ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Transcripción

1 FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Solución analítica de ED de orden superior con fenómeno resonante. Adrian Montoya Lince (Docente) David Hincapie Garcia (Auxiliar Docente) Alejandro Arias Rodriguez (Monitor)

2 ENUNCIADOS EJERCICIO Dada la ecuación diferencial de orden superior (D 3 + 4D 2 + 6D + 4)y(x) = e x sin x. Encuentre un Conjunto Fundamental de Soluciones de la ED. 2. Encuentre la solución particular usando el método de operador inverso. 3. Grafique la solución tomando C = C 2 = C 3 =. EJERCICIO 2 Dada la ecuación diferencial de orden superior (D 3 + 4D)y(x) = sin 2x + x. Encuentre un Conjunto Fundamental de Soluciones de la ED. 2. Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial. 3. Grafique la solución tomando C = C 2 = C 3 =. EJERCICIO 3 El sistema mostrado en la figura corresponde a un sistema masa resorte sin amortiguamiento, al resorte se le conecta una masa m = 8 Kg de modo que sufre una deformación δ 0 = cm respecto a su posición inicial. El medio en el que está el resorte tiene un coeficiente de rozamiento B = 4 Ns/m. El resorte sufre un alargamiento y 0 = 0 cm a partir del punto de equilibrio antes de ser liberado. Encuentre:. La constante de rigidez del resorte. 2. La posición del sistema sino tiene exitaciones externas. 3. La posición del sistema si sufre una exitación de la forma f(t) = 5 N. Grafique la posición y el plano de fase del sistema.

3 Figure : DCL para sistema masa-resorte sin amortiguamiento 4. La posición del sistema si sufre una exitación de la forma f(t) = 256 sin 4t. Suponga que el sistema está en un medio donde B = 0 y que es liberado desde el punto de equilibrio. Grafique la posición del sistema. Qué puede concluir? EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO Dada la ecuación diferencial de orden superior (D 2 + 2D + )y(x) = e x sec 2 (x). Encuentre un Conjunto Fundamental de Soluciones de la ED. 2. Encuentre la solución particular usando el método de variación de parámetros. 3. Grafique la solución que pasa por los puntos y(0) = y y (0) = 0. EJERCICIO 2 Dada la ecuación diferencial de orden superior y 8y + 6y = xe 4x + e 5x cos x. Encuentre un Conjunto Fundamental de Soluciones de la ED. 2. Implemente dos métodos de solución para la solución particular. 3. Encuentre una solución tal que y(0) = y y (0) = 0. Grafique.

4 SOLUCIÓN EJERCICIO El polinomio característico asociado a la ED Homogenea viene dado por: λ 3 + 4λ 2 + 6λ + 4 = 0 que tiene por raíces λ = 2 y λ 2,3 = ± j, entonces CF S = {e 2x, e x cos x, e x sin x}. La solución particular por el método de Operador Inverso se obtiene así: y ss = D 3 + 4D 2 + 6D + 4 e x sin x Aplicando la propiedad L [eax n(d) f(x)] = e ax L n(d+a) [f(x)] se tiene y ss = e x sin x D 3 + D 2 + D + Dado que L n ( ) = 0 entonces: y ss = xe x 2D 2 D 2 = La solución viene dada por: sin x = xe x 4 D 2 = (D + ) sin x = xe x (cos x + sin x) 4 Solución particular {}}{ y(x) = C e 2x + C 2 e x cos x + C 3 e x sin x xe x (cos x + sin x) }{{} 4 Solución a la ED Homogenea

5 Figure 2: Solución a la ED. (D 3 + 4D 2 + 6D + 4)y(x) = e x sin x. Código Matlab: syms x; Y=exp(-2*x)+exp(-x)*(cos(x)+sin(x))-x*exp(-x)*(cos(x)+sin(x))/4; set(ezplot(y,[-,4]), Color, r ); Código en Python import numpy as np import pylab (En archivos.py esta es la librería, online sería import matplotlib.pyplot as plt;%matplotlib inline) x=np.linspace(-,4,500) y=np.exp(-2*x)+np.exp(-x)*(np.cos(x)+np.sin(x))-x*np.exp(- x)*(np.cos(x)+np.sin(x))/4 pylab.plot(x,y) pylab.show() EJERCICIO 2 El polinomio característico asociado a la ED Homogenea viene dado por: λ 3 +4λ = 0 que tiene por raíces λ = 0 λ 2,3 = ±j2, entonces el CF S = {, sin 2x, cos 2x}. La solución particular se halla por el principio de superposición, se usaran el método de Variación de Parámetros y el método de Operador Inverso. Entonces:

6 Para sec 2x Variación de Parametros. sin 2x cos 2x 0 2 cos 2x 2 sin 2x 0 4 sin 2x 4 cos 2x µ µ 2 µ 3 0 = 0 x Donde W (x) = 8 Las soluciónes al sistema anterior vienen dadas por: µ = 4 x µ = 8 x2 µ 2 = 4 x sin 2x µ 2 = (2x cos 2x sin 2x) 6 µ 3 = 4 x cos 2x µ 2 = (2x sin 2x + cos 2x) 6 y ss = y µ + y 2 µ 2 + y 3 µ 3 = 6 [2x2 ] Para sin 2x Operador Inverso. y ss2 = D(D 2 + 4) D 2 = 4 sin 2x Dado que L n ( 4) = 0 entonces: y ss2 = x 4 D cos2x = x sin 2x 8 La solución viene dada por: y(x) = C + C 2 sin 2x + C 3 cos 2x + }{{} Solución a la ED Homogenea Solución particular {}}{ 6 [2x2 2x sin 2x]

7 Figure 3: Solución a la ED. (D 3 + 4D)y(x) = sin 2x + x. Código Matlab: syms x; Y=+sin(2*x)+cos(2*x)+(2*xˆ 2--2*x*sin(2*x))/6; set(ezplot(y,[-,4]), Color, b ); Código en Python import numpy as np import pylab (En archivos.py esta es la librería, online sería import matplotlib.pyplot as plt;%matplotlib inline) x=np.linspace(-,4,500) y=+np.sin(2*x)+np.cos(2*x)+(2*xˆ 2--2*x*np.sin(2*x))/6 pylab.plot(x,y) pylab.show() EJERCICIO 3. Al conectar la masa m al resorte, este se alarga una distancia δ 0, la fuerza recuperadora que experimenta el resorte es F = W = Kδ 0 de donde: K = mg δ 0 = = 28[Nm ]

8 La ecuación de movimiento que rige el sistema se encuentra aplicando la segunda ley de Newton. B F = mÿ = Ky Bẏ + F (t) ÿ + mẏ + K m y = F (t) m La ecuación (D D+6)x(t) = F (t) tiene por polinomio característico λ λ+6 = 0 y por raíces λ,2 = 0.25±j4, de donde el CFS={e 0.25t cos 4t, e 0.25t sin 4t} 2. Cuando f(t)=0, la solución particular es 0 y la solución geneal viene dada por: y(t) = C e t 4 cos 4t + C2 e t 4 sin 4t Al evaluar las condiciones iniciales y(0) = 0. y (0) = 0 se llega a que y(t) = t t 0 e 4 cos 4t + 60 e 4 sin 4t (a) Posición (b) Plano de Fase Figure 4: Respusta del sistema cuando no está bajo exitaciones. Código Matlab: syms t Y=exp(-t/4)*cos(4*t)/0+exp(-t/4)*sin(4*t)/60; set(ezplot(y,[0,8]), Color, k ); %% Posición figure; set(ezplot(y,diff(y)), Color, k ); %% Plano de Fase 3. Cuando f(t)=5n, la solución particular viene dada por y ss = 8D 2 + 4D = 5 D=0 28

9 La solución general viene dada por: y(t) = C e t 4 cos 4t + C2 e t 4 sin 4t Al evaluar las condiciones iniciales y(0) = 0. y (0) = 0 se llega a que y(t) = 39 t 39 t e 4 cos 4t e 4 sin 4t + 28 (a) Posición (b) Plano de Fase Figure 5: Respuesta del sistema ante una exitación f(t) = 5N. Código Matlab: syms t; Y=39*exp(-t/4)*cos(4*t)/640+39*exp(-t/4)*sin(4*t)/0240+5/28; set(ezplot(y,[0,8]), Color, k ); %% Posición figure; set(ezplot(y,diff(y)), Color, k ); %% Plano de Fase 4. Cuando f(t) = 256 sin 4t N, la ecuación viene dada por: 8ÿ + 28y = 256 sin 4t El CF S = {cos 4t, sin 4t}. la solución particular viene dada por y ss = 256 8D sin 4t = cos 4t = 0 D 2 = y ss = 256t sin 4t = 6t 6D sin 4tdt = 4t cos 4t

10 La solución general viene dada por: y(t) = C cos 4t + C 2 sin 4t 4t cos 4t Al evaluar condiciones iniciales y(0) = 0 y (0) = 0 se llega a: y(t) = sin 4t 4t cos 4t Figure 6: Fenómeno de resonancia pura. Código Matlab: syms t Y=sin(4*t)-4*t*cos(4*t); set(ezplot(y,[0,8]), Color, k );