ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Movimiento Libre No Amortiguado Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden es la resolución de problemas de movimiento armónico simple. En la imagen se observa un cuerpo de masa m que se sujeta a un resorte (de peso despreciable), Cuando el peso está en reposo, decimos que está en posición de equilibrio. Si el cuerpo se desplaza hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, estará bajo un movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio. Nuestro propósito es estudiar el movimiento del cuerpo, conocido como movimiento armónico simple, en el cual se ignora cualquier fuerza de fricción con el medio que lo rodea. Las fuerzas que actúan son: Una fuerza de restitución (Ley de Hooke) fr = ks, donde k es una constante de proporcionalidad y s la magnitud del alargamiento, y el peso del cuerpo, dado por W = mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y g = 32pies/s 2, g = 9,8m/s 2 o g = 980cm/s 2 respectivamente. En la posición de equilibrio mg ks = 0. Al desplazar el cuerpo de esta posición en una magnitud x (se considera positiva si se desplaza hacia abajo, y negativa si se desplaza hacia arriba) y soltarla, la Segunda Ley de Newton establece que = mg k(s + x) dt2 1

2 2 Usando la condición de equilibrio, resulta que la ecuación diferencial del movimiento armónico simple o movimiento vibratorio no amortiguado es cualquiera de las siguientes versiones dt 2 = kx dt 2 + kx = 0 Con condiciones iniciales asociadas x(0) = x 0 y x (0) = v 0. Ejemplo Se encontró experimentalmente que un peso de 4 Iibras estira un resorte 6 pulgadas. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 4 pulg/s, determine: A. La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento. B. La ecuación del movimiento. C. La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después. D. El periodo, la frecuencia y la gráfica de la solución. Nota: Las unidades de pulgadas se deben pasar a pies. Se definen los siguientes elementos para llegar a la solución. Variables Tiempo: t. Variable Independiente. Desplazamiento del cuerpo x = x(t) Variable Dependiente. Parámetros Peso del objeto: 4 libras. Estiramiento del resorte: 6 pulgadas. Constante del resorte: k = W s Masa: m = W g = 4libras 32pies/s 2 = 1 8 slugs = 4libras 0,5pies = 8 libras pies. Ecuación diferencial 1 d 2 x 8 dt + 8x = 0 2 Condiciones iniciales Posición inicial : x(0) = 0. Velocidad inicial: x (0) = 4pulg/s = 1 3 pies/s.

3 Método Para Resolver Ecuaciones de Segundo Orden Homogeneas Se asocia la ecuación auxiliar a d2 y dx 2 + bdy dx + cy = 0 ar 2 + br + c = 0 Al resolver esta ecuación se presentan tres casos que generan las siguientes soluciones a la ecuación diferencial Caso 1. Raíces reales distintias r 1 y r 2 Solución y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x. Caso 2. Raíces reales repetidas r 1 y r 1 Solución y = C 1 e r 1x + C 2 xe r 1x. Caso 3. Raíces complejas r = α ± βi Solución y = e αx [C 1 cos βx + C 2 sin βx] Solución para el ejemplo 1 d 2 x 8 dt + 8x = 0 2 x(0) = 0 x (0) = 1 3 Ecuación auxiliar 1 8 r2 + 8 = 0 Solución r = ±8i el cual corresponde al caso 3 con α = 0 y β = 8 por lo tanto la solución general a la ecuación diferencial sería x(t) = C 1 cos 8t + C 2 sin 8t. Para hallar los valores de las constantes C 1 y C 2 se debe calcular reemplazar las condiciones iniciales x(0) = 0 y x (0) = 1 en la función y en su derivada 3 x = 8C 1 sin 8t + 8C 2 cos 8t respectivamente, de donde se obtienen las ecuaciones C 1 cos 8(0) + C 2 sin 8(0) = 0 8C 1 sin 8(0) + 8C 2 cos 8(0) = 1 3 Con la solución C 1 = 0 y C 2 = Así finalmente la solución a la ecuación diferencial que representa el desplazamiento del cuerpo está dada por x(t) = 1 sin 8t 24 3

4 4 Posición a los dos segundos 0.01 pies por encima de la posición de equilibrio Velocidad a los dos segundos 0.32 pies/s ascendente. Aceleración a los dos segundos

5 5 Período Frecuencia a = 1 T = 1,27 Amplitud

6 6 En Geogebra con la ayuda del comando ResuelveEDO[< Ecuación >, < Punto(s) de f >, < Punto(s) de f >] Ejercicios 1. Repita el ejemplo resuelto suponiendo que el objeto se suelta dos pulgadas por encima de la posición de equilibrio y los demás valores son los mismos, qué cambios se presentan en la solución encontrada? 2. Repita el ejemplo, suponiendo que el peso del objeto es de 8 libras, y todo lo demás permanece igual. en qué afecta este cambio a la solución encontrada? 3. Una fuerza de 9 Ib estira un resorte 3 pulgadas. Un cuerpo que pesa 24 Ib se sujeta al resorte y se suelta desde un punto que está 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 36 pulg/s. A. Determine la ecuación del movimiento x(t). B. En qué instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia arriba por tercera vez? C. En qué instantes está el cuerpo 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio? 4. Una masa de 1/2 kg está suspendida de un resorte cuya constante es de 18 N/m.

7 A. Si el cuerpo en reposo se suelta desde un punto que está a 0.1 m abajo de la posición de equilibrio, determine la ecuación del movimiento. B. Cuál es el periodo del movimiento? 5. Una fuerza de 10 N estira un resorte m. Después, al extremo libre de ese resorte se fija una masa de 5 kg. A. Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto que está a 0.4 m arriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 1.2 m/s. B. Cuántas oscilaciones completas realiza el cuerpo durante un intervalo de 8π segundos? 6. Un cuerpo de 2 kg se suspende de un resorte de constante 162 N/m. A. Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto a 0.1 m sobre la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 1.2 m/s. B. Grafique la ecuación del movimiento. C. Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia arriba. D. En qué posición se encuentra el cuerpo para t = π/8, π/9, π/3? E. Calcule la velocidad de la masa para los tiempos del inciso anterior y diga en qué dirección se está moviendo? 7 Movimiento Libre Amortiguado Continuando con el estudio de los sistemas de resorte/masa seguimos con el movimiento armónico libre amortiguado que considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a la velocidad instantánea. Por lo tanto la ecuación que modela el sistema (aplicando la segunda ley de Newton) resulta dt 2 dx = kx β dt Donde β es una constante de amortiguamiento positiva, y las demás constantes corresponden a las estudiadas anteriormente. Ésta ecuación es equivalente a o dt 2 + β dx dt + kx = 0 d 2 x dt 2 + 2λdx dt + ω2 x = 0 Donde 2λ = β m y ω2 = k m. Según sea la solución del sistema se puede clasificar en:

8 8 Caso 1.. Sistema sobreamortiguado. Si λ 2 ω) 2 > 0. La solución se puede escribir en la forma x(t) = e (C λt 1 e λ 2 ω 2t + C 2 e λ 2 ω 2 t. (movimiento uniforme y oscilatorio) Caso 2. Sistema críticamente amortiguado. Si λ 2 ω 2 = 0. Solución x(t) = e λt (C 1 + C 2 t). Caso 3. Sistema subamortiguado. Si λ 2 ω 2 < 0. Solución x(t) = e (C λt 1 cos ω 2 λ 2 t + C 2 sin ) ω 2 λ 2 t. Ejercicios 1. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4 Ib estira un resorte 6 pulgadas. El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2.5 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se desplaza 4 pulgadas por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. 2. Resuelva nuevamente el ejercicio anterior, suponiendo ahora que β = Tomando en cuenta que β = 1 repita el ejercicio 1. Determine los instantes en los que el cuerpo pasa por la posición de equilibrio y realice la gráfica de la ecuación del movimiento. 4. Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s. 5. Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En equilibrio el resorte mide 8.2 pies. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 pies arriba de la posición de equilibrio, encuentre los desplazamientos si se sabe además que el medio circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.