CONTROL ANALÓGICO I. MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL Unidad II

Transcripción

1 CONTROL ANALÓGICO I MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL Unidad II

2 Modelado de sistemas Con la finalidad de diseñar y analizar el comportamiento dinámico de un sistema físico, es necesario obtener modelos matemáticos cuantitativos de ellos. Ejemplos de sistemas mecánicos

3 Modelado Cont. Ejemplos de sistemas

4 Modelado Cont.

5 La mayoría de los sistemas de interés en el área de control son de naturaleza dinámica, la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es: n n1 m m1 d y( t) d y( t) d u( t) d u( t) n n1 1 0 m m1 n n m m1 0 a a... a y( t) b b.. b u( t) dt dt dt dt Donde: u es la entrada del sistema y es la salida del sistema

6 Representación a y a y... a y b u b u... b u n n 1 m m 1 n n1 0 m m1 0 Además a 0, a 1,,a n y b 0, b 1,,b m son constantes o funciones del tiempo.

7 Tipos de sistemas Para los sistemas físicos n m, además: Si los coeficientes son constantes, se trata de sistemas lineales invariantes en el tiempo (SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas de suspensión de automóviles, motores eléctricos, etc. Si los coeficientes son variables, se les llama sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes, etc.

8 Ejemplos Analice cada ecuación diferencial y determine tipo de sistema al que pertenece.

9 FUNCION DE TRANSFERENCIA La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen igual a cero. L( y) Y( s) L( u) U( s) Dominio del tiempo m Ys () bms b s... b n U( s) a s a s... a Dominio de la frecuencia n m1 m1 0 n1 n1 0 nm L Ec. Diferencial Ec. Algebraica 1 L

10 Por qué Transformada de Laplace? De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

11 Ejemplos: Obtención de función de transferencia Obtener la función de transferencia de los siguientes sistemas así como los polos y ceros de la misma.

12 OBTENCIÓN DE F.T DE SISTEMAS Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t). R + V i (t) i(t) C + V o (t) - - Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff V ( t) i( t) R V ( t) 0 i 0

13 Además 1 V0 ( t) i( t) dt dv0 C () () t i t C dt Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera dv () t V t RC V t dt 0 i( ) 0( ) 0 dv () t dt 0 RC V0 t V i t ( ) ( )

14 Aplicando L E0( s) RCsE0( s) E i ( s) Factorizando y reacomodando. E () 1 0 s E ( s) RCs 1 Obsérvese que el polo del sistema está localizado en i s 1 RC

15 Función de Transferencia de Elementos en Cascada Se dice que dos elementos están en cascada, cuando la salida del primero corresponde a la entrada del segundo. Hay dos casos: 1. Si los elementos no se cargan. 2. Si el segundo elemento produce un efecto de carga sobre el primero, es decir, si el segundo elemento toma cierta cantidad de potencia del primero.

16 En el primer caso se puede obtener una función de transferencia del sistema simplemente eliminando la salida y entrada intermedias.

17 Si el segundo elemento no carga al primero, obtenemos X s X s X s G s G2 s G1 s X1 s X 2 s X1 s

18 Ejemplo Sea el siguiente sistema eléctrico en cascada mostrado en la figura, obtener V0 la función de transferencia () s Vi () s.

19 Diagramas de bloques Esta representación gráfica permite describir de manera clara el funcionamiento de un sistema real (amplificadores, control de motores, circuitos eléctricos, servomecanismo, hornos, etc.), debido a que muestra como se realiza el flujo de señales dentro del mismo.

20 Elementos básicos Punto de suma: Indica la suma o resta de señales. Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna señal sale a diferentes lugares. R 2 (s) R(s) G(s) C(s) R 1 (s) C(s)=R 1 (s)+ R 2 (s)-r 3 (s) Y(s) Y(s) Y(s) R 3 (s) Y(s) a) b) c) a) diagrama de bloque b) punto de suma c) punto de toma

21 Reglas para reducir diagramas de bloques Una regla para simplificar un diagrama de bloques consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientes. En toda simplificación de diagrama de bloques se deben cumplir las siguientes reglas básicas. El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las flechas) debe permanecer constante. El producto de F.T. a lo largo de un lazo también debe permanecer constante.

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24 Ejemplo Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia Y() s Rs () R(s) H ( s) Y(s) - G ( s) G2( s) G ( s) H ( s) 1

25 Usando regla 6 H ( s) 2 R(s) G ( s) 1 G ( s) G ( s) 2 3 Y(s) 1 G ( s) 1 H ( s) 1

26 Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado H ( s) 1 2 G3( s) R(s) G1( s) G2( s) H1( s) G ( s) 1 G ( s) 3 Y(s) De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos H2( s) G ( s) 3 R(s) G1( s) G2( s) G3( s) Y(s) H1( s) G ( s) 1

27 Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos H2( s) G ( s) 3 R(s) G1( s) G2( s) G3( s) H1( s) 1 G1( s) G2( s) G3( s) G 1( s ) Y(s) Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado R(s) + - G1( s) G2( s) G3( s) 1 G2( s) G3( s) H1( s) G ( s) G ( s) G ( s) H ( s) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G2 s G3 s H1 s G3 s Y(s)

28 Simplificando R(s) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) 1 G ( s) G ( s) H ( s) G ( s) G ( s) H ( s) G ( s) G ( s) G ( s) Y(s)

29 Gráficos de flujo de señal Nodo.- Es un punto de entrada o salida que representa una variable o señal. Nodo fuente.- Este representa las variables independientes del sistema y es un nodo en donde solo existen ramas de salida. Nodo sumidero.- Representa las variables dependientes del sistema y es un nodo en donde solamente hay ramas de entrada. Rama.- Línea con dirección y sentido que conecta dos nodos. Transmitancia.- Es la ganancia de una rama.

30 Camino o trayectoria.- Es un conexión continua de ramas de un nodo a otro, en una dirección acorde con el sentido de las flechas de las ramas. Trayecto o camino directo.-es una trayectoria que conecta a un nodo fuente con un nodo sumidero. Ganancia del trayecto.- Es el producto de las transmitancias de todas las ramas del trayecto. Lazo.- Es un camino o trayectoria cerrada. Ganancia de lazo.- Es el producto de las transmitancias de todas las ramas del lazo. Lazo disjunto.- Es un lazo que no tiene ningún nodo en común con otro lazo, es decir, no se tocan.

31 Semejanzas entre gráficos de flujo de señal y diagramas de bloques Gráfico de flujo de señal Nodo de entrada Nodo de salida rama Transmitancia Nodo Diagrama de bloques Señal de entrada Señal de salida bloque Ganancia del bloque señal -1 R(s) G ( s) + - G ( s) G ( s) C(s) R(s) 1 1 G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) 1 L 1 L 2 C(s) H ( s) 1 L 3 -H 2 (s)

32 Fórmula de ganancia de Mason La fórmula de Mason establece que la ganancia de un sistema esta dada por Donde k = número de trayectos directos. P k = Ganancia de trayectoria de la k-ésima trayectoria directa. 1 L a a L b L c bc def L L L d e f a L a bc L L b c def L L L d e f P 1 Pk Suma de todas las ganancias de lazo individuales. k k = Cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico con los lazos que tocan la trayectoria directa k-ésima eliminados, es decir, el cofactor se obtiene apartir de al eliminar o hacer cero todos los lazos que tocan la trayectoria directa Pk. k Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos. Suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos.

33 Ejemplo -1 R(s) 1 1 G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) 1 L 2 C(s) L 1 L 3 -H 2 (s) Identificando las trayectorias directas, tenemos P G ( s) G ( s) G ( s) En este caso hay tres lazos individuales L G ( s) G ( s) H ( s) L G ( s) G ( s) L G ( s) G ( s) G ( s) H ( s) Como puede observarse, todos los lazos tienen nodos en común, por lo tanto no hay lazos disjuntos.

34 Ejemplo cont. Calculando el determinante del gráfico Sustituyendo valores 1 L L L G ( s) G ( s) H ( s) G ( s) G ( s) G ( s) G ( s) G ( s) H ( s) Como solo hay un trayecto directo, calculamos el único cofactor, tenemos: 1 1 De manera tal que, la ganancia total o función de transferencia es: Cs () P1 1 G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) P R( s) 1 G ( s) G ( s) H ( s) G ( s) G ( s) G ( s) G ( s) G ( s) H ( s)

35 MATRIZ DE TRANSFERENCIA Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u 1, u 2,.., u r y m salidas y 1, y 2,,y m definidos como y1() t u1() t 2() 2() ( ) y t ( ) u t y t U t ym () t ur () t La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o sea Y( s) G( s) U( s) Donde U(s) vector de entradas de orden r Y(s) vector de salida de orden m G(s) matriz de transferencia de orden mxr

36 EJEMPLO DE SISTEMA MIMO SISTEMA DE SUSPENSION DE UN AUTOBUS Auto M 1 x 1 (t) Sistema de suspensión K 1 f v Masa de la suspensión U(t) M 2 x 2 (t) f(t) K 2 Elasticidad de la llanta

37 Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidades Durante el proceso de diseño de control hay que resolver la siguiente disyuntiva. Simplicidad vs. Exactitud

38 Simplicidad vs. Exactitud Que aspectos debemos considerar para modelar un sistema?

39 Simplicidad vs. Exactitud Modelado de un Sebway

40 Simplicidad vs. Exactitud Modelo de un Sebway

41 Se debe establecer un compromiso entre la simplicidad y la exactitud en el resultado del análisis.

42 Prototipo de un Sebway

43 Modelo matemático del prototipo

44 Al plantear un modelo matemático debemos decidir entre: Lineal vs No lineal K depende de x Kk Kk x x m m f f a) b)

45 Ventajas de la linealidad Aplicación del principio de superposición. y(t) u(t) K y(t) u(t) u 1 (t) u 2 (t) K u 1 (t) u 2 (t) K K y 1 (t) y(t)=y 1 (t)+y 2 (t) y 2 (t)

46 Ejemplo de no linealidades y(t) y(t) y(t) y(t) u(t) u(t) u(t) a) Saturación u(t) b) Saturación de amplificador c) Zona muerta d) On- Off

47 Sistemas con parámetros concentrados vs distribuidos x K x K m r m m f f a) b)

48 Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo SLIT SLVT K K x x m m(t) f f a) b)

49 Clasificación de los sistemas de control Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo Estocásticos Dinámicos Determinísticos Estocásticos Parámetros concentrados Parámetros distribuidos Lineales No lineales Coeficientes constantes SLIT Coeficientes variables SLVT Continuo Discreto Primer orden Segundo orden Orden n Sistemas acoplados

50 Modelado de Sistemas de nivel de líquido dh() t q i( t) qo( t) C dt ht () R q () t o 1 dh() t q i( t) h( t) C R dt

51 Sistemas de nível de líquido 1 dh() t q i( t) h( t) C R dt Aplicando la transformada de Laplace 1 Qi( s) H( s) CsH( s) R 1 Qi( s) H( s)( Cs ) R H( s) 1 R Q ( ) 1 i s Cs CRs 1 R

52 Modelado de sistemas eléctricos Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas. Componente Voltaje Corriente Impedancia Z(s) i L L di() t V () t L dt C t 1 v( t) i( t) dt C + V c - 0 R v( t) Ri( t) 1 i( t) v( t) dt L Ls 0 dv() t i() t C dt vt () it () R t 1 Cs R Admitancia Y(s) 1 Ls Cs 1 R G

53 EJEMPLO DE MODELADO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Encontrar la función de transferencia para el circuito mostrado en la figura. i L L R + V i (t) - + C V - c + V 0 (t) - Transformando los elementos en impedancias complejas + V i (s) - I(s) Ls R 1 Cs + V 0 (s) - V0 () s V() s Simplificando i 1 Cs 1 R Ls Cs V () s 1 V s LCs RCs 0 2 i ( ) 1

54 Sistemas mecánicos Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento, dos elementos adicionales como son el resorte y el amortiguador, son empleados en estos sistemas para representar los efectos de torsión y la fricción que puede presentarse. Algunos ejemplos de estos sistemas son: Grúas, Sistemas de suspensión de automóviles, Servomecanismos Brazos manipuladores Sistemas de posición, etc.

55 Modelado de sistema mecánicos Sistema de suspensión de un automóvil F ma dx t d x t f ( t ) Kx( t ) fv m 2 dt dt 2 ( ) ( )

56 Modelado cont. 2 dx( t) d x( t) f( t) - Kx( t) - fv m 2 dt dt Aplicando la transformada de Laplace a cada término (considerando condiciones iniciales igual a cero) F s KX s f sx s ms X s 2 ( ) - ( ) - v ( ) ( ) 2 F( s) X( s) ms fvs K Xs ( ) 1 2 F( s) ms fvs K

57 Modelado usando impedancias mecánicas En general los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga. M Masa Componente Definición Relación Resorte x(t) M f(t) Su análogo es la inductancia w 2 g Es la propiedad que tiene un d x f () t M 2 elemento para almacenar dt 2 Ms energía cinética debido a su movimiento de traslación. x(t) energía potencial, su análogo f ( t) Kx( t) f(t) Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar es un capacitor. Impedancia K Fs () X() s K x(t) f(t) Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad. dx() t f () t fv dt fs v f v Amortiguador

58 Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura, donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa X() s Fs () V() s Fs () del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y. v(t) x(t) K f v M f(t) Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajo la siguiente estructura: Suma de impedancias mecanicas Xs Suma de fuerzas aplicadas

59 F s X s Ms K f s 2 ( ) ( ) v De aquí, tenemos: X( s) 1 F s Ms f s K 2 () v Para el caso de dos grados de libertad: Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas x1 () s Suma de fuerzas conectadas al movimiento de x1 entre x 1 y x 2 aplicadas a x1 Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias mecánicas x2() s Suma de fuerzas entre x 1 y x2 conectadas al movimiento de x2 aplicadas a x2

60 Modelado de sistemas mecánicos rotacionales En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados Componente Definición Relación J Inercia K Resorte torsional T( t ) (t) T( t ) (t) Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación. Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado. T() t d () t dt 2 J 2 2 T( t) K( t) Impedancia Js K T() s () s T( t ) (t) Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular. d () t T() t fv dt fs v f v Amortiguador

61 Modelado de sistemas mecánicos rotacionales Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir la dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las leyes de Newton, la cual establece que: La suma algebraica de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor del eje. Esto puede expresarse mediante la siguiente ecuación. Donde J es la inercia es la aceleración angular Pares J

62 Ejemplo La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha flexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante. () s Determinar la función de transferencia. T ( ) m (t) T m T m s J m Cojinetes primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla T ( t m ) (t) K J m f v

63 Ejemplo El análisis del sistema de la figura se realiza a partir del diagrama de cuerpo libre. () s s 2 J m ms s T ( ) Se observa que 2 m v m J m K s f s v s Suma de impedancias mecánicas conectadas al movimiento en Aplicando suma de pares T s K ( s) f s s J s ( s) s Obteniendo la F.T. 2 J s f s K s T s m () v m s Suma de pares aplicados

64 Tren de engranes Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta situación suelen emplearse los trenes de engranes. () t r N () t r N T ( t) ( t) N T ( t) ( t) N N 1 () t () t 1 2 N 2 T() t 1 N 2 T () t 2 N 1

65 Aplicaciones

66 Aplicaciones: Barreras para estacionamientos BA 1200 ALTA VELOCIDAD: Modelo de alta velocidad y uso intensivo Tiempo de apertura y cierre: 1,2 segundos. El mecanismo posee una transmisión de engranajes que optimiza el funcionamiento del motor logrando una mayor velocidad en el ciclo de maniobra. Este tipo de transmisión simple asegura una vida útil muy prolongada del equipo. Esta diseñada para soportar lanzas de hasta 3 metros, de sección redonda o rectangular. El motor que acciona la barrera tiene una potencia de 1/5 de HP

67 Ejemplo 2 Determine la función de transferencia T1 s () s y 1 T. Considere que N 1 =10, N 2 =20, J = 1 1 s kg-m 2, f v = 1 N-m-s/rad y K = 2 N-m/rad. () s T 1 (t) () t 1 N1 () t 2 T 2 (t) f v J N 2 K

68 solución Podemos eliminar el tren de engranes y obtener el sistema equivalente mostrado en la figura. Posteriormente por inspección encontramos la ecuación de movimiento del sistema. N Js f s K ( s) T ( s) N 2 2 v N2 2() s N1 2 T1 () s Js fvs K 2() s 1 T1 () s N1 N 2 2 Js fvs K

69 Para determinar la otra función de transferencia, podemos expresar función de usando la ecuación () s 1 2( s) 1( s) N N N1 N2 1() s N N T ( s) ( Js f s K) v 1 2 () s 2 en 1() s T1 () s N1 2 N1 N1 J s fv K N2 N2 N2

70 En un tren de engranes las impedancias mecánicas se pueden reflejar de un eje a otro si se multiplica la impedancia mecánica por el factor: Número de dientes del engrane en el eje destino Número de dientes del engrane en el eje fuente 2

71 Ejemplo Determinar la FT 2 T 1 () s s

72 Tren de engranes Para eliminar los engranes con radios grandes, se utiliza un tren de engranes para poner en práctica grandes reducciones al poner en cascada reducciones más pequeñas.

73 Modelado de un Motor de CD Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la figura. R a L a Considerando los siguientes parámetros para el motor: i a Corriente de armadura (Amp) R a Resistencia de armadura () e b (t) Fuerza contraelectromotriz (Volts) T(t) Par del motor (t) Desplazamiento del Motor (Rad) K a Constante del Par (N-m/Amp) L a Inductancia de la armadura (Henrios) V a (t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts) K b (t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg) + V a(t) - i a e b + - T(t) J m f v () t (t) () t t Velocidad angular del motor (rad/seg) Flujo magnético en el entrehierro (Webers) J Inercia del motor (Kg-m 2 ) f Coeficiente de fricción viscosa (N-m-s/rad)

74 Modelado de la parte eléctrica. Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos dia () t Va ( t) Raia ( t) La eb ( t) 0 dt a() Va ( t) Raia ( t) L di t a eb ( t) dt Relación eléctrica-mecánica. La fuerza contraelectromotriz e b (t) se relaciona con la velocidad con la ecuación e ( t) K ( t) b el par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro. T( t) K ( t) i ( t) Si consideramos que el flujo magnético es constante t b a T K i t aa ()

75 Modelado de la parte mecánica. En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por d t d t T() t f J dt dt 2 ( ) ( ) Si consideramos la velocidad como salida entonces () t d () t dt T( t) f ( t) J d() t dt

76 Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones R I ( s) L si ( s) E ( s) V ( s) a a a a b a V a (s) + - E b (s) 1 L a s+r a I a (s) E ( s) K ( s) b b I a (s) K a T(s) T( s) K I ( s) a a T(s) 1 Js+f (s) T( s) Js( s) f ( s) E b (s) K b (s)

77 Representación en diagrama de bloques V a (s) + - E b (s) 1 L a s+r a I a (s) K a T(s) 1 Js+f (s) K b Simplificando () s K a V () s L s R Js f K K a a a a b

78 Motor de CD cont. Si consideramos que la fricción es despreciable y que la inercia incluye la de la carga, tenemos: () s K a V ( s) sj ( R sl ) K K a m a a a b ( s) 1 Va () s 2 La Jm Ra J m Kb s s 1 KaKb KaKb

79 Definiendo los siguientes parámetros m RJ a m KK a L e R a a b Constate de tiempo mecánica Constante de tiempo eléctrica ( s) 1 V s K s s 2 a() b m e m 1 Normalmente m, así s e m e se puede aproximar por, por lo que ( s) 1 V ( s) K s 1 s 1 a b m e

80 Función de transferencia de un servomecanismo Determinar la función de transferencia de un motor de Cd con carga.

81 Calculando la impedancia mecánica equivalente vista en la armadura (eje fuente). Sustituyendo valores

82 De la curva de velocidad-par, determinamos las constantes.

83 Del modelo del motor de CD Sustituyendo valores

84 Para encontrar la FT como Entonces Así

85 Referencias 1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition, Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra Edición, Prentice Hall, D azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, Prentice Hall, Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third Edition, Prentice Hall, 1996.