Trabajo 3: Funciones de transferencia en Matlab

Transcripción

1 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Análisis de Sistemas y Señales Trabajo 3: Funciones de transferencia en Matlab Alumnas: García Luciano Laura Rojas Arteaga Karina Grupo: 04 Profesora: M.I. Elizabeth Fonseca Chávez. Fecha de entrega: 30-Abril-2008.

2 1.-Teniendo el modelo de la siguiente manera encontrar su función de transferencia: Una partícula de masa m unido a un resorte horizontal de constante K, cuando el cuerpo es empujado con una fuerza F. Encontrar su función de transferencia. Sabemos que K =0.3 y m=3 [Kg.] Y B=0.1 X0(t) K Xi(t) m F(t) xk B Para poder determinarla se necesitan unas ecuaciones de leyes de elementos que son: Fk=K xk.(1) Xk=Xi (t)-x0(t) (2) Vemos que: Fk=K(Xi (t))- K(X0 (t))...(3) Ley elemento de respuesta resorte Fricción: FB=B..(4) Fm=m (5) Leyes de conjunto: =0 =0 F(t)= Fk.(6) Fk= Fm+ FB.(7) De (6) F(t)= K[(Xi (t))- (X0 (t))]..(8) entonces (9) se convierte en entrada y f(t) en variable implícita K[(Xi (t))- (X0 (t))] = m + B..(9) Agrupando y ordenando m + B + KX0(t)=KXi(t) Normalizando (esto es dividir todo entre m) + + X0(t)= Xi(t) y Transformando la ecuación en Laplace S 2 S - + [S - 0 ]+ X0(S)= Xi(S) Agrupando: s S X0(S) = Xi(S) + 0

3 Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. X0(s) = Xi(s) + X0(0) Despejando la función de transferencia: H(s) = = Una vez teniendo la función de transferencia sustituimos los valores K, m y B que son constantes entonces tenemos que H(s) es: H(s) = = = Dado el sistema donde se halló su función de transferencia encontrar: a) Respuesta Impulso b) Respuesta escalón

4 Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. c) Respuesta ruido d) Respuesta en frecuencia Convertir mediante Matlab la función de transferenciaa en: Para comenzar a transformar hacemos la función de transferencia en términos de t haciendo lo siguiente:

5 Partiendo de esto hacemos Z F L F

6 F L L Z F Z Pasar de T a S

7 Pasar de T a Z Pasar de T a F

8 2.-El carrito con un péndulo invertido, se muestra bajo, es empujado con una fuerza impulsiva, F. Determinemos las ecuaciones dinámicas de movimiento del sistema, y linealizar cerca del ángulo del péndulo, θ. Encontrar un controlador para satisfacer todos los requerimientos de diseño dados arriba. Teniendo estos datos: M masa del carro 0.5 kg m masa del péndulo 0.5 kg b fricción del carro 0.1 N/m/seg l longitud al centro de masa del péndulo 0.3 m I inercia del péndulo kg*m^2 F fuerza aplicada al carro x coordenadas de posición del carro θ ángulo del péndulo respecto de la vertical Haciendo el análisis de fuerzas y realizando los sistemas de ecuaciones. D.C.L. Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la dirección horizontal, se obtiene la siguiente ecuación del movimiento: Sumando los momentos sobre el centroide del péndulo para obtener la siguiente ecuación: Se obtiene la segunda ecuación dinámica:

9 La linealización las dos ecuaciones de movimiento serán: (u representa la entrada) Para obtener analíticamente la función de transferencia de las ecuaciones del sistema linealizado, debemos tomar primero la transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema. Las transformadas de Laplace son: Re-ordenando, la función de transferencia es: Donde La función de transferencia de este sistema es: Sustituyen do los valores constantes obtenemos la función de transferencia completa:

10 Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Realizando las operaciones necesarias obtenemos que la Función de Transferencia es la siguiente: Dado el sistema donde se halló su función de transferencia encontrar: e) Respuesta Impulso f) Respuesta escalón

11 Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. g) Respuesta ruido h) Respuesta en frecuencia Convertir mediante Matlab la función de transferenciaa en: Para comenzar a transformar hacemos la función de transferencia en términos de t haciendo lo siguiente:

12 Z F L F F L

13 L Z F Z Pasar de T a S

14 Pasar de T a Z Pasar de T a F

15 3.- Despreciando la inercia de las ruedas, y si se asume que la fricción (la cual es proporcional a la velocidad del auto) es tal que se opone al movimiento del auto, entonces el problema se reduce al sistema simple de masa y resorte. m u v a Usando la ley de Newton, las ecuaciones de modelado para este sistema son: (1) u: fuerza m= 100[kg] u = 50[N] b=20 Transformada de Laplace de las ecuaciones del modelo (1). Para condiciones iniciales nulas. Como nuestra salida es la velocidad, sustituyamos V(s) en términos de Y(s) La función de transferencia del sistema es: 1 Como m y b son constantes sustituimos para tener la función de transferencia:

16 Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. Dado el sistema donde se halló su función de transferencia encontrar: i) Respuesta Impulso j) Respuesta escalón k) Respuesta ruido

17 Trabajo 3: Funciones de Transferencia en Matlab. l) Respuesta en frecuencia Convertir mediante Matlab la función de transferenciaa en: Z F

18 L F F L L Z

19 F Z Pasar de T a S Pasar de T a Z Pasar de T a F

20 Ejercicio 1 (Respuestas Impulso, Escalón, Frecuencia y Ruido) Código en Matlab num = [1]; den1 =[ ]; k=0.1 den = den1; roots(den); roots(num); [ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den); [num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan); t = [0:.3:4]'; y = step(num,den,t); plot (t,y); figure(1) title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(2) impulse ( num,den,t); title ('RESPUESTA A UN IMPULSO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(3) noise = rand(size(t)); y = lsim ( num,den,noise,t); plot (t,y,t,noise); title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO'); xlabel ('tiempo(seg)'); grid; f=15; w=2*pi*f; factor=16; fs=factor*f; t=0:1/fs:2*(1/f); frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1; y=sin(w*t); yw=fft(y); figure(5); subplot(2,1,1);plot(t,y); subplot(2,1,2);plot(frec,abs(yw));

21 Ejercicio 2 (Respuestas Impulso, Escalón, Frecuencia y Ruido) num = [ ]; den1 =[ ]; den = den1; roots(den); roots(num); [ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den); [num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan); t = [0:.3:4]'; y = step(num,den,t); plot (t,y); figure(1) title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(2) impulse ( num,den,t); title ('RESPUESTA A UN IMPULSO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(3) noise = rand(size(t)); y = lsim ( num,den,noise,t); plot (t,y,t,noise); title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO'); xlabel ('tiempo(seg)'); grid; f=15; w=2*pi*f; factor=16; fs=factor*f; t=0:1/fs:2*(1/f); frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1; y=sin(w*t); yw=fft(y); figure(5); subplot(2,1,1);plot(t,y);

22 Ejercicio 3 (Respuestas Impulso, Escalón, Frecuencia y Ruido) num = [1]; den1 =[100 20]; den = den1; roots(den); roots(num); [ceros,polos,gan] = tf2zp (num,den); [num,den] = zp2tf (ceros,polos,gan); t = [0:.3:4]'; y = step(num,den,t); plot (t,y); figure(1) title ('RESPUESTA A UN ESCALON UNITARIO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(2) impulse ( num,den,t); title ('RESPUESTA A UN IMPULSO'); xlabel ( 'tiempo (seg)'); grid; figure(3) noise = rand(size(t)); y = lsim ( num,den,noise,t); plot (t,y,t,noise); title ('RESPUESTA A UN RUIDO ALEATORIO'); xlabel ('tiempo(seg)'); grid; f=15; w=2*pi*f; factor=16; fs=factor*f; t=0:1/fs:2*(1/f); frec=0:(factor*f)/length(t):factor*f-1; y=sin(w*t); yw=fft(y); figure(5); subplot(2,1,1);plot(t,y);