Control Lineal: Descripciones matemáticas de sistemas y simulacion en MATLAB/Simumlink

Transcripción

1 : Descripciones matemáticas de sistemas y simulacion en MATLAB/Simumlink Dr. J. Fermi Guerrero Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Electrónica Lic. Ciencias de la Electrónica (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 1 / 9

2 Outline (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 2 / 9

3 el diseño Recordatorio de en lazo cerrado Modelación matemática Obtener un modelo del sistema utilizando leyes de la física, química, biología, economía. Dos tipos de modelos pueden ser encontrados: Uno para proponer las leyes de Uno muy detallado para probar la ley de en simulación. Obtener la ley de : P,PI,PID,retroalimentacion de estados, LQR, (en el caso lineal) y Backsteping, Sliding Modes, Lyapunov Based, etc..(en el caso no lineal) Diseñar un observador: Si las medidas no pueden ser obtenidas directamente t por medio de los sensores disponibles, ibl (siempre y cuando el sistema cumpla con la propiedad de observabilidad) Cerrar el lazo de (Feedback) J. Fermi Guerrero Castellanos Verano (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 3 / 9

4 el diseño Recordatorio de en lazo cerrado Modelación matemática Obtener un modelo del sistema utilizando leyes de la física, química, biología, economía. Dos tipos de modelos pueden ser encontrados: Uno para proponer las leyes de Uno muy detallado para probar la ley de en simulación. Obtener la ley de : P,PI,PID,retroalimentacion de estados, LQR, (en el caso lineal) y Backsteping, Sliding Modes, Lyapunov Based, etc..(en el caso no lineal) Diseñar un observador: Si las medidas no pueden ser obtenidas directamente t por medio de los sensores disponibles, ibl (siempre y cuando el sistema cumpla con la propiedad de observabilidad) Cerrar el lazo de (Feedback) J. Fermi Guerrero Castellanos Verano (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 3 / 9

5 Recordatorio En esta sesión Abordaremos el concepto de descripción matemática de los sistemas y específicamente de los sistemas lineales. Para esto veremos dos perspectivas: La descripción entrada-salida La descripción espacio de estado Simulación Veremos como simulamos el comportamiento de estos sistemas utilizando MATLAB/Simulink. Como aún no hemos abordado el, entonces haremos la simulación de estos sistemas en lazo abierto. Utilizando MATLAB Utilizando MATLAB y Simulink Utilizando MATLAB y Simulink y ademàs el toolbox Virtual Reality (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 4 / 9

6 Considere el sistema masa-resorte como el mostrado en la figura: Utilizando las leyes de Newton obtenemos la ecuación diferencial que modela el comportamiento de este sistema. m q + c q + kq = F Multiplicando ambos lados de la igualdad por 1/m y aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales iguales a cero, la función de transferencia es dada por: Q(s) F (s) = 1/m s 2 + c/ms + k/m (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 5 / 9

7 Asignemos valor a los parámetros: m = 1 Kg c = 0.05 N sec/m k = 1 N/sec Utilizando primeramente MATLAB veamos la respuesta a tres entradas clásicas: Escalón F (s) = 1 s Rampa F (s) = 1 s 2 Impulso F (s) = 1 Instrucciones en MATLAB step impulse (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 6 / 9

8 Asignemos valor a los parámetros: m = 1 Kg c = 0.05 N sec/m k = 1 N/sec Utilizando primeramente MATLAB veamos la respuesta a tres entradas clásicas: Escalón F (s) = 1 s Rampa F (s) = 1 s 2 Impulso F (s) = 1 Instrucciones en MATLAB step impulse No existe instrucción para la rampa Solución: Puesto que para la rampa tenemos que F (s) = 1 s entonces redefiniremos la 2 entrada F 1(s) = 1 s (señal escalón) y escribimos la siguiente función de transferencia: ( ) Q(s) F = 1/m 1 1(s) s 2 + c/ms + k/m s Ahora si podemos simular el comportamiento del sistema con una entrada rampa por medio de la instruccion step. (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 6 / 9

9 Considere el sistema masa-resorte como el mostrado en la figura: Utilizando las leyes de Newton obtenemos la ecuación diferencial que modela el comportamiento de este sistema. m q + c q + kq = F Escogiendo las variables de estado como: x 1 = q y x 2 = q, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ẋ1 0 1 x1 0 = + 1 F ẋ 2 x 2 m k m c m y = ( 1 0 ) ( x 1 x 2 ) (1) (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 7 / 9

10 Analizando el sistema por componentes ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = k m x 1 c m x m F La salida estará dada por: y = x 1 (2) (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 8 / 9

11 La ecuación que rige la dinámica de este sistema es: donde l es la longitud de la cuerda m es la masa b es el coeficiente de fricción T es el torque o el par aplicado J θ = lmg sin(θ) l 2 b θ + T J = ml 2 es el momento de inercia Sea x 1 = θ y x 2 = θ, entonces la representación en espacio de estados de las siguientes ecuaciones es: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 1 J [ lmg sin(x1) bl 2 x 2 + T ] = g l sin(x 1) b m x2 + 1 l 2 m T (BUAP) Lic. Ciencias de la Electrónica 9 / 9