Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento Académico de Ingeniería Aplicada

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1 Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento Académico de Ingeniería Aplicada CONTROL MODERNO Y ÓPTIMO (MT 7C) Clase - Elizabeth Villota Cerna Semestre 9 I - UNI 3/7/9 Resolviendo la ARE usando el Método del Autovector A continuación presentamos un método para resolver la ARE referido como el método del autovector Comenzamos representando la ARE de la forma A BR B T In P In Q A T = (6) P La matriz n n en la mitad es denominada de matriz Hamiltoniana usamos el símbolo H para denotar a la matriz Hamiltoniana, esto es, A BR H = B T Q A T Entonces, la ARE puede ser representada como P In H In P = Si premultiplicamos la ecuación arriba por X y luego postmultiplicamos esta por X, donde X es una matriz no singular n n, X P X X H = (7) Observese que si pudieramos encontrar matrices X y tal que X X H = Λ, luego la ecuación (7) resulta en X P X X Λ = Luego hemos reducido el problema de resolver la ARE a aquel en el que construimos matrices X y apropiadas Continuando, sea v i el autovector de H y sea s i el autovalor correspondiente; entonces Hv i = s i v i Si asumimos que H tiene al menos n autovalores reales distintos entre sus n autovalores (Los resultados obtenidos pueden ser generalizados para el cado cuando los autovalores de H son complejos o iguales) Entonces, podemos escribir s H s v v v n = v v v n s n Sea y X = v v v n s s Λ = s n

2 La selección de X y constituye una posible solución de la ecuación X P X X Λ = Para construir P, particionamos la matriz de autovectores v v v n de orden n n en dos submatrices de orden n n como sigue W v v v n = Z Luego, X = W Z Tomando X = W y = Z y asumiendo que W es invertible, obtenemos P = ZW (8) Ahora tenemos que elegir que conjunto de n autovalores elegir, dentro de todos los autovalores de H, para poder contruir P En el caso en que los n autovalores de H son diferentes, el número de matrices P generadas con el método descrito arriba son (n)! (n!) Sea Q = C T C una factorización de rango completo de Q Del Teorema 3 de Kucera (ver referencias al final) se concluye que la matriz Hamiltoniana H tiene n autovalores en el semiplano complejo izquierdo y n en el semiplano complejo derecho si y sólo si el sistema como definido en () es estabilizable y detectable La matriz P que nosotros buscamos corresponde a los autovalores asintóticamente estables de H Con P construido como deseado, tenemos el siguiente resultado Teorema Los polos del sistema en lazo cerrado ẋ(t) = (A BR B T P)x(t) son aquellos autovalores de H que tienen parte real negativa Demostración Siendo que W v v v n =, podemos escribir Z A BR B T W W Q A T = Λ Z Z Realizando las multiplicaciones apropiadas de bloques de matrices n n resulta o AW BR B T Z = WΛ, A BR B T ZW = A BR B T P = WΛW, dado que P = ZW Entonces, la matriz A BR B T P es similar a la matriz Λ cuyos autovalores son los autovalores asintóticamente estables de H Luego, la demostración ha sido completada Ejemplo Considere el siguiente modelo de un sistema dinámico ẋ = x + u, asi como el índice de desempeño asociado J = ( + ru )dt Encuentre el valor de r tal que el sistema en lazo cerrado óptimo tenga un polo en 3 Clase -, pág

3 Formamos la matriz Hamiltoniana asociada A BR H = B T Q A T La ecuación característica de H es = r det(si H) = s r = Luego, r = 5 resulta en el sistema en lazo cerrado óptimo teniendo su polo localizado en 3 3 Ejemplo Considere un modelo simple de un robot manipulador como mostrado en la Fig El movimiento del brazo del robot es controlado por un motor DC a través de un engranaje El motor DC es controlado por armadura y su figura esquemática es presentada en la Fig Asumimos que el momento de inercia del motor es despreciable en comparación con el del brazo del robot Modelamos el brazo como una masa puntual m ubicada en el extremo final de la barra (sin masa) de longitud l Entonces el momento de inercia del brazo I b = ml Asumimos que el tren de engranajes no tiene juego, y que todos los ejes conectores son rígidos Como podemos ver de la Fig, la rotación del brazo en sentido contrario a las agujas del reloj es definida como positiva, y la rotación siguiendo las agujas del reloj es considerada como negativa; mientras que la rotación del eje del motor en sentido contrario a las agujas del reloj es definida como negativa, y la rotación del eje siguiendo las agujas del reloj es definida como positiva El torque entregado por el motor es T m = K m i a, donde K m es la constante del torque del motor, y i a es la corriente de armadura Sea N la razón de los engranajes Luego tenemos: θ p radio del engranaje del motor número de dientes del engranaje del motor = = θ m radio del engranaje del brazo número de dientes del engranaje del brazo = N Mass m p Massless rod of length l : N DC motor Gear u Control voltage Figura : Robot manipulador controlador por un motor DC via un engranaje Esto ocurre puesto que los engranajes estan en contacto y luego θ p radio del engranaje del brazo = θ m radio del engranaje del motor, y los radios de los engranajes son proporcionales a sus números de dientes El trabajo realizado por cada engranaje debe ser igual Sea T p que denota el torque aplicado al brazo del robot Entonces, T p θ p = T m θ m Clase -, pág

4 u L a R a i a e b back emf m motor shaft position Armature circuit i f constant Field circuit Figura : Figura esquemática de un motor DC controlado por armadura Entonces, el torque aplicado al péndulo es T p = NT m = NK m i a Usando la segunda Ley de Newton para escribir la ecuación que modela la dinámica del brazo, I b d θ p dt = mgl sinθ p + T p (9) Sustituyendo en (9) las expresiones para I b y T p y luego rearreglando tenemos ml d θ p dt = mgl sinθ p + NK m i a () donde g = 9,8m/s es la aceleración de la gravedad Aplicado la Ley de Kirchhoff (voltaje) al circuito de armadura resulta en di a L a dt + R ai a + K b N dθ p dt = u, donde K b es la constante emf Asumiendo que L a Entonces, u = R a i a + K b N dθ p dt, () A continuación calculamos i a de () y sustituimos el resultado en () para obtener ( ml d θ p dt = mgl sin θ u p + NK m K ) bn dθp dt () R a Ahora podemos construir el modelo de espacio de estados para el robot de un brazo Escogiendo los siguientes estados y variables de salida: x = θ p, = dθ p dt = ω p, y y = x Entonces, usando (), obtenemos el siguiente modelo de espacio de estados simple del robot manipulador: ẋ ẋ = ml R a R a g l sin x K bk mn + NKm ml R a u y = x Parámetros razonables para el robot son: l = m, m = kg, N =, K m =,Nm/A, K b =,Vsec/rad, R a = Ω Usando los valores de los parámetros el modelo del robot toma la siguiente forma: ẋ x = 9,8sin x + u ẋ y = x Respuestas en el tiempo para las trayectorias de estado del sistema no lineal sin control, u =, son mostrados en la Fig 3 para las condiciones iniciales x () = y () = Un plano de fase del sistema no lineal sin control es mostrado en la Fig El modelo linealizado alrededor de x =, u = tiene la forma d dt x = 9,8 y = x x + u, (3) Clase -, pág 3

5 5 3 x x, Time (sec) Figura 3: Gráficas de y = x y versus tiempo para el sistema no lineal sin control x Figura : Un plano de fase del sistema no lineal sin control En la Fig 5 son mostradas las gráficas de y = x y versus tiempo para el sistema lineal sin control Un plano de fase del sistema linealizado es mostrado en la Fig 6 Sea J = (y + u )dt Encontraremos una ley de control lineal por realimentación de estados u = kx que minimice J sujeto a las ecuaciones dadas por (3) Tenemos Q = c T c = y R = 5 5 x, x Time (sec) Figura 5: Gráficas de y = x y versus tiempo para el sistema linealizado sin control Clase -, pág

6 x Figura 6: Un plano de fase del sistema linealizado sin control Resolviendo la ecuación de Riccati, se define la matriz Hamiltoniana asociada como A BR H = B T Q A T = 9,8 9,8, y calculando los autovalores y autovectores de H tenemos que = H,33,85,6,96,998,77,999,339,,996,69,9555,66,373,36,58,33,85,6,96,998,77,999,339,,996,69,9555,66,373,36,58,73 3,68 3,68,73 Identificando los autovectores correspondientes a los autovalores con parte real negativa se puede definir,6,96,69,9555 W = y Z =,,999,339,36,58 luego sabiendo que P = ZW se obtiene P = 7,337 9,659 9,659 5,38 () Entonces y A c = k = 9,659 5,38 (5) 9,859 6,38 x Las gráficas de x y versus tiempo del sistema en lazo cerrado ẋ = (A bk)x = A c x y = x, cuando las condiciones iniciales son x () = y () =, son mostradas en la Fig 7 Un plano de fase del sistema linealizado en lazo cerrado es mostrado en la Fig 8 Aplicando el controlador óptimo al modelo no lineal, las gráficas de x y versus tiempo para el sistema no lineal en lazo cerrado son mostradas en la Fig 9 Un plano de fase del sistema no lineal en lazo cerrado es mostrado en la Fig Los polos del sistema linealizado en lazo cerrado -esto es, los autovalores de A c - son λ =,73 y λ = 3,68 Clase -, pág 5

7 5 x, 5 x 5 3 Time (sec) 5 Figura 7: Gráficas de x y versus tiempo para el sistema linealizado en lazo cerrado x Figura 8: Un plano de fase del sistema linealizado en lazo cerrado 5 x x, Time (sec) Figura 9: Gráficas de x y versus tiempo para el sistema no lineal en lazo cerrado x Figura : Un plano de fase del sistema no lineal en lazo cerrado Clase -, pág 6

8 3 Ejemplo Aeronave de Impulsión Considere la dinámica original de la aeronave de impulsión presentada en clases anteriores, escrita en la forma espacio de estados como: z z 5 dz dt = z 6 g sinθ c m z + g cos θ c m z m 5 cos θf m sin θf m sin θf + m cos θf r J F Los parámetros del sistema son m = kg, J =,75kgm, r =,5m, g = 9,8m/s, c =,5Ns/m, que corresponde a un modelo escalado del sistema El punto de equilibrio para el sistema está dado por F =, F = mg y z e = (x e,y e,,,,) Para derivar el sistema linealizado cerca del punto de equilibrio, calculamos el sistema linealizado: A = g c/m c/m C =, B =, D = Haciendo z = z z e y v = u u e, el sistema linealizado está dado por: Se puede verificar que el sistema es alcanzable dz dt y = Az + Bv, = Cz m m r J Para calcular el regulador cuadrático lineal para el sistema, escribimos la función costo como: J = (z T Qz + v T Rv)dt, donde z = z z e y v = u u e representan las coordenadas locales en torno al punto de equilibrio (z e,u e ) Comenzamos con matrices diagonales para los costos del estado y la entrada: Q =, R = Luego la ley de control de la forma v = Kz será usada para derivar la ley de control en términos de las variables originales: u = v + u e = K(z z e ) + u e Como especificado en clases anteriores, los puntos de equilibrio corresponden a u e = (,mg) y z e = (x e,y e,,,,) La respuesta del controlador a un cambio de la función escalón para la posición deseada es mostrada en la Fig a La respuesta puede ser afinada cambiando los pesos en la función de costo La Fig b muestra la respuesta en la dirección x para diferentes selecciones del peso ρ, siendo que R = ρi Propiedades de robustez del diseño LQR Un sistema de control que usa el regulador cuadrático lineal presenta las siguientes características de robustez Esto es, los margenes de estabilidad de la matriz de funciones de transferencia en lazo abierto L(s) = K(sI A) B (equivalentemente, las condiciones para que + L(iω) > ) están dados por: Clase -, pág 7

9 Position x, y m 5 x y 6 8 Time t s (a) Step response in x and y Position x m 5 6 Time t s 8 (b) Effect of control weight ρ ρ Figura : Respuesta al escalón de una aeronave de impulsión La Fig a muestra las posiciones x e y de la aeronave cuando se le comanda moverse m en cada dirección En Fig b se muestra el movimiento x variando los pesos de control ρ =,, Un peso más grande en el término de control de la función costo causa una respuesa más lenta Margen de ganancia (GM): < GM < Margen de fase (PM): PM > 6 o La Fig presenta el diagrama de Nyquist de la función de transferencia en lazo abierto L(s) para un modelo simplificado de un satélite A =, B =, C =, D = Figura : Diagram de Nyquist mostrando margenes de estabilidad del LQR 5 Regla de Bryson para selección de matrices Q y R Una elección inicial de las matrices diagonales Q y R es la siguiente: Q ii = /máximo valor aceptable de i R ii = /máximo valor aceptable de u i Fuente: Capítulo 5 del libro Systems and Control de Stanislaw H Zak, Oxford University Press, 3 Fuente: Capítulo 6 del libro Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J Åström y Richard M Murray Clase -, pág 8