Material suplementario en modelado de sistemas mecánicos. R. Alzate. Control de Sistemas Eléctricos

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1 Material suplementario en modelado de sistemas mecánicos R. Alzate Control de Sistemas Eléctricos Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y de Telecomunicaciones Universidad Industrial de Santander 1. Introducción Modelar la dinámica de sistemas físicos relaciona el arte de representar matemáticamente fenómenos como manifestaciones del principio de conservación de la energía. En sistemas electromecánicos como los motores eléctricos, es importante conocer el movimiento de cuerpos en el espacio tanto en modo rotacional como traslacional. El modelado de sistemas mecánicos se basa en el principio de conservación del momento (lineal o angular y en su forma derivada a través de la segunda ley de Newton (para los casos de traslación y rotación. El presente documento representa un recurso para intentar clarificar dudas al respecto del modelado de sistemas mecánicos traslacionales, comprendiendo que a partir de allí será fácil su extensión a sistemas rotacionales y por consiguiente, a sistemas electromecánicos en general. 2. Resortes y fuerza elástica La Fig. 1 ilustra un resorte que se desplaza una distancia x 2 hacia la derecha. En el punto que se desplaza (denotado como x 2 en la figura, se experimenta una fuerza F α dada por la ley de elasticidad de Hooke [1], la cual indica que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformación y cuya magnitud corresponde con: F α = k x 2, 1

2 siendo x 2 = x 2 (f x 2 (i y k el coeficiente de elasticidad del resorte. El sentido de dicha fuerza es opuesto al movimiento; es decir, apunta hacia la izquierda para un marco de referencia cartesiano positivo: F α = k x 2. Lo anterior, puede explicarse fácilmente recordando que la fuerza elástica que produce el resorte es una fuerza de reacción. De hecho, en el extremo fijo del resorte se experimenta la misma fuerza pero en sentido contrario; es decir, F α = k x 2. x 2 x 2 (i F α x 2 (f Figura 1: Resorte elongado hacia la derecha Considere ahora la situación ilustrada en la Fig. 2. Para este caso el movimiento es hacia la izquierda y por tanto: x 2 = x 2 (f x 2 (i < 0. Así entonces, la fuerza que se experimenta en el extremo que se mueve será: F α = k( x 2 = k x 2, apuntando hacia la derecha pues nuevamente es opuesta al movimiento. En este caso también puede asumirse que en el extremo fijo del resorte se experimenta la misma fuerza pero en sentido contrario; es decir: F α = k( x 2 = k x 2. x 2 (i x 2 F α x 2 (f Figura 2: Resorte comprimido hacia la izquierda Asumiendo ahora que el movimiento se realiza en el extremo izquierdo (denotado como x 1 en la Fig. 3 dejando fijo el derecho, se pueden obtener conclusiones similares ante una elongación, donde: siendo x 1 = x 1 (f x 1 (i < 0; es decir: F β = k x 1, F β = k( x 1 = k x 1, 2

3 x 1 F β x 1 (i x 1 (f Figura 3: Resorte elongado hacia la izquierda apuntando hacia la derecha en modo opuesto al movimiento. Ante esta situación, el extremo fijo del resorte en el lado derecho experimenta una fuerza F β = k( x 1 = k x 1. En modo similar, la Fig. 4 presenta un movimiento de compresión del resorte en el lado izquierdo, para el cual: F β = k x 1, siendo x 1 = x 1 (f x 1 (i > 0 y por tanto, representando una fuerza hacia la izquieda (en sentido opuesto al movimiento. x 1 (i x 1 F β x 1 (f Figura 4: Resorte comprimido hacia la derecha Las situaciones anteriores pueden superponerse en una acción combinada. Por ejemplo, en la Fig. 5 se asume una elongación para ambos extremos del resorte (combinación de casos presentados previamente en las Figs. 1 y 3, correspondiendo con una fuerza en el lado derecho del mismo dada por: F = k x, siendo x el desplazamiento total del resorte, definido a su vez como: x = x 1 + x 2 = (x 1 (i x 1 (f+(x 2 (f x 2 (i a partir de lo cual: = (x 2 (f x 1 (f (x 2 (i x 1 (i, F = k[(x 2 (f x 1 (f (x 2 (i x i (i] = k(x 2 (f x 1 (f k(x 2 (i x 1 (i. Ahora bien, teniendo en cuenta que k(x 2 (i x 1 (i representa la fuerza elástica en el reposo, y que por tanto puede considerarse como de valor cero, la expresión anterior puede re-escrbirise como: F = k(x 2 (f x 1 (f 0 = k(x 1 (f x 2 (f, 3

4 siendo una fuerza opuesta al movimiento de elongación; es decir, que apunta hacia la izquierda en el dibujo (el mismo sentido de F α. Un análisis similar permite concluir que en el lado izquierdo del resorte se experimentará una fuerza igual pero en sentido contrario; es decir: F = k(x 1 (f x 2 (f. x 1 x 2 x 1 (i x 2 (i F β F α x 1 (f x 2 (f Figura 5: Resorte elongado en las dos direcciones Finalmente, la Fig. 6 presenta el caso de una compresión simultánea para ambos extremos del resorte (combinación de casos presentados previamente en las Figs. 2 y 4. Ante esta situación, en el extremo derecho del cuerpo se experimentará una fuerza: F = k x, siendo x el desplazamiento total del resorte, definido a su vez como: x = x 1 + x 2 = (x 1 (f x 1 (i+(x 2 (i x 2 (f a partir de lo cual: = (x 1 (f x 2 (f (x 1 (i x 2 (i, F = k x = k[(x 1 (f x 2 (f (x 1 (i x 2 (i] = k(x 1 (f x 2 (f k(x 1 (i x 2 (i = k(x 1 (f x 2 (f 0 = k(x 1 (f x 2 (f, representando una cantidad que apunta hacia la derecha, en dirección opuesta al movimiento de compresión hacia la izquierda en el extremo derecho del resorte. De manera equivalente, el extremo izquierdo experimentará una fuerza F = k(x 1 (f x 2 (f que apunta hacia el lado izquierdo, en oposición al movimiento de compresión hacia la derecha. x 1 (i x 2 (i x 1 x 2 F β x 1 (f x 2 (f F α Figura 6: Resorte comprimido en las dos direcciones 4

5 3. Ejemplo Para ilustrar los resultados anteriores, considere el sistema compuesto por dos masas acopladas que se muestra en la Fig. 7. Para obtener la función de transferencia: se procede como sigue: G(s = X 2(s U(s, x 1 x 2 u M 1 M 2 k 2 Figura 7: Sistema de dos masas acopladas Inicialmente se dibuja el diagrama de cuerpo libre para la masa denotada como M 1, según se observa en la Fig. 8. De dicho diagrama se observa que la fuerza de entrada u(t aporta al movimiento x 1 (t de la masa M 1 y por tanto se dibuja en la misma dirección. Por el contrario, la fuerza del resorte con constante elástica, denotada como F k1, se considera en oposición al movimiento x 1 y por tanto se dibuja hacia el lado izquierdo. x 1 u M 1 F k1 Figura 8: Diagrama de cuerpo libre para M 1 Aplicando la segunda ley de Newton sobre M 1 se obtiene: F = M1 ẍ 1 M 1 ẍ 1 = u(t F k1 M 1 ẍ 1 = u(t (x 1 x 2. (1 Procediendo con el cuerpo representado por la masa M 2, su diagrama de cuerpo libre se presenta en la Fig. 9. Para este caso se considera que la fuerza ejercida por el resorte de constante elástica contribuye al movimiento x 2 (t de la masa. De manera similar, la fuerza debida al resorte de constante elástica k 2 se opone al movimiento y se dibuja hacia el lado izquierdo. x 2 F k1 M 2 F k2 Figura 9: Diagrama de cuerpo libre para M 2 5

6 Aplicando la segunda ley de Newton sobre M 2 se obtiene: F = M2 ẍ 2 M 2 ẍ 2 = F k1 F k2 M 2 ẍ 2 = (x 1 x 2 k 2 x 2. (2 Empleando ahora transformada de Laplace en las expresiones (1 y (2, es posible escribir: M 1 s 2 X 1 (s = U(s (X 1 (s X 2 (s (3 M 2 s 2 X 2 (s = (X 1 (s X 2 (s k 2 X 2 (s. (4 Luego, despejando X 1 (s de (4: X 1 (s = M 2s 2 X 2 (s+ X 2 (s+k 2 X 2 (s y reemplazando en (3, se obtiene una expresión en función sólo de U(s yx 2 (s dada por: ( M 1 s 2 M2 s 2 X 2 (s+x 2 (s+ k ( 2 M2 s 2 X 2 (s = U(s+ X 2 (s X 2 (s+x 2 (s+ k 2 X 2 (s de la cual es posible reorganizar términos para obtener: X 2 (s U(s = 1 ( s 4 M1 M 2 +s (M 2 1 +M 2 + M 1k 2 +k 2. (5 La Fig. 10 muestra la superposición entre la respuesta al escalón simulada en MATLABR para la función de transferencia (5, tomando como valores de parámetro: M 1 = M 2 = 1 [kg]; = k 2 = 1 [N/m] y la simulación del sistema de masas acopladas presentado en la Fig. 11, obtenido mediante la herramienta Simscape. Para acceder a las rutinas computacionales (desarrolladas para MATLAB 2015a o superior que replican los resultados mostrados, puede hacer click aquí. 4. Análisis y conclusión Tomando la fuerza del resorte en sentido contrario; es decir, asumiendo: M 1 ẍ 1 = u(t (x 2 x 1 M 2 ẍ 2 = (x 2 x 1 k 2 x 2, genera la función de transferencia: X 2 (s U(s = 1 ( s 4 M1 M 2 +s (M 2 1 M 2 + M 1k 2 +k 2, 6

7 2.5 Simscape G(s x 2 (t [m] t[s] Figura 10: Respuesta escalón para sistema de masas acopladas, para casos de simulación de función de transferencia (círculos azules y modelo en Simscape (trazo punteado la cual representa un sistema inestable, tomando en cuenta los cambios de signo en el polinomio del denominador (por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Físicamente, esta situación se explica en el hecho de que el resorte estaría siempre aportando al movimiento que lo deforma, lo cual incumple el principio de una fuerza de reacción, y por tanto el movimiento de la masa crece de manera desbordada. Ante esto, se enfatiza la importancia de la selección de un sentido apropiado para las fuerzas al momento de realizar el reemplazo de las expresiones en la sumatoria de fuerzas, recordando que (por las razones expuestas en la Sección 2 del presente documento la fuerza elástica de un resorte corresponde con: F k = k(x 1 x 2, la fuerza de fricción viscosa de un amortiguador corresponde con: F b = b(ẋ 1 ẋ 2, y de manera equivalente, las fuerzas de torsión y amortiguamiento viscoso para un movimiento de rotación, vienen dadas respectivamente por: τ k = k(θ 1 θ 2, y τ b = b ( θ1 θ 2. 7

8 5. Referencias [1]. R. A. RashidSerway, J. W. Jewett, Física para ciencias e ingeniería: Volumen I. 7 Ed. Cengage Learning - México

9 Figura 11: Modelo de sistema implementado en Simscape de MATLABR 9