132 Fundamentos de Matemáticas. Unidad III. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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1 13 Fundamentos de Matemáticas Unidad III Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

2 133 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.1 Introducción, conceptos e ideas básicas Capítulo 1 EDO de primer orden Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas aplicaciones de la ingeniería como modelos matemáticos de diversos sistemas físicos y de otros tipos, y muchas de las leyes y relaciones se modelan matemáticamente como ecuaciones diferenciales. Siempre que intervenga la razón de cambio de una función, como la velocidad, la aceleración, la desintegración, etc., se llegará a una ecuación diferencial. Definición 39.- Una ecuación diferencial ordinaria EDO es aquella que contiene una o varias derivadas de una función desconocida de una variable, y se quiere determinar a partir de la ecuación Suele denominarse por y = y a esa función buscada y por la variable sobre la que se deriva. Así, por ejemplo, se usan indistintamente las notaciones y e dy d : y = cos d y d + 4y = dy d y y + e y = + y El término ordinarias las distinque de las ecuaciones diferenciales parciales en las que la solución depende de dos o más variables. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta. Definición 40.- Una ecuación diferencial ordinaria de orden n genérica suele representarse mediante la epresión F ; y, dy d,..., dn y d n = F ; y, y,..., y n = 0 y se dice que una función y = f, definida en un intervalo I R y con derivada n-ésima en el intervalo, es una solución eplícita de la ecuación diferencial si la verifica en cada punto de I. Es decir, si F ; f, f,..., f n = 0 para cada I. Se dice que g, y = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial si define implícitamente a una función f que es una solución eplícita de la ecuación diferencial. Ejemplo La ecuación diferencial + y y = 0 tiene a + y 5 = 0 como solución implícita en el intervalo 5, 5, que define implícitamente la solución eplícita y = f = 5. En efecto, si y = y, derivando respecto a la ecuación implícita +y 5 = 0 se tiene +y y = 0 derivación en implícitas de donde se obtiene la ecuación de partida + y y = 0. Igualmente, para f = 5 es f = 5, y se cumple que es una solución eplícita + f f = = = 0 Algunas ecuaciones resolubles Disponemos de algunas ecuaciones diferenciales que podemos resolver y ya hemos resuelto, por ejemplo y = cos. Es evidente que la podemos resolver, pues y = cos = y = cosd = sen + C No solo hemos encontrado una solución sino que hemos encontrado todas las soluciones posibles. Para cada valor concreto de la contante C tendremos una solución particular de la ecuación diferencial, y a la epresión paramétrica que las define se le denomina solución general. Si lo que buscamos es una solución concreta, que por ejemplo en = 0 valga 5 y0 = 5, la solución pedida será la que cumpla ambas condiciones: en este caso, y = sen + 5. Como la solución general depende de un único parámetro, un única condición añadida determina su valor; incluir más condiciones a cumplir que parámetros a fijar supone que o bien hay condiciones superfluas o no hay solución.

3 134 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. Métodos de resolución Definición 41.- Este tipo de ecuaciones diferenciales con condiciones adicionales que se refieren todas al mismo punto, se denominan problemas de valores iniciales o problemas de Cauchy y se epresan en la forma y y = f, y = f; y, y ; y y 0 = y 0 = y 0 ; 0 y 0 = y 1 Cuando las condiciones se refieren a más de un punto se dicen Problemas de contorno y que no trataremos. Nota: En general, una ecuación diferencial de orden n tiene soluciones dependientes de n parámetros. y = cos = y = sen + C 1 = y = sen +C 1 d = cos + C 1 + C Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Antes de seguir buscando nuevos métodos de resolución, fijemos notaciones, condiciones y recursos que nos aseguren soluciones y resultados. Para ello comencemos por las más sencillas?, las de primer orden: Definición 4.- Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden escribirse mediante las epresiones: F ; y, y = 0 y = f, y M, yd + N, ydy = 0 que suelen denominarse la forma general o implícita, la forma normal y la forma diferencial, todas ellas válidas y puede usarse una u otra según interese en cada caso ver nota siguiente Nota: La manipulación de los términos de la ecuación diferencial para cambiar de una forma a otra que pueda facilitarnos la resolución, no cambia el grueso de las soluciones, aunque sí puede eliminar alguna solución concreta o añadirla Ejemplo Las eprersiones, y y 1 = 0, y = y 1 y d 1 dy = 0 y 1 son formas distintas de la misma ecuación diferencial, pero la función y = 0 no puede ser una solución en la forma diferencial y sí lo es de las otras formas ver el o ejemplo de la subsección 1..1 de Ecuaciones diferenciales separables Teorema de eistencia y unicidad 43.- Sea la ecuación diferencial y = f, y. Si f es una función continua en un abierto y coneo D de R f y si es también continua en D y 0, y 0 D, entonces eiste una única función y = ϕ definida en un entorno de 0 que es solución del problema de Cauchy y = f, y y 0 = y 0 Muy burdamente, coneo significa un conjunto en un sólo trozo. Es evidente que si no se cumplen las hipótesis, ni eistencia ni unicidad está garantizada aunque puedan ocurrir como en el siguiente ejemplo: Ejemplo Para la ecuación diferencial y = y 1, se tiene que f, y = y 1 es continua en y 0 y f lo es en y > 0. Luego en 0, 0 no se cumplen las hipótesis del teorema, sin embargo tanto y 1 = 0 como y y = 4 16 son soluciones del problema de Cauchy = y 1 y0 = 0 Ambas verifican la condición en el punto y como y 1 1 = 0 e y 1 = 0 se tiene que 0 = y 1 = y 1 1 = 0. Idénticamente, y 1 = 4 e y = 3 3 4, luego 4 = 4 1. Métodos de resolución también cumple la ecuación. La resolución de estas ecuaciones diferenciales se basa en la búsqueda de primitivas en un sentido amplio, de funciones de una variable y de funciones de dos variables. Los dos primeros métodos que veremos marcan estas dos pautas de resolución y todos los demás han de reducirse a alguno de ellos

4 135 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. Métodos de resolución 1..1 Ecuaciones diferenciales separables Definición 44.- Si la ecuación diferencial y = f, y puede escribirse en la forma gy y = f o mejor gy dy = f d se denomina ecuación diferencial separable o de variables separables Y como parece indicar la segunda opción, se resuelven mediante integraciones independientes en cada una de las variables e y : Una solución y debe cumplir la ecuación gy y = f, luego ambos términos serán funciones de, por lo que integrando en ambos lados de la igualdad y un sencillo cambio de variable } y = t gy y d = f d y gt dt = f d d = dt } y = y que en el fondo es y gy dy = f d d = dy Luego, si denotamos por las mayúsculas a sendas primitivas, se tiene que Gy = F + C. Por lo que la función Gy F = C es la solución general implícita de la ecuación diferencial Ejemplo La ecuación diferencial + y dy d = 0 es separable pues y y = ó y dy = d = y dy = d = y = + C = + y = C = K que es la solución general, con K 0. Ejemplo La ecuación diferencial y = y 1 1 es separable, pues puede escribirse como y 1 dy d = y 1 dy = d = y 1 1 = + C = y 1 = 4 + C = y = 4 + K y la solución general de es y = 4 + K para todo K R. Ahora bien, para obtener hemos dividido 1 por y 1 y, puesto que buscamos una solución de la forma y = y, la función constantemente 0 no puede ser solución de, pero sí resulta ser una solución de 1. Es decir, todas las soluciones de la ecuación inicial 1 son y = 0 e y = 4 + K, para cada K R. Las soluciones, como esta y = 0, que no aparecen incluidas en la epresión con parámetros de la solución suelen denominarse soluciones singulares. 1.. Ecuaciones diferenciales eactas La eistencia de una solución implícita, que es una función real de dos variables y cuya derivación debe reconstruir la ecuación diferencial, nos indica el método para la resolución: buscar esa primitiva cuya derivada es la ecuación. Una función ϕ, y = C que define implícitamente una función y, es también una solución implícita de la ecuación diferencial. Derivando respecto a, se tiene ϕ + ϕ = 0 ϕ dy d + ϕ = 0, con epresiones más comunes: f, y y + f 1, y = 0 f 1, y d + f, y dy = 0

5 136 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. Métodos de resolución Definición 45.- Una ecuación de primer orden dada en la forma diferencial por M, y d + N, y dy = 0 se dice que es eacta en un abierto y coneo D si eiste ϕ tal que ϕ ϕ, y = M, y, y = N, y para cada, y D. Entonces, ϕ, y = C es la solución general de la ecuación diferencial. Teorema 46.- Si se cumple que tal que ϕ, y = M, y y ϕ M N, y =, y, y = N, y en cada punto de D. en cada punto de un abierto y conveo D, eiste ϕ Calculo de ϕ: Si sabemos que ϕ eiste, podemos hacerlo sencillamente obligando a que cumpla lo que tiene que cumplir. Para ilustrar el método, consideremos el siguiente ejemplo de ecuación diferencial eacta: y +y cos d + y+3y +sen dy = 0 ya que y +y cos = y+cos = y+3y +sen ϕ debe verificar que ϕ, y = M, y = y +y cos, luego considerando y como constante, ϕ debe ser una primitiva de M, es decir, ϕ, y = M, y d = y + y cos d = y + y sen + Ky siendo Ky la constante de integración, que será constante respecto a pero que podría contener alguna constante y recordad, en este punto consideramos y como constante ϕ también debe verificar que ϕ, y = N, y = y+3y +sen, luego debe verificarse que y+3y +sen = ϕ, y = y + y sen + Ky = y + sen + K y De donde, K y = 3y y por consiguiente Ky = K ydy = 3y dy = y 3 + C con C la constante de integración. Luego hemos construido ϕ, y = y + y sen + Ky = y + y sen + y 3 + C y se tiene entonces que y + y sen + y 3 + C = 0 es la solución general implícita de la ecuación diferencial Observaciones Unas consideraciones interesantes sobre este cálculo y el método 1.- En el segundo paso, K y es una función de y, luego constante o con la variable y, pero en ningún caso debe tener la variable. Si esto sucede, o bien hemos errado en los cálculos o bien la ecuación diferencial no es eacta.- Antes de intertar calcular la función ϕ, debe comprobarse que la ecuación diferencial es eacta 3.- La construcción de ϕ puede hacerse también intercambiando las variables e y en los dos pasos, es decir, comenzando por considerar ϕ una primitiva de N respecto a y. De hecho, conviene comenzar por la que tenga el cálculo de la primitiva más sencillo. 4.- Es evidente del planteamiento de este método, que se están usando las variables e y como independientes, y también es independiente el cálculo de la función primitiva. El resultado es independiente de si buscamos una solución y = y o una = y; nosotros decidiremos de que tipo buscamos y nos aseguraremos entonces de que todas esas soluciones se encuentren. Nota: La ecuaciones separables también son ecuaciones eactas, pues si gy y = f, entonces en la forma diferencial f d gy dy = 0 se cumple obviamente la condición anterior.

6 137 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. Métodos de resolución 1..3 Factores integrales Desgraciadamente, las ecuaciones diferenciales no son habitualmente eactas, pero en ocasiones lo son si se multiplican por una función adecuada. Definición 47.- Se dice que la función µ, y no nula en un abierto, es un factor integrante de la ecuación M, y d + N, y dy = 0 si la ecuación diferencial µ, y M, y d + N, y dy = 0 µ, ym, y d + µ, yn, y dy = 0 es eacta. Observar que si µ, y es no nula, las soluciones de la nueva ecuación solo pueden ser soluciones de la ecuación inicial. En caso de no ser así, deben comprobarse aquellas soluciones que provengan de µ, y = 0. Buscar factores integrantes cualesquiera no es tarea fácil, pero no es ecesivamente complejo si el factor depende de una sola variable: Factores integrales de la forma µ o µy Veamos las condiciones para admitir un factor integrante dependiente únicamente de la variable. La función µ es un factor integrante si cumple que M, y µ de donde µm, y = µn, y M, y µ M,y N, y N,y N, y µ = ep M,y = N, y µ = N, yµ = µ µ N,y N,y = f = d. + µ N, y M,y N,y N, y d = µ µ d = ln µ Analogamente, para un factor integrante de la forma µy debe ser µ y µy = M N M = fy. Ejemplo La ecuación seny d + y cosy dy = 0 admite un factor integrante µ. En efecto, M N = cosy y y cosy = 3y cosy y se eliminan todas las y si dividimos por N, de donde M ln µ = N N = cosy y y cosy y cosy = 3y cosy y cosy = 3 = µ µ 3 d = ln 3 = µ = 3. Luego es eacta la ecuación: 3 seny d + 4 y cosy dy = 0 Resolviendo, ϕ, y = M, yd = M N = cosy y 4 3 y cosy = 0 3 seny d = 4 seny + Ky y como 4 y cosy = N, y = ϕ = 4 cosy y + K y = K y = 0 = Ky = C de donde, 4 seny = C o 4 seny = C es la solución general. Comprobar que también admite un factor integral de la forma µy y resolverla.

7 138 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1. Métodos de resolución Factores integrales más generales En este mismo sentido de la búsqueda de factores fáciles, nos podemos encontrar algunos como los del tipo µ, y = a y b, que no requieren una comprobación muy difícil. Más genéricos resultan los factores de la forma µz, con z = f, y, de manera que el problema puede tratarse casi como de una sola variable z. Pero sólo tiene sentido plantearse esto cuando sabemos que tipo de factor debemos buscar; sin indicios es como buscar una aguja en un pajar y con menor probabilidad de éito. Por ejemplo, la ecuación diferencial y 4y d + 4y dy = 0 tiene un factor integrante que es función de z = + y. Por la regla de la cadena se tiene µ z, luego µz y 4y µz = 4y µz = µ z z = µ z y 4y µ z + 1 8yµz = 4y µ z + 4y µz y 4y 8y 4 µ z = 4y 1 8y µz y µz y + 4y 8yµ z = 1y 3µz µ z µz = 1y 3 y + 4yy + = 1y 3 y + 1 4y = 3 y + = 3 z 1..4 Ecuaciones lineales = µ z z = Un caso de factor integrante son las ecuaciones lineales, que admiten siempre un factor µ. Pero que son reconocibles por: Definición 48.- Se dice que una ecuación diferencial de orden uno es lineal, si puede escribirse en la forma y su factor integral es, dy + P y = Q d µ = ep P d = e P d. En efecto, si P y Q d + dy = 0 se llega al resultado lnµ = se tiene M N N = P 0 1 = P = µ µ de donde P d = µ = e P d. Entonces, como µp = µ, se tiene µy + P y = µ y + µ P y = µ Q µ y + µ y = µ Q µ y = µ Q µy = µq d = y = 1 µ µq d Luego no sólo estas ecuaciones lineales ofrecen una solución alcanzable con un método sencillo, sino que además la solución viene directamente dada de forma eplícita algo no ecesivamente habitual como hemos visto. Las ecuaciones diferenciales lineales aparecen con mucha frecuencia en las aplicaciones prácticas y, al igual que aquí, su generalización a órdenes superiores ofrece uno de los pocos tipos de ecuaciones resolubles por métodos generales siempre y cuando podamos encontrar las primitivas, claro!. Ejemplo La ecuación y + + y = e es lineal, si la escribimos en la forma y + + y = e. Además, 1 + d = + ln = + ln y su factor integrante es µ = e +ln = e. De donde e y + e + y = e e y = e e y = y = e + C e y = e + Ke e d = e + C

8 139 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.3 Aplicaciones 1..5 Ecuaciones un poco especiales Ecuaciones de Bernoulli Es una especie de generalización de la lineal, por lo que puede remitirse a una de ellas, pero también admite un factor integrante que genariza el de la lineal Definición 49.- Se dice que una ecuación diferencial de orden uno es de Bernoulli, si puede escribirse en la forma dy d + P y = Qyα α R y que se convierte en lineal con el cambio ν = y 1 α. Además, directamente admite el factor integral µ, y = 1 P d y α ep 1 αp d = e1 α y α Ejercicio Comprobar que la ecuación diferencial y = y + y3 es de Bernoulli, y obtener su solución y + y = C mediante el cambio a una lineal y también directamente con el factor de integración Ecuaciones reducibles a separables Proposición 50.- Si una ecuación diferencial y = f, y puede epresarse en la forma y y = f, y = g el cambio y = ν la convierte en una ecuación de variables separables en y ν Nota: Una caracterización sencilla para este tipo es comprobar si se cumple que N1, y M1, y = N,y M,y, pues entonces obtenemos g y directamente. En particular, se obtiene rápidamente este resultado si M y N son polinomios cuyos monomios son todos del mismo grado ver ejemplo siguiente. Ejemplo La ecuación 3y d + y dy = 0 es reducible a separables, pues N, y M, y = y 3y = y = y 3y 1 3 y Entonces haciendo el cambio y = ν, con dy = ν d + dν, se tiene 3y d + y dy = 0 3ν d + νν d + dν = 0 1 3ν d + ν d + 3 ν dν = 0 1 ν d + 3 ν dν = 0 3 ν dν = 1 ν d = ν ν 1 dν = d = 1 ν 3 1 ν dν = d Luego ln 1 ν = ln + C C R = ln 1 ν = ln K K > 0 = y = C C R = 3 y = 3 C con C R. Las soluciones ν = ±1 dividimos por 1 ν, es decir y = ± han sido eliminadas, sin embargo están incluidas en la solución general con C = 0. Ejercicio Comprobar que, en el ejemplo, las soluciones y = e y = lo son de la ecuación diferencial inicial y no contradicen el Teorema de eistencia y unicidad para un problema de valores iniciales en 1, 1, ni en 1, 1 y tampoco en 0, Aplicaciones Como ya hemos comentado que muchas de las leyes y relaciones científicas obtienen su epresión mediante este tipo de ecuaciones y, en particular, casi todas las epresiones de los sucesos con variaciones de magnitudes relacionadas variación de la velocidad en funcion del tiempo, crecimiento de cultivos según la temperatura,...

9 140 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.3 Aplicaciones Trayectorias ortogonales Un fácil ejemplo del uso de las ecuaciones diferenciales lo encontramos en la búsqueda de trayectorias ortogonales curvas que intersecan a otras con ángulos rectos, cuya dualidad aparece con frecuencia: meridianos y paralelos terráqueos, curvas de fuerza y líneas equipotenciales de los campos eléctricos,... Dada una familia uniparamétrica de curvas F, y, c = 0 para cada valor de c la ecuación representa una curva en R, puede representarse mediante una ecuación diferencial de la forma y = f, y derivando implícitamente F, y, c = 0 y eliminando el parámetro entre ambas ecuaciones Definición 51.- Si una familia de curvas viene representada por y = f, y, entonces las trayectorias ortogonales de la familia deben cumplir la ecuación diferencial y = 1 f, y Nota: : Baste recordar que en una curva y = g, la pendiente en un punto 0 viene dada por m = g 0 y la recta ortogonal tiene que tener de pendiente 1 m Trayectorias de ángulo β Estas trayectorias se puede generalizar a cualquier ángulo, aunque no sea un ángulo recto. Si buscamos las trayectorias que formen un ángulo β con la familia y = f, y, como esto significa que y = f, y = tg α, para que las curvas buscadas formen con ellas un ángulo β deben cumplir la condición y = tgα + β. Luego, al ser α = arctgf, y, se tiene que es la ecuación a resolver. y = tgα + β = 1.3. Modelado de problemas tg α + tg β f, y + tg β = 1 tg α tg β 1 f, y tg β Hay muchos problemas que pueden modelarse como ecuaciones diferencuiales: velocidad de caida de un paracaidista, desintegración radiactiva, variaciones de temperatura,... o por ejemplo variaciones de las mezclas, que es el ejemplo que vamos a usar. Quizá sea la manera más sencilla de verlo. Ejemplo Un tanque contiene 00 l de agua en los que hay disueltos 40 kg de sal. Al tanque, le entran 10 l/min cada uno de los cuales contiene kg de sal disuelta y, la mezcla homogénea sale a razón de 5 l/min. Encontrar la cantidad de sal yt que hay en el tanque en cualquier tiempo t. La variación de sal en la unidad de tiempo, y = dy dt, es por supuesto la cantidad entrante menos la saliente: entran 10 l/min a Kg/l que suponen 10 l kg Kg min l = 0 min y salen 5 l/min de una salmuera formada por los yt kilos de sal que hay en este momento disueltos en los t 5t litros actuales en cada unidad de tiempo añadimos 10 litros y quitamos 5, por lo que aumentamos a razón de 5 litros por unidad de tiempo. Luego tenemos el problema de valores iniciales y t = 0 yt t puesto que incialmente t = 0 eistían 40 kilos de sal en el agua Ejercicios y0 = Usar el teorema de eistencia y unicidad para probar que el problema de valor inicial y1 = 0, tiene una solución única definida en algún intervalo de 1. dy d = y con 1.03 Encontrar la curva solución de la ecuación yy = + 1y + 1 que pasa por el punto 1,0

10 141 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.3 Aplicaciones 1.04 Probar que y = e e t dt es una solución de la ecuación y = y Para que valores de la constante m sera y = e m solución de la ecuación y + y 5y + y = Comprobar que las siguientes ecuaciones son eactas y resolverlas: a 3 y + e y d e y ydy = 0 b y d dy + 3 y = 0 c y d+ dy 1 y + d = 0 d e y cosec y cosec d + ye y cosec y cotg y cotg dy = Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: dy a d = y 1 e +y b y = y+3 y 3 +4y c e yy = e y + e y d dy d y = + y dy d = 1 y +y e y + yd dy = 0 f g y = y + y h y = y +y dy d = y +4 y+ 6 i + 3y 1d 4 + 1dy = 0 j k y 3y y = 0 l + y d + ydy = 0 m sen y y = y sen y + n yd + y 1dy = 0 o + y y d + y + y dy = Resolver la ecuación diferencial de orden dos y + y = Resolver la ecuación 0 ytdt = y 1.10 Resolver la ecuación 4 + y 4 d y 3 dy = 0 buscando un factor integrante adecuado. Detectar que la ecuación es también de dos de los tipos conocidos reducible a separable y Bernoulli y resolverla para cada uno de ellos. Hay diferencias en el cálculo de las soluciones? Hay alguna diferencia en las soluciones? 1.11 Se sabe que la ecuación P, yd + + y dy = 0 admite como factor integrante a µ =, que = 3y y que P 0, 1 = 0. P a Hallar P, y b Hallar la solución de la ecuación que pasa por el punto 1, La ecuación y 3 + yd + y + dy = 0 admite un factor integrante µz donde z = y. Calcular dicho factor integrante y resolverla Resolver la ecuación y = y +y buscando un factor integrante que dependa de la variable z = + y Resolver 3y + 10yd + 5y + 1 dy = 0 sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ, y = a y b Encontrar la solución general de la ecuación y + yd + y 3 dy = Resolver las siguientes ecuaciones: a y + + y = e b y + y = 1 1+e c y + y cos = sen d y y d + dy = 0 e y + y = 4 y 3 f y + y + y3 = 0 g 1 + 4y y = h y = y y Demostrar que el cambio de variable z = gy convierte a la ecuación g yy + gyp = f en una ecuación lineal en z. Utilizar esto para resolver la ecuación e y yy + = 1

11 14 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.3 Aplicaciones 1.18 Hallar una solución de la forma ϕ = a + b de la ecuación diferencial: y + y + y + 1 = 0 Determinar el resto de las soluciones de la ecuación diferencial anterior, utilizando el cambio de variable dependiente: y = ϕ + 1 ν que transforma la ecuación de partida en una ecuación lineal Sean P, y y Q, y dos funciones de clase 1 en R, verificando P = Q y P = Q. a Probar que P, yd + Q, ydy = 0 admite a µ, y = 1 P +Q como factor integrante. b Usar el apartado anterior para resolver la ecuación 1 + e cos yd + e sen y dy = Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: y = ce Hallar la familia ortogonal de curvas a la familia de curvas dadas por la ecuación y = lntg + c, con c una constante arbitraria. 1. Encontrar la curva de la familia de trayectorias ortogonales a y 3 + c = 3 que pasa por el punto 3, Una familia de curvas es autoortogonal si su familia de curvas ortogonales coincide con la propia familia. Demostrar que la familia de curvas y = c + c lo es. 1.4 Demostrar que las trayectorias ortogonales de la familia de curvas + y = k, satisfacen la ecuación y d + y 1 dy = 0. Encontrar las trayectorias ortogonales resolviendo la ecuación anterior, sabiendo que admite un factor de integración de la forma m y n. 1.5 Obtener las curvas que cumplen que la recta tangente a su gráfica en cualquier punto, T, y, es perpendicular al segmento que une el punto 0, 0 con ese punto, y. 1.6 Un estudiante se pone a trabajar sobre una materia de la que inicialmente no sabe nada. A medida que profundiza en ella se siente motivado por lo que ya sabe y porque cada vez le queda menos por aprender. Supondremos que entonces su ritmo de aprendizaje es inversamente proporcional a la materia que le queda por estudiar. Si en una semana ha conseguido aprender el 50% de la materia, cuánto tiempo tardará en dominarla toda? 1.7 Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El área bajo el arco de la curva entre 0, 0 y, y es un tercio del área del rectángulo que tiene a esos puntos como vértices opuestos. Hallar la ecuación de las curvas que cumplen dicha condición. Hallar la familia de curvas ortogonales a dichas curvas. 1.8 Un gran deposito contiene 1000 litros de salmuera en la que estan disueltos 00 Kgs. de sal. A partir del instante t = 0 se introduce agua pura a razon de 3 l/min y la mezcla que se supone que se mantiene homogénea sale del deposito a razon de l/min. Cuánto tiempo se necesitará para reducir la cantidad de sal a la mitad? 1.9 Un vino tinto se saca de la bodega, que es un lugar frío a 10 grados centigrados, y se deja reposar en un cuarto con temperatura de 3 grados. Calcular la fórmula que proporciona la temperatura en función del tiempo, si transcurren 10 minutos para alcanzar la temperatura de 13 grados. Se supone que se verifica la ley de Newton: la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre él y el medio que le rodea Un estudiante ha llegado al eamen de una asignatura sin haber dado ni golpe, asi que debe partir de cero para intentar dominar los 150 folios de que consta. Limitaciones de tiempo y de capacidad hacen que estudie a razon de 15 folios por día pero debido al estrés y otras causas se le va olvidando un 10% de lo que va aprendiendo. Probar que necesitará mas de 10 días para dominar 3 de la asignatura. La dominará completamente alguna vez? 1.31 Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenía originalmente un radio de 1/4 de pulgada, tiene un radio de 1/8 de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapora a un índice proporcional a su superficie, encontrar el radio en función del tiempo. Después de cuántos meses desaparecerá por completo?

12 143 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.3 Aplicaciones 1.3 La velocidad de disolución de un sólido es proporcional a la cantidad de sólido sin disolver y a la diferencia entre las concentraciones de saturación de la sustancia y a la que tiene en un instante t cualquiera. En un deposito que contiene 60 Kgs. de disolvente se introducen 10 Kgs. de soluto y al cabo de 1 minutos se observa que la concentración es de 1 parte de soluto por 30 de disolvente. Determinar la cantidad de soluto que eiste en la solución en un instante cualquiera t, si la concentración de saturación es de 1 parte de soluto en 3 de disolvente. Tomaremos como concentración la cantidad de kilogramos de soluto dividida por los kilogramos de disolvente Demostrar que las curvas planas y = y de clase 1 que verifican que la distancia del origen a la tangente en cualquier punto de la curva sea igual a la abscisa de dicho punto satisfacen la ecuación diferencial y d ydy = 0. Hallar dichas curvas. Nota: Se recuerda que la distancia de un punto P = 0, y 0 a una recta r de ecuación A + By + C = 0, viene dada por: dp, r = A0+By0+C a y que el problema es equivalente a trabajar con la distancia al +b cuadrado Se sabe que cierta población de bacterias se reproduce a una velocidad proporcional a la diferencia entre una cantidad limite P 0 = 4 millones y el cuadrado de la cantidad de las mismas en cada instante en millones. a Plantear la ecuación diferencial del numero de bacterias en cada instante. b Se sabe que inicialmente habia medio millón de bacterias y que al cabo de una hora se había duplicado su número. Obtener la epresión del número de bacterias en millones en función del tiempo Un tanque contiene 800 litros de salmuera en la que se han disuelto 8 kgs. de sal. A partir del instante t=0 comienza a entrar salmuera, con una concentración de 50 grs. de sal por litro, a razón de 4 litros por minuto. La mezcla se mantiene homogénea y abandona el tanque a razón de 8 litros por minuto. a Hallar la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora. b Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando solo quedan 00 litros de salmuera.

13 144 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Capítulo 13 Ecuaciones diferenciales lineales Definición 5.- Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación de la forma a n dn y d n + a n 1 dn 1 y d n a d y d + a 1 dy d + a 0y = F donde a n no es idénticamente nulo. Supondremos que a 0, a 1, a n y F son funciones de, continuas en un cierto intervalo I de R, con a n 0 para todo I. Si el segundo miembro F, el término independiente o no homogéneo, lo hacemos idénticamente nulo en I, la ecuación diferencial resultante a n dn y d n + + a 1 dy d + a 0y = 0 se denomina ecuación lineal homogénea asociada a la ecuación anterior. Nota: Generalmente se usa en la forma normal; basta dividir por a n para tener y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = F Proposición 53.- Si y 1 e y son dos soluciones de la ecuación lineal y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = F L entonces h = y 1 y es solución de la ecuación lineal homogénea y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = 0 Demostración: En efecto, por la linealidad de la derivación, y k 1 yk = y 1 y k, luego se tiene que H y 1 y n + + a 1 y 1 y + a 0 y 1 y = = y n 1 + +a 1y 1+a 0 y 1 y n + +a 1y +a 0 y =F F = 0 Teorema de eistencia y unicidad 54.- Si las funciones a 0, a 1,..., a n 1 y F son continuas en un intervalo I R, para cada 0 y cualesquiera constantes arbitrarias c 0, c 1,..., c n 1, el problema de Cauchy y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = F tiene solución única en el intervalo. y 0 = c 0 ; y 0 = c 1 ; ; y n 1 0 = c n 1 Corolario 55.- La única solución y de la ecuación lineal homogénea de orden n H tal que y 0 = y 0 = = y n 1 0 = 0 en algún punto de I, es la función idénticamente nula en I. Corolario 56.- Si y 1 e y son dos soluciones en I de una ecuación lineal de orden n L, tales que y 1 0 = y 0 ; y 1 0 = y 0 ; y n = y n 1 0 en algún punto 0 I, entonces y 1 = y en I

14 145 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13.1 Espacio de soluciones de la ecuación lineal de orden n 13.1 Espacio de soluciones de la ecuación lineal de orden n La proposición 53 anterior nos insinúa claramente la importancia de las soluciones de la ecuación homogénea en la solución de la no homogénea. Conozcamoslas un poco más. Proposición 57.- Si f 1 y f son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea H, entonces cualquier combinación lineal c 1 f 1 + c f es también solución de H. Basta sustituir en la ecuación H para comprobarlo. Pero como consecuencia de ello hemos dotado al espacio de soluciones de esta ecuación de una estructura: Corolario 58.- El conjunto de soluciones de la ecuación lineal homogénea H, es un espacio vectorial Entonces todas las soluciones de H se generarán como combinaciones lineales de una base y, recordando la proposición 53, es evidente el siguiente resultado para las soluciones de L : Teorema 59.- Sean las funciones a 0, a 1,..., a n 1 y F continuas en un intervalo I R, y sea y p una solución particular de L, y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = F entonces, la solución general de la ecuación lineal es Y g = y p + Y H donde Y H es la solución general de la ecuación lineal homogénea H. Encaminemos nuestros esfuerzos en conseguir esa base con una definición imprescindible: Definición 60.- Las funciones f 1, f,..., f k son linealmente dependientes en I si eisten constantes c 1,...,c k no todas nulas, tal que c 1 f 1 + c f + + c k f k = 0 en cada de I. Se dicen linealmente independientes, si no son linealmente dependientes. Nota: Las funciones son o no linealmente independientes en un intervalo. Así, f 1 = sen y f = sen son dependientes en R, pues f 1 +1 f = 0 en R; mientras que g 1 = y g = son linealmente independientes en R, pero dependientes en 0, + y dependientes en, 0. Cuando le añadimos la condición de derivabilidad hasta el orden n evidente si queremos que sea solución de una ecuación diferencial de orden n, situaciones como la anterior no se dan y tenemos un buen criterio: Definición 61.- Sean f 1, f,..., f n de clase n 1 en un intervalo I. Se denomina wronskiano de f 1, f,..., f n a la función definida en I por el determinante f 1 f f n f 1 f f n W [f 1, f,..., f n ] = f n 1 1 f n 1 fn n 1 Proposición 6.- Sean y 1, y,..., y n soluciones de la ecuación diferencial homogénea H, en un entorno I. Entonces, o bien a W [y 1, y,..., y n ] = 0, para todo I, o bien b W [y 1, y,..., y n ] 0, para todo I En efecto, las soluciones o son linealmente dependientes en I o son linealmente independientes. Si son dependientes, c 1 y 1 + c y + + c n y n = 0 en I con algún c i 0. Derivando hasta el orden n 1, se tiene que para cada I el sistema c 1y 1 + c y + + c ny n = 0 c 1y 1 + c y + + c ny n = 0... c 1y n c y n c ny n 1 n = 0 y 1 y y n y 1 y y n y n 1 1 y n 1 yn n 1 tiene solución no trivial, luego para cada I, se cumple que W [y 1, y,..., y n ] = 0. c 1 c.. c n =

15 146 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13. Métodos generales de resolución parcial Si son independientes, y se diera que W [y 1, y,..., y n ] 0 = 0 en algún 0 de I, el sistema y 1 0 y 0 y n 0 c 1 0 y 1 0 y 0 y n 0 c = 0. y n y n 1 0 yn n 1 0 c n 0 tendría alguna solución no trivial: c 1, c,..., c n y la función Y = c 1y 1 + c y + + c ny n es solución de H y cumple las condiciones iniciales Y 0 = Y 0 = = Y n 1 0 = 0. En consecuencia Y tiene que ser la solución nula, por lo que las funciones y i serían linealmente dependientes absurdo. Luego debe ser W [y 1, y,..., y n ] 0 0 para todo de I. Teorema 63.- La ecuación diferencial lineal homogénea de orden n H, verifica que: a Tiene n soluciones linealmente independientes y 1, y,..., y n b La dimensión del espacio de soluciones es n c La solución general es Y H = c 1 y 1 + c y + + c n y n En un punto cualquiera 0 I, los n problemas de valores iniciales siguientes tienen solución única y 0 = 1 y 0 = 0 y 0 = 0 y n 1 0 = 0 = y 1 y 0 = 0 y 0 = 1 y 0 = 0 y n 1 0 = 0 = y y 0 = 0 y 0 = 0 y 0 = 1 y n 1 0 = 0 = y 3 y 0 = 0 y 0 = 0 y 0 = 0 y n 1 0 = 1 = y n y, por construcción esas n soluciones tienen su wronskiano en 0 no nulo la matriz identidad, luego son n soluciones independientes. Además, toda solución f de H es una combinación lineal de esas n, puesto que la solución f 0 y 1 + f 0 y + f 0 y f n 1 0 y n es también f ya que coinciden en las n 1 derivadas en 0. En consecuencia, forman una base del espacio de soluciones y la solución general ha de ser Y H = c 1 y 1 + c y + + c n y n 13. Métodos generales de resolución parcial Bajo este título encuentran acomodo dos métodos de resolución, que no suponen una resolución completa, si no que complementan otras maneras de resolver. La mejor manera de entenderlo, es seguramente entrar en ellos Método de reducción de orden La idea del método es ir reduciendo el orden de la ecuación lineal, hasta resolverlo completamente; la práctica es mucho más limitada, pero aún así es útil en diversas circunstancias. El método 64.- Dada una ecuación lineal L de orden n, de la que conocemos una solución particular y 0 = f de la ecuación lineal homogénea H. Entonces, haciendo en L el cambio de variable y = vy 0, se transforma en una ecuación lineal en v de orden n 1 es decir, lineal de orden n en v, pero solo aparecen v, v,... v n y no aparece v. Luego haciendo w = v es lineal de orden n 1 en w. Nota: Este método es usado, sobre todo en orden, pues encontrando una solución particular del homogéneo, se resuelve completamente la ecuación. Ejemplo Para la ecuación lineal y + 1y + + 1y = + 1e, > 0 Podemos comprobar que y 0 = e es solución de la ecuación homogénea, con y 0 = y 0 = e, e + 1e + + 1e = e = 0e = 0 Haciendo y = e v en la ecuación, con y = e v + e v = e v + v e y = e v + v + v se tiene que e v + v + v + 1e v + v + + 1e v = + 1e

16 147 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13. Métodos generales de resolución parcial agrupando las términos en v, v y v, se tiene e v e v + e + 1e + + 1e v = + 1e e v e v = + 1e v 1 v = + 1 w 1 w = Lineal en w de primer orden y solución w = +1e +C = v, de donde v = e + C +K y en consecuencia, la solución general de la ecuación será y = e v = e + c 1 e + c e e e 13.. Método de variación de los parámetros En el segundo método se trata de buscar la solución particular de la ecuación L que hay que sumar a la solución general de la H para obtener la solución general. Aunque el método es válido en cualquier orden, vamos a ilustrarlo en orden 3, esperando que así se vean todos los matices. El método Sea y + a y + a 1 y + a 0 y = F L y supongamos que Y 0 = c 1 y 1 + c y + c 3 y 3 es la solución general de la ecuación homogénea asociada. Entonces, convertimos en variables los parámetros de Y 0 y obligamos a que sean una solución particular de L imponiendo algunas condiciones: derivando y p = v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 y p = v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 y p = v 1 y 1 + v 1y 1 + v y + v y + v 3 y 3 + v 3y 3 = v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 + v 1y 1 + v y + v 3y 3 e imponemos la primera condición 1 v 1y 1 + v y + v 3y 3 = 0. La derivada segunda será y p = v 1 y 1 + v 1y 1 + v y + v y + v 3 y 3 + v 3y 3 = v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 + v 1y 1 + v y + v 3y 3 e imponemos la segunda condición v 1y 1 + v y + v 3y 3 = 0. Y la derivada tercera y p = v 1 y 1 + v 1y 1 + v y + v y + v 3 y 3 + v 3y 3 = v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 + v 1y 1 + v y + v 3y 3 e imponemos la tercera y última condición 3 v 1y 1 + v y + v 3y 3 = F. Con esas tres condiciones, y p es solución de L, pues y p + a y p + a 1 y p + a 0 y p = v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 + F + a v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 +a 1 v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 + a 0 v 1 y 1 + v y + v 3 y 3 agrupando los términos de cada v i, y sacandolo factor común, se tiene = v 1 y 1 + a v 1 y 1 + a 1 v 1 y 1 + a 0 v 1 y 1 + v y + a v y + a 1 v y + a 0 v y +v 3 y 3 + a v 3 y 3 + a 1 v 3 y 3 + a 0 v 3 y 3 + F = y 1 + a y 1 + a 1 y 1 + a 0 y 1 v 1 + y + a y + a 1 y + a 0 y v +y 3 + a y 3 + a 1 y 3 + a 0 y 3 v 3 + F = 0v 1 + 0v + 0v 3 + F = F Luego es solución y es la que cumple las condiciones 1, y 3 v 1y 1 + v y + v 3y 3 = 0 y 1 y y 3 v 1y 1 + v y + v 3y 3 = 0 = y v 1y 1 + v y + v 3y 3 1 y y 3 = F y 1 y y 3 v 1 v = v F

17 148 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13.3 Ecuaciones lineales de coeficientes constantes cuya matriz tiene por determinante el wronskiano de y 1, y e y 3. Luego, usando Cramer, 0 y y 3 y 1 0 y 3 y 1 y 0 0 y y 3 y v 1 F y y y 3 y = v y 1 F y 3 1 y 0 = v 3 y 1 y F = W [y 1, y, y 3 ] W [y 1, y, y 3 ] W [y 1, y, y 3 ] Basta ahora obtener v 1, v y v 3 como primitivas de estas y sustituir en y p. Nota: Las condiciones se imponen de manera que por una parte se obtenga la ecuación lineal con las soluciones homogéneas que la anularán, y por la otra un sistema de ecuaciones con el wronskiano de las soluciones independientes luego de rango máimo que garantizará la eistencia y cálculo de la solución única. Ejemplo La ecuación y +1 y + +1 y = e tiene a y 0 = c 1 e + c e por solución general de la homogénea. Entonces y p = v 1 e + v e es una solución particular, si cumple las condiciones v 1e + v e = 0 v 1e + v + e = e y se tiene 0 e v 1 e + e = e e e + e = e e e = v = e e e 0 e e e + e = e e e = 1 de donde v 1 = 3 3 y v =, por lo que y p = 3 3 e + e 3 = 3 3 e es la solución buscada Ecuaciones lineales de coeficientes constantes La ecuaciones lineales para las que si hay solución genérica son aquellas cuyos coeficientes son contantes. Permiten usar un método para obtener todas las soluciones de la ecuación homogénea, con lo que ya sólo queda obtener la solución particular Soluciones de la ecuación lineal homogénea La idea se basa en usar polinomios de derivaciones. Ejemplifiquemos: supongamos que la ecuación lineal homogénea de orden tres siguiente la escribimos en base a las derivaciones efectuadas sobre y, es decir y + y y y = 0 D 3 + D D [y] = 0 hemos descrito la ecuación derivamos 3 veces la y más veces la derivada segunda... mediante ese polinomio de derivaciones, que suele denominarse polinomio carácterístico de la ecuación lineal. Si la ecuación es de coeficientes contantes, el orden en que se hagan las derivaciones no cambia el resultado, por lo que hacer D 3 + D D [y] es lo mismo que hacer D + [D 1[y]] En consecuencia, D + D 1D + 1[y] produce la misma ecuación que antes, y si queremos que D + D 1D + 1[y] = 0 lo será si D + 1[y] = 0 o si D 1[y] = 0 o si D + [y] = 0, resolviendo estas 3 ecuaciones de orden uno tenemos las soluciones del homogéneo. Entonces Si a es un raíz del polinomio, D a[y] = 0 y = ay = y = e a Si es raíz múltiple, D a m [y] = 0 = y 1 = e a, y = e a,..., y m = m 1 e a son las m soluciones. Si a = 0, son los polinomios y 1 = 1, y =,...,y m = m 1 Si tiene raices complejas D + b [y] = 0 y = b y = y 1 = senb e y = cosb son las dos soluciones. Y más general, para D a +b [y] = 0 D a y = b y = y 1 = e a senb e y = e a cosb son las dos soluciones. Si las raíces complejas son múltiples, como D a +b 3 [y] = 0 = y 1 = e a senb, y = e a cosb, y 3 = e a senb, y 4 = e a cosb, y 5 = e a senb e y 6 = e a cosb, son las seis soluciones.

18 149 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias13.3 Ecuaciones lineales de coeficientes constantes Pueden usarse los métodos anteriores para comprobar que se obtienen esas soluciones indicadas aquí, y el wronskiano para comprobar que además son, como decimos, soluciones linealmente independientes. Ejemplo En la ecuación de arriba, D 3 + D D = D 1D + 1D +, luego y 1 = e, y = e e y 3 = e son las tres soluciones que se obtienen de la raíces. e e e Son linealmente independientes, pues e 1e e = 1 1 = 6, y son tantos e 1 e e = como la dimensión del espacio, por lo que forman una base. Luego la solución general es Y 0 = c 1 e + c e + c 3 e Soluciones particulares de la ecuación no homogénea Cuando el término independiente de la ecuación lineal es una función del tipo de las soluciones de las ecuaciones homogéneas polinomios, senos, cosenos y eponenciales, hay un método sencillo para obtener la solución particular, conocido generalmente como Método de los coeficientes indeterminados. Este método se basa en que se conoce cómo va a ser la solución salvo los coeficientes concretos y sólo falta encontrar los coeficientes que la forman de ahí el nombre. Pero a mi me gusta más otra versión de este método en la que nosotros construimos la solución indeterminada que necesitamos y en la que luego hemos de fijar los parámetros. Además, usa la misma técnica que para la obtención de la soluciones de la homogénea y suele denominarse con un nombre sugerente: polinomio aniquilador o polinomio anulador Método del polinomio aniquilador El polinomio característico asociado a la ecuación lineal homogénea aplicado sobre y, la anula, la hace cero. Cojamos la ecuación del ejemplo anterior con un término independiente como y + y y y = e + y sabemos que los factores del polinomio anulan y, cuando y es una de las soluciones D 1[e ] = 0 o D +[e ] = 0. Entonces lo que hacemos con este método es seguir aplicando factores para eliminar anular el término independiente, de manera que ahora alguna de las soluciones de la ecuación resultante será la solución particular buscada. Como D 3 [ ] = 0 y D 1 [e ] = 0, tenemos que D 1D+1D+[y] = e + D 1D+1D+D 3 [y] = D 3 [e + ] = D 3 [e ] D 1D+1D+D 3 D 1 [y] = D 3 D 1 [e ] = 0 y será una de las soluciones de esta nueva ecuación homogénea: D 1 3 D + 1D + D 3 [y] = 0 y p = c 1 e + c e + c 3 e + c 4 e + c 5 e + c 6 + c 7 + c 8 como las soluciones de la homogénea inicial no son solución de la no homogénea, las eliminamos y p = c e + c 3 e + c 6 + c 7 + c 8 y buscamos los valores de los coeficientes c, c 3, c 6, c 7 y c 8 que la hacen solución particular, obligando a que cumpla la ecuación, con y p = c 1 + e + c 3 + e + c 7 + c 8 y p = c + e + c e + c 8 = c 3 + e + c e de donde y p e + = y p + y p y p y p = c 3 + e + c e + c + e + c e + c 8 c 1 + e + c 3 + e + c 7 + c 8 c e + c 3 e + c 6 + c 7 + c 8 = 6c + 10c 3 + 6c + 1c 3 e + 4c 8 c 7 c 6 c 8 + c 7 c 8

19 150 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13.4 Ejercicios 0 = 4c 0 = 6c + 10c 8 c 7 c 6 obtenemos los sistemas 3 y 0 = c 1 = 6c + 1c 8 + c 7 los separamos en dos porque aparecen las incognitas separadas y de solución c = 5 6, c 3 = 1, c 6 = 5, c 7 = 1 y c 8 = 1. Luego es 3 = c 8 y p = 5 6 e + 1 e 5 + la solución particular buscada. Proposición 65.- Si y 1 es solución de la ecuación lineal e y es solución de entonces, y 1 + y es solución de y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = F 1 y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = F y n + a n 1 y n a 1 y + a 0 y = F 1 + F Cuando el término independiente genera un polinomio aniquilador de grado muy alto, puede resultar más manejable trocear el problema usando este resultado Método de los coeficientes indeterminados Esta versión del método suele ser la más habitual en los libros, al menos en los más clásicos, pero como ya he comentado, es en el fondo el mismo que el anterior, se llega a la misma función o una similar de coeficientes indeterminados que hay que determinar, sólo que en lugar de construirla, como hemos hecho nosotros, se elige de una lista de posibilidades según sea el término independiente. De hecho, los razonamientos y pruebas que se hacen para llegar a esa lista, están basados en la misma filosofía que el polinomio anulador Método de variación de los parámetros Incuímos este apartado aquí para recordar que este método eiste y funciona con carácter general en las lineales, luego en particular también para ecuaciones con coeficientes constantes. De hecho, cuando el término independiente no está formado por soluciones de ecuaciones homogéneas, no puede aplicarse el polinomio aniquilador y debe aplicarse otro método. Como por ejemplo este de variación de los párametros, que no tiene esas limitaciones. No obstante, es farragoso de usar e involucra integración añadida por lo que no suele merecer la pena usarlo cuando puede usarse el otro. Ejemplo Resolver la ecuaciób diferencial lineal y + y = 1 cos 1 Como cos no es una solución posible de homogénea, debemos usar variación de los parámetros: el polinomio característico de la homogénea es D + 1 = D 0 + 1, luego Y 0 = c 1 cos + c sen es la solución general del homogéneo e y p = v 1 cos + v sen la solución particular buscada. Como W [cos, sen ] = cos sen v sen cos = 1, con 1 cos + v sen = 0 v 1 sen + v cos = 1, se tiene 0 sen 1 v 1 cos = cos W [cos, sen ] = sen cos 0 cos = v 1 1 = ln cos v sen cos = W [cos, sen ] de donde y p = cos ln cos + sen Ejercicios cos = cos cos = v = Comprobar que y = e es solución de la ecuación y + 1y + + 1y = 0 y hallar la solución general método de reducción de grado Comprobar que f = 1 es solución de la ecuación y + 4y + y = 0 y hallar la solución general de la ecuación: y + 4y + y = Dada la ecuación diferencial lineal: y y + + y = 0

20 151 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13.4 Ejercicios a Buscar un a para que y = e a sea solución de la ecuación. b Resolver la ecuación Comprobar que el wronskiano, W, asociado a la ecuación diferencial y + py + qy = 0 satisface la ecuación diferencial w + pw = De la EDO lineal y + a 1 y + a 0 y = 1 1+, se sabe que u 1 = y u = son dos soluciones de la ecuación homogenea asociada. Hallar las funciones a 1 y a 0, y calcular la solución general de la ecuación direrencial dada Sabiendo que y = senln es una solución de la ecuación y y + y = 0 encontrar la solución general Dada la ecuación diferencial lineal homogenea: y + fy fy = 0, se pide: a Demostrar que y = es solución de dicha ecuación, para cualquier función f b Hallar la función f sabiendo que la ecuación tiene otra solución u tal que el wronskiano de y = y u es e y u1 = e Probar que si y 1 = e a es solución de y ay + a y = 0, cualquier otra solución es de la forma y = c + de a. Además, y 1 e y son linealmente independientes en R si y solo si d Usar la proposición 6 para comprobar que las funciones de los conjuntos siguientes son linealmente independientes en R } } a e, e, e b, e, sen } c e a cosb, e a senb, e a cosb, e a senb Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogeneas: a y y = 3y b y + y = y c y + y + y = 0 d y iv 5y = 36y e y v = y f y iv + 8y = 16y g y vi + y iv + y = 0 h y vi y v + 3y iv + 3y y + y = 4y Dados los conjuntos de funciones siguientes: i iii v } e 3, e 3, e 3 3 } e 3, e, e cos } 3, e cos, e sen ii iv vi } 7, e, 0 } e, e, cos, sen } cos, e sen a Cuál es el orden mínimo de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes que tenga entre otras soluciones particulares los conjuntos anteriores? b Construir dichas ecuaciones diferenciales de orden mínimo c Resolver las ecuaciones diferenciales resultantes Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método que se crea mas conveniente para el cálculo de la solución particular: a y + y = 3 b y + y = 1 cos c y + 4y + 4y = e ln d y y = sen e y + 4y = tg f y vi y = cos3 + e e g y 6y + 9y = e3 h y + 3y + y = 1 e +1 i y iv y = cos e Resolver, segun los valores de a R, la ecuación diferencial y y + aa 1y = a Obtener la solución general de la ecuación y + y = t + 1

21 15 Fundamentos de Matemáticas : Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13.4 Ejercicios b Resolver el problema de valores iniciales y + y = t + 1, y0 = ; y 0 = 1; y 0 = Sabiendo que y 0 = e +e es la solución del problema de valores iniciales 1 siguiente, encontrar la solución del problema ; siendo a, b, λ 0 y λ 1 R: 1 y + ay + by = 0 y0 = λ 0 ; y 0 = λ 1 y + ay + by = sen y0 = λ 0 ; y 0 = λ 1