución uniforme en el intervalo [a,b], obtenemos: c( b a) J( *) = ( * + a) + * a Alicando la CPO, obtenemos: * = a + c( b a) A medida que c 0, * a Ejemlo Cuando el coste es mu bajo sólo comramos si el recio está cerca del mínimo Sea a = 00, b = 500 c = 0 Calculamos * = euros Si el coste sube a c = 40 euros, entonces * = 355 euros Ejemlo Además, * < b siemre que c < (b-a) Según esto, si lo más que odemos ahorrar buscando otro recio es menos que el doble del coste, no merece la ena buscar más recios Lo ótimo es comrar a Cuanto menor es la disersión, menor es el recio de reserva Equilibrio general Los individuos oseen unas dotaciones iniciales de los bienes Van al mercado donde observan recios, intercambian bienes a esos recios ara maimizar su utilidad Un equilibrio es un vector de recios (uno ara cada bien) una asignación tal que todos los mercados se vacían 47 48

38 Equilibrio general Los mercados se vacían cuando en cada uno de ellos la oferta es igual a la demanda Cuestiones: Es algo bueno el equilibrio? Eiste? Es único? Puede ocurrir? Cómo se determina? Economías de Edgeworth Dos individuos ( ) dos bienes (X e Y) Cesta del : (, ) Cesta del : (, ) Dotaciones iniciales: (, ) (, ) Una asignación {(, ), (, )} es factible si se cumle: + + = + + = Economías de Edgeworth Además vamos a suoner que no se deserdician los bienes. Es decir: + = + = + = + = Entonces las asignaciones se ueden reresentar en una caja, llamada caja de Edgeworth Caja de Edgeworth Las dotaciones iniciales determinan el tamaño de la caja: 5 5

39 Preferencias Eficiencia de Pareto u u Curva de contrato Ejemlo Los dos individuos tienen referencias Cobb-Douglas la cantidad total de cada bien es. Por tanto, = Las funciones de utilidad son u = α -α, u = (-) β (-) -β Las asignaciones PE cumlen: 55 u u α = = ( α) u u β( ) = ( β)( ) 56

40 Ejemlo Podemos resolver ara : ( α ) β = = ( β ) α + ( β α ) + Sólo deende del arámetro ( β ) α ( ( α ) β ( β) α ( α) β ) Curva de contrato, caso CD Dotaciones iniciales Asignaciones eficientes e individualmente racionales Las dotaciones iniciales reresentan las combinaciones de bienes que los individuos oseen inicialmente Es un unto en la caja Las curvas de indiferencia que asan or las dotaciones iniciales reresentan un nivel mínimo de utilidad que los individuos se ueden garantizar (no comerciando) 59 60

41 Eistencia de equilibrio Equilibrio general n bienes, I individuos, referencias conveas Primer teorema del bienestar: el equilibrio cometitivo es Pareto eficiente Segundo teorema del bienestar: toda asignación eficiente es un equilibrio cometitivo ara unas dotaciones iniciales aroiadas Eiste un equilibrio cometitivo 6 6