ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Solución Taller preparativo para el parcial 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden, grado superior y aplicaciones) Adrián Montoya Lince (Docente) Jhon Anderson Lopera Cortés (Auxiliar Docente) Santiago Caro Zapata (Monitor)

2 EJERCICIO 1. Considere un vehículo de masa m y velocidad inicial v i transitando por una autopista. Un observador ve a un sujeto ubicado a una distancia x f respecto al vehículo. El conductor al ver al trasunte frena bruscamente de modo que demora un tiempo t f en detenerse. Considere m = 1.5 Ton, v i = 70 Km h, x f = 70 m 1. Encuentre la ecuación diferencial que modela el fenómeno considerando una fuerza de fricción superficial (proporcional a la normal del vehículo f k = µn) y una fuerza de fricción laminar (proporcional a la velocidad instantánea del vehículo f F = v). Tome µ = 5x10 3 y = 300 kg. El conductor logra s frenar a tiempo? 2. Considere ahora que al frenar el vehículo, el conductor se pone nervioso y también hunde el acelerador, por lo que el vehículo experimenta un empuje (debido al motor) de F 0 = 20 [N]. Determine la velocidad y posición del vehículo. SOLUCIÓN: La idea de este ejercicio es hallar la velocidad y la posición en todo instante de tiempo, calcular cuando tarda el carro en detenerse (cuando la velocidad es 0) y remplazar dicho tiempo en la ecuación de posición para determinar si el vehículo logra para a tiempo, es decir, si x(tf) < x f. Datos: m = 1.5 Ton, v i = 70 km h m s, µ = 5x10 3 y = 300 kg s. Se solucionará el ejercicio partiendo de lo propuesto en el numeral 2. Al plantear ejercicio de esta forma solo es necesario resolver una ecuación diferencial, ya que para considerar el numeral 1 solo tendremos que hacer F 0 = 0 en la solución de la ecuación diferencial. Las consideraciones de las fuerzas de rozamiento (la superficial y la del viento) son las mismas para los 2 numerales. 2. De la segunda ley de Newton se tiene que: d(mv) = F => m dv = f k f v + F 0 (1) f k y f v son la fricción superficial y la fricción laminar. El signo menos es debido a que van en sentido contrario al movimiento. F 0 Es la fuerza que ejerce el motor, por lo cual se considera positiva. La EDO se puede escribir de la siguiente forma m dv(t) dv(t) + v(t) = μmg + F 0 (2) + m v(t) = μg + F 0 m (3)

3 Ya que el lado derecho de la ecuación (3) es contante, se puede decir que se tiene una EDO lineal, cuya solución está dada por: φ(t) = e m = e m t (4) v(t) = Ce m t + e m t e m t ( μg + F 0 ) (5) m v(t) = Ce m t + ( μg + F 0 m ) m (6) Con la condición inicial v i = 70 km h, se obtiene que: C = v i F 0 μgm v(t) = ( F 0 μgm ) (1 e m t ) + v i e m t (7) La ecuación de posición se obtiene integrando la velocidad respecto al tiempo, así: x(t) = (( F 0 μgm ) (1 e m t ) + v i e m t ) (8) x(t) = ( F 0 μgm ) (t + m e m t ) v i m e m t + C (9) Se tomará como condición inicial que x(0) = 0. Es decir, el sistema de referencia se encuentra en el punto de partida del vehículo. m C = v i (F 0 μgm ) ( m ) (10) Remplazando (10) en (9) y reordenando la expresión se obtiene que: x(t) = ( F 0 μgm ) (t + m e m t ) v i m e m t + ( m ) (v i F 0 μgm ) (11) x(t) = F 0 μgm t + m (v i F 0 μgm ) (1 e m t ) (12) Hasta este punto se tiene resulto el numeral 2, que solo nos pide las ecuaciones de posición y velocidad (ecuaciones 7 y 12).

4 Como F 0 es una constante es posible eliminarla de las ecuaciones 7 y 12, obteniendo así 2 nuevas las ecuaciones que describen el movimiento del problema descrito en el numeral En el primer caso el conductor solo está frenando, y por lo tanto F 0 = 0. v(t) = v i e m t μgm (1 e m t ) (13) x(t) = μgm Igualando (13) a 0 y despejando t f se obtiene que: t + m (v i + μgm ) (1 e m t ) (14) 0 = v i e m t f μgm (1 e m t f ) t f = 22 s Al remplazar t f en (14) se obtiene que x(t f ) = m. Se concluye entonces que el vehículo no alcanza a frenar a tiempo. EJERCICIO 2 Un pequeño lago de 10 6 lt, es atravesado por un río que le inyecta 10 3 litros de agua por hora. Un día, una empresa inescrupulosa, comienza a arrojar materiales tóxicos al río que se disuelven en sus aguas, generando una mezcla que contiene 30% de materiales tóxicos. 1. Si el río sale del lago a la misma velocidad con la que entra, encuentre una expresión para la concentración de contaminantes en el lago en todo instante. 2. Cuánto tiempo tarda aproximadamente el lago en contaminarse con la misma concentración de su afluente? 3. Suponga que bruscamente se detiene el proceso de contaminación, es decir, el río contiene agua limpia y cesan de caer contaminantes al lago. Determine el tiempo necesario para que el nivel de contaminación del lago se reduzca en un 50%. SOLUCIÓN: 1. Datos: V i = 10 6 lt, A = = 10 3 lt h, C e = 30% 0.3 V i : Volumen inicial del lago. A: Velocidad a la que entra agua al lago. : Velocidad a la que sale agua al lago.

5 C e : Concentración del contaminante en el río. Sea q(t) y V(t) la cantidad de material tóxico y el volumen del lago en todo instante, respetivamente. La ecuación diferencial para el volumen en todo instante de tiempo está dada por: dv(t) = A => dv(t) = 0 => V (t) = Vi = 10 6 lt (1) La ecuación que rige el comportamiento de la contaminación del lago es: dq(t) + V(t) q(t) = AC e (2) q(0) = 0 (No hay contaminación inicialmente) La ecuación diferencial es lineal, y por lo tanto la solución estará dada por: q(t) = Ke Vi t + e Vi t AC e e Vi t => q(t) = Ke Vi t + AC e V i (3) Con la condición inicial, q(0) = 0, se obtiene que K = A C ev i. Remplazando K en (3) y haciendo A= se obtiene que: q(t) = C e V i (1 e V i t ) => q(t) = (1 e t 10 3 ) (4) Para la concentración se tiene que: c(t) = q(t) v(t) = c e (1 e t t V i ) = 0. 3(1 e 10 3 ) (5) 2. Según (5), la concentración alcanza una concentración del 30% cuando el factor 1 e (/V i)t tiene a 1. Esto ocurre cuando han pasado 5 constante de tiempo. 5τ = 5 Vi = h 208 dias 3. Si se detiene la contaminación: C e = 0, con lo cual, la EDO que modela la cantidad del material toxico nos queda: dq(t) + V(t) q(t) = 0 (6)

6 Cuya solución es: q(t) = q 0 e V i t, q0 = q(0) (7) Se toma t = 0 como en instante en el cual el lago se deja de contaminar. No es necesario conocer q 0 para resolver el problema. Veamos: Se define T1 como el tiempo que tardar tarda la contaminación en reducirse un 50%. Al remplazar T1 en (8) se obtiene que: Despejando T 1 q (T 1 ) = q 0 2 = q 0 e V T 1 i (8) T 1 = V i ln(2) T1 = 10 3 ln(2) = horas 29días EJERCICIO 3: Un cadáver es hallado al aire libre, a las 8:00 a.m en un parque. Una vez hallado se midió la temperatura del cuerpo obteniendo 29 C y luego de una hora se volvió a medir, obteniendo 28 C. 1. Si la temperatura del ambiente se mantuvo constante durante todo el tiempo a 25 C y la temperatura corporal normal de un ser humano vivo es de 38 C. Determine la hora de muerte 2. Si la constante de tiempo del sistema es k = 1 y que la temperatura ambiente responde a la función: T a (t) = ( t temperatura en todo instante de tiempo. 12 1)2 para 0 < t < 24h. Halle la SOLUCIÓN: Partiendo de la ecuación diferencial: dt(t) = k (T a T(t)) (1) Ta: Temperatura del ambiente. T(t): Temperatura del cuerpo en un instante de tiempo. 1. Si la temperatura ambiente Ta es contante (25 C), la ecuación diferencial se puede resolver por variables separables o como una EDO lineal. T(t) = T a + Ce kt (2)

7 La temperatura inicial del cadáver (justo antes de morir) es de 38 C, por lo tanto se tomará T 0 = T(0) = 38 C Aplicando la condición inicial se obtiene que: T(t) = Ta + (T 0 T a )e kt (3) Para calcular la constante K se hace uso de las otras condiciones (las medidas de temperatura hechas luego de que se halló el cadáver), así Se definen t 1 como el tiempo que paso entre la hora de muerte y la primera medida de temperatura, entonces: T(t 1 ) = T 1 = 29 C (4) T(t 1 + 1) = T 2 = 28 C (5) Remplazando (4) y (5) en (3), se obtiene que: Haciendo (7) / (6) e kt 1 = T 1 T a T 0 T a (6) e k(t 1+1) = T 2 T a T 0 T a (7) e k(t 1+1) e kt 1 = T 2 T a T 1 T a => k = ln ( T 2 T a T 1 T a ) (8) Finalmente, al remplazar los valores de T 1, T 2 y T a, se obtiene que K = Para Hallar la hora de muerte se debe despejar t 1 de la ecuación (6) t 1 = ln ( T 1 T a T 0 T a ) k => t 1 = h 2. Si la temperatura ambiente viene dada por T a (t) = ( t 12 1)2 y k=1, la ecuación diferencial que modela la temperatura del cadáver en todo instante del tiempo será: dt(t) + T(t) = ( t 12 1) 2 (9) La expresión mostrada en (9) es una EDO lineal, cuya solución está dada por: T(t) = Ce kt + e kt e kt (30 15 ( t 12 1) 2 ) (10) Resolviendo la integral y aplicando la condición inicial T(0) = 38 C,se obtiene que:

8 T(t) = T i e t e t 5 48 t t EJERCICIO 4. Dada la ecuación diferencial: ( x 2 y P 1) = y 2 x Determine las regiones del plano donde se puede ubicar un punto (x 0, y 0 ), de tal forma que se garantice solución para un problema de valor inicial 2. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial. 3. Encuentre las soluciones singulares de la ecuación diferencial. SOLUCIÓN: Dada la ecuación diferencial: ( x y P 1)2 = y2 x 2 1 (1) 1. Determine las regiones del plano donde se puede ubicar un punto (x 0, y 0 ), de tal forma que se garantice solución para un problema de valor inicial. Para determinar estas regiones se debe utilizar el teorema de existencia y unicidad. Primero se despeja P de la ecuación (1): P = y x y 2 x y x (2) Las singularidades se observan en De (3) se obtiene y x 2 2 x = (3) y 2 x 2 ±y ±x (y x y x ) (y x y x )

9 Figura 1. La línea roja es la singularidad en x=0 y el área sombread son las regiones del plano para (xo,yo) Nota: Recuerde que se debe comprobar la derivada dp. Las restricciones adicionales deben considerarse en la región del TEU. dy 2. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial. Usando la ecuación (2), se nota que la EDO es homogénea, así que se hace el cambio de variable u = y x Aplicando variables separables en (4) x du dx + u = u u u (4) dx x = du u u 2 1 Realizando el cambio de variable u = sec (θ) dx x sec(θ) tan(θ) = dθ (5) sec(θ) tan(θ) Resolviendo (5) y volviendo a las variables originales ln(cx) = cos 1 ( x y )

10 3. Encuentre las soluciones singulares de la ecuación diferencial. Derivando la ecuación (1) respecto a P Despejando P de (6) 2 ( x y P 1) x y = 0 (6) P = y x Remplazando P en (1) y despejando y, se obtiene: y = ±x