Prof. Virginia Mazzone - Mariana Suarez

Transcripción

1 SISTEMAS NO LINEALES SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Prof. Virginia Mazzone - Prof. Mariana Suarez 1 Introducción Método de isoclinas Ejemplos 3

2 Introducción Un sistema de segundo orden autónomo está representado por ẋ 1 = f 1 (x 1,x ) ẋ = f (x 1,x ) La solución x(t) = (x 1 (t),x (t)), con condiciones iniciales x(0) = (x 10,x 0 ), x(t) se llama trayectoria u órbita. Pueden ser representadas por curvas en el plano x 1 x. Permiten una fácil visualización del comportamiento cualitativo del sistema. Presentar en forma sencilla alguna de las ideas básicas de los sistemas no lineales. El plano x 1 x se lo conoce como plano de fase

3 Introducción Método de isoclinas Usando notación vectorial ẋ = f (x) donde f (x) es un campo vectorial. El campo vectorial en un punto es tangente a la trayectoria en el punto Podemos construir el retrato de fase comenzando en x 0 desde el diagrama del campo vectorial.

4 Método de isoclinas Método de isoclinas La pendiente de una trayectoria en cualquier punto dado x, denotada por s(x), está dada por s(x) = f (x 1,x ) f 1 (x 1,x ) (1) La ecuación s(x) = c isoclina () define una curva en el plano x 1 x, donde las trayectorias del sistema tienen pendiente c.

5 Ejemplo 1: Péndulo sin fricción Método de isoclinas ẋ 1 = x ẋ = senx 1 s(x 1,x ) = senx 1 x = c x = 1 c senx / 1/ x 0 x / 1/ x x 1

6 Ejemplo : Péndulo con ficción Método de isoclinas ẋ 1 = x ẋ = 0,5x senx 1 isoclinas: x = 1 0,5 + c senx 1 (3) 3 3 c= 0.5 c= 1 c= 0.5 c= 1 1 c= c= 1.5 x 0 x 0 c=1 c=1 1 1 c=0 c= x x 1

7 Consideremos el sistemas lineal invariante en el tiempo La solución viene dada por ẋ = Ax con A R x(t) = Me J r t M 1 x 0, donde J r = M 1 AM J r es la forma de Jordan real y M no singular. Dependiendo de los autovalores de A, la forma de Jordan real ] es [ λ1 0 0 λ ] [ λ k 0 λ β ] [ α β α

8 Síntesis de retrato de fase en sistemas lineales Tomando τ = traza(a) y = det(a), los autovalores viene dados por λ i = τ ± τ 4

9 En muchos casos el comportamiento local de un sistema no lineal cerca de un punto de equilibrio se puede inferir a partir del comportamiento del sistema linealizado alrededor del punto Pensemos en un sistema lineal bajo perturbaciones, en particular lineales. Supongamos que A tiene autovalores distintos. Consideramos A + A, donde A es una matriz diagonal cuyos elementos son magnitudes arbitrariamente pequeñas. Los autovalores de una matriz dependen en forma continua de sus parámetros. Es decir dado ε > 0, δ > 0 tal que si la magnitud de la perturbación en menor que δ, los autovalores de la matriz perturbada A + A, están en una bola de radio ε y centro en los autovalores de A.

10 (Cont.) [ ] [ ] [ ] λ1 0 µ 0 λ1 + µ 0 A = ; A = ; A+ A = ; 0 λ 0 µ 0 λ + µ Si µ < δ, λ i λ i < ε, siendo λ i autovalores de A + A. λ 1 ε λ 1 ε λ 1 λ 1 1

11 (Cont.) Luego si el equilibrio del sistema lineal ẋ = Ax es un nodo, foco o punto silla, el equilibrio del sistema perturbado ẋ = (A + A)x será del mismo tipo. Si en[ cambio ] el equilibrio es un [ centro, ] por ejemplo 0 1 µ 1 J =, luego J + J =, con µ λ 1, = µ ± j Si µ > 0 el sistema perturbado tiene un foco inestable y si µ < 0 el foco es estable. Los equilibrios tipo nodo, foco y punto silla se llaman puntos de equilibrio estructuralmente estable o PUNTO DE EQUILIBRIO HIPERBÓLICO

12 x 1 x Diagrama de fase x 1 Introducción Un sistema no lineal puede tener múltiples equilibrios aislados Ecuaciones del péndulo con fricción ẋ 1 = x ẋ = x senx 1 PE (kπ,0), k Z 10 Diagrama de fase x

13 Comportamiento cualitativo cerca de los puntos de equilibrio Consideremos ẋ 1 = f 1 (x 1,x ) = f 1 (p 1,p ) + a 11 (x 1 p 1 ) + a 1 (x p ) + T.O.S ẋ = f (x 1,x ) = f (p 1,p ) + a 1 (x 1 p 1 ) + a (x p ) + T.O.S donde p = (p 1,p ) es PE, entonces f 1 (p 1,p ) = f (p 1,p ) = 0, y a ij = f i (x 1,x ) x j x=p Con el cambio de coordenadas y 1 = (x 1 p 1 ) e y = (x p ) se obtiene ẏ 1 = a 11 y 1 + a 1 y + T.O.S ẏ = a 1 y 1 + a y + T.O.S

14 En un entorno suficientemente pequeño de y = 0 ] [ ][ ] [ẏ1 a11 a = 1 y1 es decir ẏ = Ay ẏ a 1 a y con [ ] f1 f 1 x A = 1 x x=p = f x x=p Jacobiano f x 1 f x Nota Si f 1 y f tienen derivada parciales continuas en un entorno de p y el sistema linealizado es un nodo estable (inestable) con autovalores distintos, un foco estable (inestable) o un punto silla, entonces en un entorno pequeño del equilibrio las trayectorias del SNL se comportarán como un nodo estable (inestable), un foco estable (inestable) o un punto silla.

15 Ejemplo péndulo con fricción Sea ẋ 1 = x ẋ = 0,5x senx 1 donde f (x) x [ ] 0 1 = cosx 1 0,5 evaluando el jacobiano el los puntos de equilibrio, resulta f (0,0) x f (±π,0) x [ ] 0 1 = 1 0,5 [ ] 0 1 = 1 0,5 λ 1, = 0,5 ± 0,97j { λ 1 = 1,8 λ = λ = 0,78 El equilibrio (0,0) es un foco estable del sistema. Los equilibrios (±π, 0) son puntos sillas.

16 Otro ejemplo Introducción Consideremos el sistema ẋ 1 = x µx 1 (x 1 + x ) ẋ = x 1 µx (x 1 + x ) (0,0) es equilibrio Calculamos el Jacobiano [ ] f (0,0) 0 1 = x 1 0 cuyos autovalores son ± j Entonces x = 0 es un centro del sistema linealizado.

17 Nota No podemos inferir el comportamiento del equilibrio del sistema no lineal En coordenadas polares r = x1 + x tgθ = x x 1 el sistema resulta {ṙ = µr 3 θ = 1 foco estable si µ > 0 inestable si µ < 0

18 Teorema de Hartman-Grobman Teorema Consideremos el sistema no lineal planar ẋ = t(x), con f suficientemente suave. Supongamos que x 0 es un punto de equilibrio del sistema y que A = f x x=x 0 no tiene autovalores nulos o imaginarios puros. Entonces existe un difeomorfismo h definido en un entorno del equilibrio U de x 0 (h : U R ) de modo tal que lleva las trayectorias del sistema no lineal sobre las del sistema linealizado. En particular h(x 0 ) = 0.