Rancagua, Agosto 2009

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Guillermo Cabrera del Río
hace 6 años
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1 Departamento de Informática - Universidad Técnica Federico Santa María Rancagua, Agosto / 25

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4 Se denomina modelamiento a la descripción matemática de un sistema o fenómeno. El modelamiento tiene dos pasos relevantes: Identificar las variables que originan cambios. Establecer hipótesis razonables. 4 / 25

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7 Crecimiento demográfico El economista inglés Thomas Maltus (1798) fue el primero en modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano. Hipótesis: El crecimiento de la población crece en forma proporcional a la población total. Sea P(t) la población en un tiempo t. 7 / 25

8 Crecimiento demográfico (2) Matemáticamente: P t = kp Esta ecuación predijo con mucha exactitud la población de EEUU entre 1790 a La ecuación anterior es la misma que rige la desintegración radioactiva, la tasa de capitalización de una inversión financiera, etc. 8 / 25

9 Ley de Newton La Ley de Newton de enfriamiento se expresa como: T t = k(t T m) Donde T(t) representa la temperatura del objeto en el instante t y T m es la temperatura del medio 9 / 25

10 Vaciado en un estanque h t = A 0 A t 2gh 10 / 25

11 Caida Libre 2 s t 2 = g s(0) = s 0 s (0) = v 0 11 / 25

12 Caida Libre con resistencia al aire m 2 s t 2 = mg kv s(0) = s 0 s (0) = v 0 mg actúa en la dirección positiva. K es una constante 12 / 25

13 Circuitos eléctricos L i t + Ri + 1 C i t 13 / 25

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15 Los ejemplos anteriores son muestras de los llamados, es decir, sistemas que cambian a través del tiempo. Un sistema dinámico consiste en un conjunto de variables dependientes del tiempo llamadas variables de estado. Los sistemas se modelan por las llamadas ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. 15 / 25

16 Clasificación de ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su: Tipo: ordinarias o derivadas parciales Ordinarias: una variable independiente Orden: derivada de mayor orden. Linealidad La siguiente ecuación es ordinaria de grado dos y lineal. 2 y t y t + 2y = 4e 2t 5 16 / 25

17 Resolución de ecuaciones diferenciales Veremos la forma de resolver ecuaciones diferenciales en MATLAB a través de un ejemplo. Solucionar la ecuación: 2 y t y t + 2y = 4e 2t 5 Sujeta a las siguientes condiciones iniciales: y(0) = 2, y t = 1 17 / 25

18 Primer Paso: Conversión a variables de estado Esto se hace cambiando variables: x 1 = y x 2 = y t Esto significa escribir la ecuación diferencial original de orden n como un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden La ecuación original queda: x 1 t = x 2 x 2 t = 3x 2 2x 1 + 4e 2t 5 x 1 (0) = 2 x 2 (0) = 1 18 / 25

19 Segundo paso: Creación de un archivo M para representar la función function dx = ecuacion1(t,x) % x es el vector de estado %para minimizar parentesis usamos variables x1 y x2 x1=x(1); x2=x(2); % ahora se escriben las ecuaciones de estado dx1 =x2 dx2= -3*x2-2*x1 + 4*exp(-2*t) -5; % se agrupan las derivadas en un vector columna dx=[dx1; dx2]; 19 / 25

20 Tercer paso: Invocar un ode solver Ode: Ordinary differential equation solvers MATLAB posee varios ode solvers. Usaremos el ode45. >> [0 10], [2; -1]); Se usa el seguido del nombre de la función. [0 10] es el rango de valores. [2 ; 1] son las condiciones iniciales >> [t,x]=ode45(@ecuacion1, [0 10], [2; -1]); [t,x] es la solución. T almacena el tiempo y x es la solución donde x(1) es la columna 1 y x(2) la columna 2 20 / 25

21 Cuarto paso: Graficar las soluciones Para graficar la primera columna de x: >> plot(t, x(:,1)) 21 / 25

22 Ejemplo: Demografía Resolver la ecuación de Maltus P t = kp,k = 0.5,P(0) = 1000 Como es de orden 1, sólo hay una ecuación: x 1 = P y x 1 (0) = Se crea el archivo M: function dx= maltus(t,x) x=x(1); dx=0.5*x; Se invoca el ode solver [t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000]) 22 / 25

23 Ejemplo: Demografía (2) Si queremos generalizar k como parámetro function dx= maltus(t,x,k) x=x(1); dx=k*x; Se invoca el ode solver >>k=0.5; >>[t,x]=ode45(@maltus, [0 10], [1000],[],k) se agregan los parámetros adicionales a la función, pero al momento se llamar a ode45 se agrega [ ] como cuarto parámetro antes de ingresar los valores de los demás parámetros. 23 / 25

24 Ejemplo: Demografía (3) Se grafica el resultado plot(t,x(:,1)) 24 / 25

25 Consultas y Comentarios 25 / 25

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