Problemas con Valor Inicial P.V.I. Verónica Briceño V. Octubre 2013

Transcripción

1 Problemas con Valor Inicial Octubre 2013

2 Pregunta: Suponga que la función aceleración de un móvil es una función continua a(t), es posible determinar la posición, exacta, de este objeto en cualquier instante t?

3 Recordar: Si y = f (t) es una función, entonces su derivada, es decir dy dt, se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x.

4 Recordar: Si y = f (t) es una función, entonces su derivada, es decir dy dt, se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x. En todo proceso, fenómeno, o hecho de la naturaleza, observamos como las variables definidas y sus razones de cambio se relacionan entre sí por medio de principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso.

5 Recordar: Si y = f (t) es una función, entonces su derivada, es decir dy dt, se puede interpretar como la razón de cambio de y con respecto a x. En todo proceso, fenómeno, o hecho de la naturaleza, observamos como las variables definidas y sus razones de cambio se relacionan entre sí por medio de principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. En este capitulo estudiaremos la expresión analítica de esta relación que da como resultado las llamadas ecuaciones diferenciales.

6 Ecuaciones Diferenciales Definición

7 Ecuaciones Diferenciales Definición

8 Ecuaciones Diferenciales Definición Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida.

9 Ecuaciones Diferenciales Definición Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida. Ejemplos: Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuáles son ecuaciones diferenciales e identifca las variables dependiente e independiente. dy dx = 2x + 1

10 Ecuaciones Diferenciales Definición Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida. Ejemplos: Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuáles son ecuaciones diferenciales e identifca las variables dependiente e independiente. dy dx = 2x + 1 x 2 + y 2 = 4

11 Ecuaciones Diferenciales Definición Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida. Ejemplos: Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuáles son ecuaciones diferenciales e identifca las variables dependiente e independiente. dy dx = 2x + 1 x 2 + y 2 = 4 dy dx = 3

12 Ecuaciones Diferenciales Definición Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida. Ejemplos: Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuáles son ecuaciones diferenciales e identifca las variables dependiente e independiente. dy dx = 2x + 1 x 2 + y 2 = 4 dy dx = 3 ( dy dx )2 + cos(xy) = 0

13 Ecuaciones Diferenciales Definición Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida. Ejemplos: Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuáles son ecuaciones diferenciales e identifca las variables dependiente e independiente. dy dx = 2x + 1 x 2 + y 2 = 4 dy dx = 3 ( dy dx )2 + cos(xy) = 0 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

14 Ecuaciones Diferenciales Definición Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas de una función desconocida. Ejemplos: Dadas las siguientes ecuaciones, indica cuáles son ecuaciones diferenciales e identifca las variables dependiente e independiente. dy dx = 2x + 1 x 2 + y 2 = 4 dy dx = 3 ( dy dx )2 + cos(xy) = 0 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 f (t, y) = t n f (y)

15 Problemas de Valor Inicial (P.V.I) Definición

16 Problemas de Valor Inicial (P.V.I) Definición

17 Problemas de Valor Inicial (P.V.I) Definición Un Problema del Valor Inicial corresponde a un par, formado por una ecuación diferencial y una condición. Como usualmente la variable independiente es el tiempo, y esta condición se da para el tiempo inicial, recibe el nombre de condición inicial. La solución del la llamaremos solución particular, puesto que es una sóla función libre de la constante C.

18 Problemas de Valor Inicial (P.V.I) Definición Un Problema del Valor Inicial corresponde a un par, formado por una ecuación diferencial y una condición. Como usualmente la variable independiente es el tiempo, y esta condición se da para el tiempo inicial, recibe el nombre de condición inicial. La solución del la llamaremos solución particular, puesto que es una sóla función libre de la constante C.

19 Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo:

20 Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy dx = f (x)g(y)

21 Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy dx = f (x)g(y) llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA:

22 Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy dx = f (x)g(y) llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 Escribir la ecuación como: dy g(y) = f (x)dx

23 Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy dx = f (x)g(y) llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 Escribir la ecuación como: 2 Encontrar las antiderivadas. dy g(y) = f (x)dx

24 Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy dx = f (x)g(y) llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 Escribir la ecuación como: 2 Encontrar las antiderivadas. dy g(y) = f (x)dx

25 Ecuaciones Diferenciales En estos problemas aparecen ecuaciones del tipo: dy dx = f (x)g(y) llamadas ecuaciones en variables separadas. ESTRATEGIA: 1 Escribir la ecuación como: 2 Encontrar las antiderivadas. dy g(y) = f (x)dx El valor inicial de una ecuación nos permitirá evaluar la constante C.

26 Ejemplos Resolver: 1 dy dx = 2x + 1

27 Ejemplos Resolver: 1 dy dx = 2x dy dx = ey x y(0) = 1

28 Ejemplos Resolver: 1 dy dx = 2x dy dx = ey x y(0) = 1 3 y = xy

29 Ejemplos Resolver: 1 dy dx = 2x dy dx = ey x y(0) = 1 3 y = xy 4 xy + y = 100x

30 Ejemplos Resolver: 1 dy dx = 2x dy dx = ey x y(0) = 1 3 y = xy 4 xy + y = 100x 5 dy dx = xy y(0) = 1 2

31 dy dx = 3 La solución de esta ecuación diferencial, es: Gráficamente... y = 3x + C

32 Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1 x = e t 2t t 2 1

33 Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1 x = e t 2t t (x 2 + 9)y + xy = 0

34 Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1 x = e t 2t t (x 2 + 9)y + xy = 0 3 dy dx = 2xe y

35 Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1 x = e t 2t t (x 2 + 9)y + xy = 0 3 dy dx = 2xe y 4 x = 1+t t 2 x 2

36 Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 1 x = e t 2t t (x 2 + 9)y + xy = 0 3 dy dx = 2xe y 4 x = 1+t t 2 x 2 5 x = e t+x

37 A continuación... Resolveremos las ecuaciones diferenciales mas simples, asociadas a estos Problemas de Valor Inicial (P.V.I) que modelan fenómenos físicos.

38 Problemas de Crecimiento y Decrecimiento Los problemas que analizaremos a continuación nos resultaran familiares, pues ya los hemos estudiado en MAT021. Si denotamos por x(t) la cantidad en gramos de una cierta sustancia en el instante t entonces dx dt es la razón de cambio de esta cantidad. Supongamos además que k > 0. Crecimiento poblacional Suponga que para modelar el crecimiento de una población se tiene la siguiente regla: La tasa de crecimiento de la población es proporcional a la población existente, entonces el modelo matemático para este fenómeno es: dx dt = kx

39 Problemas de Crecimiento y Decrecimiento Cuya solución es: x(t) = Ae kt, donde A = e C Dada la condición inicial: en t = 0 se tienen x 0 gramos. Obtenemos: x(t) = x 0 e kt Decrecimiento poblacional Es análogo...

40 Ejercicios Propuestos Resolver: 1 Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativamente estable para uso industrial. Después de 15 años se determina que el por ciento de la cantidad inicial A 0 de plutonio se ha desintegrado. Determina la semivida de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.

41 Ejercicios Propuestos Resolver: 1 Un reactor transforma plutonio 239 en uranio 238 que es relativamente estable para uso industrial. Después de 15 años se determina que el por ciento de la cantidad inicial A 0 de plutonio se ha desintegrado. Determina la semivida de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. 2 La población P(t) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por: { dp dt = P( P) P(0) = 5000 en donde t se mide en meses. Cuál es el valor límite de la población? En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite?

42 Ley de Enfriamiento de Newton Consideremos el siguiente modelo simplificado para el fenómeno de variación de temperatura en un cuerpo. Sea: t: tiempo T (t): temperatura en el cuerpo en el instante t. T m : temperatura ambiente. Supuestos: La temperatura del medio es constante En el instante t la temperatura en todo el cuerpoes la misma. Ecuación: dt dt = k(t T m ) Condición inicial: T (0) = T 0 Cuya solución es: T (t) = T m + (T 0 T m )e kt Ejercicio: demuestre esto!

43 Ejercicios Propuestos 1 Un cuerpo a 100 o C es puesto en una sala a temperatura constante de 25 o C. Después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 90 o Cuánto tiempo tarda en estar a 50 o?

44 Ejercicios Propuestos 1 Un cuerpo a 100 o C es puesto en una sala a temperatura constante de 25 o C. Después de 5 minutos la temperatura del cuerpo es de 90 o Cuánto tiempo tarda en estar a 50 o? 2 Un cuerpo a 100 o C es puesto en una sala que esta a una temperatura constante desconocida. Si pasados 10 minutos el cuerpo esta a 90 o y pasado 20 minutos esta a 82 o calcular la temperatura de la sala.

45 Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes.

46 Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. Considere un recipiente con un dispositivo de agitación que en todo momento mantiene la mezcla homogénea.

47 Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. Considere un recipiente con un dispositivo de agitación que en todo momento mantiene la mezcla homogénea. Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal.

48 Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. Considere un recipiente con un dispositivo de agitación que en todo momento mantiene la mezcla homogénea. Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y del recipiente sacamos agua a la misma velocidad.

49 Mezclas Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversos ingredientes. Considere un recipiente con un dispositivo de agitación que en todo momento mantiene la mezcla homogénea. Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si al recipiente le agregamos agua con c gramos de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y del recipiente sacamos agua a la misma velocidad. Qué cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t?

50 Mezclas 1 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t La variación de la cantidad de sal es: dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/v V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/v

51 Mezclas 1 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t La variación de la cantidad de sal es: dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/v V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/v 2 La ecuación que modela la variación de la cantidad de sal es: dx dt = ac a x(t) V

52 Mezclas 1 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t La variación de la cantidad de sal es: dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/v V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/v 2 La ecuación que modela la variación de la cantidad de sal es: dx dt = ac a x(t) V 3 Condición inicial: x(0) = x 0

53 Mezclas 1 Sea: x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t La variación de la cantidad de sal es: dx dt = (Sal que entra) - (Sal que sale) La sal que entra es ac. La cantidad de sal en el instante t es x(t)/v V : cantidad de sal que sale es: ax(t)/v 2 La ecuación que modela la variación de la cantidad de sal es: dx dt = ac a x(t) V 3 Condición inicial: x(0) = x 0 4 La solución: x(t) = cv + (x o cv )e at/v Ejercicio: demuestre esto!

54 Ejemplo Resolver: Suponga que el estanque contiene 100 litros de agua, entra agua con 500 gramos de sal por litro a razón de 5 litros por minuto, además sale agua a la misma velocidad del recipiente. Cuánto tiempo tarda en tener 10 kilos de sal el recipiente?

55 Ejercicios Propuestos 1.- Resolver: Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con que su intensidad I disminuye es proporcional a I(t) en donde t representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar cristalina, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es el 25 % de la intensidad inicial I 0 del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie? 2.- Dadas dos funciones f, g derivables, sabemos que la identidad (fg) = f ġ en general, es falsa. Sea f (x) = e x 3 +2x, determina las funciones g que verifican dicha identidad.