FECHA DE ASIGNACIÓN: 05 - febrero

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1 UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FISICOMECÁNICAS ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES Programa de Ingeniería Eléctrica NOMBRE DE LA ASIGNATURA: CONTROL DE SISTEMAS ELÉCTRICOS CÓDIGO: Grupos H1/H2/J1/J2 DOCENTE: Ricardo Alzate ACTIVIDAD: Parte I: Conceptos y Modelos FECHA DE ASIGNACIÓN: 05 - febrero La Figura 1 muestra el sistema de control de tensión para un proceso de elaboración textil. El objetivo del sistema es entregar a la salida (parte derecha superior del diagrama) telares coloreados con tintas agregadas al interior del proceso. La tela recibida inicialmente incolora, pasa a través de unos rodillos posicionados mediante motores que permiten ajustar una tensión suficiente a las telas, para permitirles recibir un suministro de color uniforme a lo largo del proceso. Elabore un diagrama de bloques equivalente para el sistema en lazo cerrado, que permita identificar las variables manipuladas y controladas, los dispositivos actuadores y sensores, al igual que la planta o proceso y las acciones de control actuando sobre el mismo. Figura 1. Sistema de control de tensión 2. Utilizando el método de expansión en fracciones parciales, obtenga la transformada de Laplace inversa para las siguientes expresiones en el dominio del tiempo: a. F(s) = b. F(s) = c. F(s) = s+3 (s+1)(s+2) s+1 (s)(s 2 +s+1) 5(s+2) (s+3)(s 2 )(s+1)

2 d. F(s) = 5(s+2) (s+1)(s+2)^2 e. F(s) = s3 +5s 2 +9s+7 (s+1)(s+2) 3. Emplee las funciones residue() y conv() de Matlab para evaluar la descomposición en fracciones parciales de las siguientes expresiones: a. F(s) = 2s3 +5s 2 +3s+6 s 3 +6s 2 +11s+6 b. F(s) = s2 +2s+3 (s+1) 3 4. Empleando el enfoque de la transformada de Laplace, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: a. x + 3x + 6x = 0, x(0) = 0; x (0) = 3 b. 2x + 7x + 3x = 0, x(0) = 3; x (0) = 0 c. x + 2x = δ(t), x(0 ) = 0 5. Para el diagrama de bloques de la Figura 2 obtenga la función de transferencia C(s)/R(s). Figura 2 6. Para el diagrama de bloques de la Figura 3 obtenga la función de transferencia C(s)/R(s). Figura 3 7. Resuelva los numerales 5 y 6, empleando la fórmula de ganancia de Mason.

3 8. Obtenga la función de transferencia para el sistema descrito mediante la representación en espacio de estados siguiente: 9. En la Figura 4, se ilustra el diagrama de bloques equivalente para el acoplamiento entre las señales del motor de turbohélice mostrado en la Figura 5. Las señales se definen como: R1(s) = flujo de combustible, R2(s)= ángulo del aspa de la hélice, Y1(s)= velocidad del motor y Y2(s)= temperatura interna de la turbina. Figura 4 Figura 5 a. Dibuje un diagrama de flujo de señal equivalente para el sistema b. Encuentre el valor para Δ, empleando la formula de ganancia de Mason c. Encuentre las siguientes funciones de transferencia. Y 1 (s) R 1 (s) R 2 =0 Y 1 (s) R 2 (s) R 1 =0 Y 2 (s) R 1 (s) R 2 =0 Y 2 (s) R 2 (s) R 1 =0 d. Exprese las funciones de transferencia anteriores en forma matricial, Y(s)= G(s)R(s) 10. Para el diagrama de bloques de la Figura 6:

4 Figura 6 a. Determine la expresión para la señal de salida C(s) como función de R1(s) y R2(s) b. Obtenga la función en el tiempo que representa a la salida, cuando r1(t) = r2(t) = impulso unitario; H1(s) = H2(s) = 1; G1(s) = 1; G2(s) = 1/(s+1); G3(s) = (s+1); G4(s) = 1/s. 11. Para el circuito eléctrico de la Figura 7, obtenga la representación en espacio de estados que se deriva al tomar como variables de estado a la corriente del inductor y a los voltajes de los capacitores. Asuma que la entrada es el voltaje de la fuente vi(t), y que la salida es la caída de tensión en la resistencia, denotada como vo(t). Respuesta: Vector de estados = [dil/dt dvc1/dt dvc2/dt] Figura 7 A = B = [1 1-1] T C = [0 1-1] D = [0]

5 12. Un controlador PID diseñado para obtener las características deseadas de respuesta escalón en una planta (sobreimpulso %OS, error de estado estable y tiempo de establecimiento), posee la siguiente función de transferencia: G () c s s s 0.5 La configuración circuital para implementar dicho controlador con amplificadores operacionales se muestra en la Figura 8. Obtenga la función de transferencia Vo(s)/Vi(s) y a partir de ella, seleccionando R1 = 100kΩ, determine los valores de los demas elementos de circuito (R2, C1, C2) que permiten replicar Gc(s). Una vez determinados, aproxime a valores comerciales. s Figura Para el sistema mecánico traslacional de la Figura 9, determine la función de transferencia X3(s)/F(s). Respuesta: Figura 9 1 s(s 3 + 3s 2 + 3s + 3) 14. Para el sistema que se muestra en la Figura 10 (donde fv representa el coeficiente de fricción viscosa b), encuentre una representación en el espacio de estados, tomando como variables de estado a las posiciones y velocidades de las masas; como entrada la fuerza f(t); y como salidas al desplazamiento total (i.e. suma de desplazamientos para cada masa), la razon de cambio total (i.e. suma de velocidades para cada masa) y la fuerza externa aplicada total. Respuesta:

6 Vector de estados = [x1 dx1/dt x2 dx2/dt x3 dx3/dt] A = B = C = D = [ ] T [0 0 1] T Figura Para el sistema mecánico rotacional de la Figura 11, determine la función de transferencia θ2(s)/t(s). Figura 11

7 Respuesta: 1 2s 2 + s Para el sistema que se muestra en la Figura 12, obtenga una expresión general que describa la dinámica de 1(t) en términos de los parámetros del sistema J1, J2, K, R1, R2 y la forzante externa T(t). Considere que no existe fricción viscosa. J1 y R1 son respectivamente el momento de inercia y el radio del engranaje de mayor tamaño. K es la constante de torsión del eje fijo en un extremo. Figura 12 Respuesta: θ 1 [J 1 + J 2 ( R 2 1 ) ] + Kθ R 1 = R 1 T(t) 2 R Para el sistema de la Figura 13, obtenga la función de transferencia θ(s)/ei(s). Figura La dinámica del circuito convertidor de potencia elevador (boost) que se muestra en la Figura 14, se modela a partir de la expresión en el espacio de estados:

8 Siendo v la tensión del capacitor, i la corriente del inductor y u la representación para la señal de conmutación. A partir de lo anterior: a. Justifique que el sistema es no lineal con respecto a la entrada u b. Linealice alrededor de los valores de equilibrio y determine la función de transferencia V(s)/U(s). Figura 14