ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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Luis Sosa Díaz
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FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Taller preparativo para el quiz

1 FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Taller preparativo para el quiz sobre las ecuaciones diferenciales de primer orden. Adrian Montoya Lince (Docente) David Hincapie Garcia (Auxiliar Docente) Alejandro Arias Rodriguez (Monitor)

2 ENUNCIADOS EJERCICIO 1 Dada la ecuación diferencial: dx = y x2 y 2 + y x 1. Encuentre las regiones del plano donde se puede ubicar un punto (x 0,y 0 ) de tal manera que se garantice solución al problema de valor inicial. 2. Determine la solución de la ecuación diferencial. 3. Con ayuda de software grafique dos elementos de la familia de curvas. EJERCICIO 2 Dada la ecuación diferencial: dx = y ( y ) x + sec2 x 1. Encuentre y grafique las regiones del plano donde se puede ubicar un punto (x 0,y 0 ) de tal manera que se garantice solución al problema de valor inicial. 2. Encuentre la solución general a la ecuación diferencial, Qué puede concluir acerca del TEU? EJERCICIO 3 Considere la ecuación diferencial: dx = xy2 2y 4x 3x 2 y 1. Qué tipo de ecuación diferencial es? 2. Demuestre que se puede ubicar un punto (x 0,y 0 ) de tal manera que el PVI tenga solución en la región R = {(x, y) R 2 /y 4 3x } 3. Encuentre la solución que tiene por condición inicial y(1) = 1 y represente graficamente.

3 EJERCICIO 4 Considere la ecuación diferencial [x sin (y) x 3 ]y = 2 cos (y) 1. Encuentre la solución general de la ED, qué tipo de ED es? 2. Encuentre la solución que pasa por el punto y(1) = 0 y represente gráficamente.

SOLUCIÓN EJERCICIO 1 Dada la ecuación diferencial: dx = y x2 y + y 2 x (1) Escribiendo la ecuación diferencial de la forma f(x, y) = dx = y x2 y 2 + y x La función presenta discontinuidades cuando x

4 SOLUCIÓN EJERCICIO 1 Dada la ecuación diferencial: dx = y x2 y + y 2 x (1) Escribiendo la ecuación diferencial de la forma f(x, y) = dx = y x2 y 2 + y x La función presenta discontinuidades cuando x = 0 y cuando x 2 y 2 0. Si se analiza f y se encuentra que x2 y 2 0 por lo que las zonas donde se puede garantizar solución al PVI son: R 1 = {(x, y) R 2 /x 0} R 2 = {(x, y) R 2 /x 2 y 2 > 0} De la región 2 ocurre que: x+y > 0 x y > 0 y que x+y < 0 x y < 0. Al hallar el intercepto entre las dos regiones se obtiene lo mostrado en la Figura. Figure 1: La región azul es la región donde se pueden ubicar puntos (x 0, y 0 ) de tal manera que se garantiza solución. Las lineas y regiones rojas indican lineas donde no se pueden ubicar puntos (x 0, y 0 ) (2) Para la solución de la ecuación diferencial, se procede a escribir de la siguiente forma: dx = ( y x )2 1 ( y + y x )2 x

5 Haciendo la sustitución u = y se llega a la ecuación diferencial de variables x separables: 1 u2 du = dx u x Para resolver la integral se hace el cambio de variable z 2 = 1 u 2, la integral se reduce a: ( 1 1 ) dx dz = 1 z 2 x Resolviendo las integrales se llega a que la solución a la ecuación diferencial es: ( ( y ) ) 2 ( y ) 2 ± 1 arctanh ± 1 = ln(cx) x x (3) La gráfica mostrada en la figura es para C=2,1,0.5 el estudiante puede verificar que la solución a la ED planteada es la graficada. Figure 2: Gráfica de la función 1 ( y x C=2 (Azul), C=1 (Roja) y C=0.5 (Verde) ) ( 2 tanh 1 1 ( y x ) ) 2 = ln (Cx) para

6 EJERCICIO 2 Dada la ecuación diferencial: dx = y ( y ) x + sec2 x (1) Escribiendo la ecuación diferencial de la forma f(x, y) = dx = y ( y ) x + sec2 x La función f presenta discontinuidades cuando x=0 y cuando cos ( y x) = 0, además al analizar la f se llegan a las discontinuidades mencionadas anteriormente. Las zonas donde se puede garantizar solución al PVI y son: R 1 = {(x, y) R 2 /x 0} ( ) 2n + 1 R 2 = {(x, y) R 2 /y πx} 2 Graficamente, las regiones anteriores son las mostradas en la figura Figure 3: Las lineas rectas rojas punteadas son un conjunto de rectas en las cuales NO se puede ubicar un punto (x 0,y 0 ) que garantice solución al PVI. (2) Encuentre la solución general a la ecuación diferencial, Qué puede concluir acerca del TEU?

7 Es una ecuación diferencial homogénea (Se puede escribir de la forma y/x), por lo que al hacer el cambio de variable y = ux se llega a: x du dx = sec2 (u) La ecuación es de variables separables por lo que la solución viene dada por: ln (Cx) = du sec 2 u du = u sin (2u) Volviendo a las variables originales se llega a la ecuación implícita 2 ln (Cx) = y x + 1 ( 2 sin 2 y ) x Figure 4: Gráfica de la función 2 ln (Cx) = y x sin ( 2 y x) para C=2 (Verde), C=1 (Azul) y C=0.5 (Roja) EJERCICIO 3 Considere la ecuación diferencial: dx = xy2 2y 4x 3x 2 y

8 (1) Es una ecuación diferencial exacta o reducible a exacta debido a que no es posible escribir la ED como variables separables, homogénea o Bernoulli. (2) La ecuación diferencial se puede escribir como f(x, y) = dx = xy2 2y 4x 3x 2 y La función anterior presenta discontinuidad cuando el denominador es 0, por lo que 4x 3x 2 y 0 3x 2 y 4x, al analizar la parcial de f con respecto a y se llega a las restricciones mencionadas anteriormente lo que implica que: R = {(x, y) R 2 /y 4 3x } (3) La ecuación diferencial se puede escribir como: (xy 2 2y)dx+(3x 2 y 4x) = 0 M(x, y) = xy 3 2y N(x, y) = 3x 2 y 4x Es evidente que N x M y. El factor de integración es de la forma φ(x, y) = x m y n llegando a que m = 3 y n = 5 por lo tanto φ(x, y) = x 3 y 5. La ecuación diferencial toma la forma: x 3 y 5 (xy 2 2y)dx + x 3 y 5 (3x 2 y 4x) = 0 La solución viene dada por: F (x, y) = x 3 y 5 (3x 2 y 4x) y + C(x) = 1 xy x 2 y 4 + c(x) Calculando c(x) La solución es F x = xy2 2y + c (x) = M c(x) = C x 3 y 5 C = F (x, y) = 1 xy x 2 y 4 Con la condición inicial y(1) = 1 se llega a que C = 0 y la solución que pasa por ese punto es 1 = xy

9 Figure 5: Gráfica de la función 1 = xy EJERCICIO 4 Considere la ecuación diferencial [x sin (y) x 3 ]y = 2 cos (y) (1) Escribiendo la ecuación diferencial como 2 cos (y) dx = x sin (y) x3 dx 1 2 tan (y)x = 1 sec (y)x3 2 Es una ecuación diferencial de Bernoulli, haciendo el cambio de variable u = x 2 la ecuación es reducible a lineal de la forma: El factor de integración es du + tan (y)u = sec (y) φ(y) = e tan(y) = sec (y)

10 La solución viene dada por: u = C sec (y) + 1 sec (y) sec 2 (y) = C tan (y) + sec (y) sec (y) Retornando a las variables originales la solución a la ED es: x 2 (C cos (y) + sin (y)) = 1 (2) Al evaluar la condición y(1) = 0 se llega a que C = 1 y la solución al PVI es: x 2 (cos (y) + sin (y)) = 1 Figure 6: Gráfica de la función 1 = x 2 (cos (y) + sin (y))

11 CÓDIGOS Los códigos fueron hechos en python (En el IDE Canopy) PUNTO 1 plotlib.pyplot import * from numpy import * # definicion de la funcion a graficar def f(x,y,c): return sqrt(1-(y/x)**2)-arctanh(sqrt(1-(y/x)**2))-log(c*x) # vectores para x y y x=linspace(0,1,500) y=linspace(-1,1,500) # construccion de malla X, Y = meshgrid(x, y) # graficas contour(x, Y, f(x, Y,2),[0],colors= b,label= C=2 ); contour(x, Y, f(x, Y,1),[0],colors= r,label= C=1 ); contour(x, Y, f(x, Y,0.5),[0],colors= g,label= C=0.5 ); show() grid()

12 PUNTO 2 from matplotlib.pyplot import * from numpy import * # definicion de la funcion a graficar def f(x,y,c): return y/x+sin(2*y/x)/2-2*log(c*x) # vectores para x y y x=linspace(0,3,500) y=linspace(-2,8,500) # construccion de malla X, Y = meshgrid(x, y) # graficas contour(x, Y, f(x, Y,2),[0],colors= b,label= C=2 ); contour(x, Y, f(x, Y,1),[0],colors= r,label= C=1 ); contour(x, Y, f(x, Y,0.5),[0],colors= g,label= C=0.5 ); title(r $\frac{y}{x}+\frac{1}{2}\sin{\left(2\frac{y}{x}\right)}=2\ln{(cx)}$ ) xlabel( x ) ylabel( y ) show() grid()

13 PUNTO 3 from matplotlib.pyplot import * from numpy import * # vectores para x y y x=linspace(-2,3,500) y=1/x plot(x,y) plot(1,1, *r ) title(r $y=\frac{1}{x}$ ) xlabel( x ) ylabel( y ) ylim(-5,5) show() grid()

14 PUNTO 4 from matplotlib.pyplot import * from numpy import * # definicion de la funcion a graficar def f(x,y): return x**2.0*(cos(y)+sin(y))-1.0 # vectores para x y y x=linspace(0.5,4,500) y=linspace(-1,3,500) # construccion de malla X, Y = meshgrid(x, y) # graficas contour(x, Y, f(x, Y),[0],colors= b ); plot(1,0, *r ) title(r $x^2(\cos{(y)}+\sin{(y)})=1$ ) xlabel( x ) ylabel( y ) show() grid()

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