Métodos matemáticos para el análisis de epidemias y propagación de gusanos en redes de sensores inalámbricos

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1 FACULTAD DE CIENCIAS CARRERA DE MATEMÁTICAS Métodos matemáticos para el análisis de epidemias y propagación de gusanos en redes de sensores inalámbricos PAOLA VARGAS BERNAL Director: RENATO COLUCCI Ph.D. PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE CIENCIAS CARRERA DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. NOVIEMBRE, 2013.

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3 FACULTAD DE CIENCIAS CARRERA DE MATEMÁTICAS Métodos matemáticos para el análisis de epidemias y propagación de gusanos en redes de sensores inalámbricos PAOLA VARGAS BERNAL TRABAJO DE GRADO Presentado como requisito para obtar al titulo de MATEMÁTICA PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE CIENCIAS CARRERA DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. NOVIEMBRE, 2013.

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5 Dedicado a Mis padres, Luis Alfonso Vargas, Cecilia Bernal, a mi hermana Fernanda Vargas, a mi gran amigo Juan Sebastian y a todos mis amigos que siempre me han apoyado y acompañado. I

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7 Índice general Lista de figuras V 1. Introducción 1 2. Introducción a Dinámica Puntos fijos Estabilidad Linealización Función de Liapunov Variedades invariantes Subespacios estables, inestables y centrales de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Variedades estables, inestables y centrales de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales Órbitas periódicas Comportamiento asintótico: estudio cualitativo Teorema de Poincaré-Bendixson: sistemas en el plano R Caso general: sistemas en R n Análisis global: Isoclinas Modelos de epidemiología Modelo SIR Modelo SIRS Vacunación El número de reproducción básico Modelo de vacunación Modelo de propagación de gusanos en WSN Análisis del modelo de propagación de gusanos en WSN Conclusiones 75 III

8 IV ÍNDICE GENERAL Bibliografía 77

9 Índice de figuras 2.1. El campo vectorial en la frontera de U Curvas de nivel de V Curva de nivel de V y V Selección de las trayectorias y vecindades de la prueba del teorema Variedad estable e inestable en (x,y)=(0,0) El punto x 0 γ es el punto ω-límite de x Un pedazo de la órbita O + (p) entre lo puntos p i 1 a p i Selección de las trayectorias y curvas de trasversas para la prueba del Lema Conjunto de atracción Las isoclinas y el punto fijo Dirección del campo vectorial en todo el plano Diagrama fase del sistema Diagrama de flujo Isoclinas y dirección del campo vectorial en el modelo SIR Diagráma de fase del sistema SIR Diagrama de flujo La región y la dirección del campo vectorial sobre su frontera Isoclinas y diagrama de fase del sistema SIRS La región y la dirección del campo vectorial sobre su frontera Estructura del WSN Relaciones de los nodos Región V

10 VI ÍNDICE DE FIGURAS

11 Capítulo 1 Introducción El ser humano siempre ha sido vulnerable al contagio de enfermedades, tales como la malaria, la tuberculosis, el sarampión, la gripe, la viruela, entre otras. Esto ha sido de preocupación y de estudio para el hombre ya que a través de la historia se han presentado las denominadas plagas que han repercutido directa e indirectamente en la caida de los grandes imperios como el imperio Romano, el imperio Han en China, el imperio Inca y Azteca por citar algunos. Uno de los casos más sobresalientes sobre pestes, fue la famosa muerte negra, que afecto aproximadamente a un tercio de la población europea [4]. En la segunda mitad del siglo XIX, con el desarrollo de la bacteriología por parte de Pasteur y Koch se muestran en sus trabajos las primeras pautas de la trasmición de enfermedades infecciosas. En 1906, Hammer propone que un factor importante en las epidemias es el promedio de contacto entre los individuos susceptibles e infectados, donde el primero son las personas vulnerables a contagiarse y el segundo aquellos que tienen la enfermedad [5]. Para 1927, Kermack y McKendrick formulan un modelo simple en la matemática epidemiológica, conocido como modelo SIR, el cual es un modelo compartimental que se basa en la razón de flujo entre los miembros de las clases susceptibles, infectados y recuperados[4]. En este modelo se asume que luego de recuperarse de la enfermedad, el individuo ya no se volverá a contagiar de esta. Las enfermedades que se comportan de esta manera, son las causadas por virus como el sarampión o la varicela que cumplen con el esquema del SIR. Después, se desarrolla un modelo más complejo, llamado SIRS, en el cual se asume que el individuo que ya se ha recuperado de la enfermedad, puede volver a ser vulnerable a la misma, es decir, esta persona puede volver a adquirir la enfermedad. Las enfermedades que tienen este comportamiento son las causadas por bacterias como la tuberculosis, pero dentro de este grupo también esta por ejemplo la gripe causada por otro tipo de agente [2]. 1

12 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Estos modelos no sólo analizan la propagación de enfermedades, si no que también se sirven de otras áreas como la informática para poder modelar como en este caso la propagación de gusanos en redes de sensores inalámbricos. Y es por eso que este documento de trabajo, tiene como propósito el análisis dinámico de este punto específico, ya que este proceso es similar a la propagación de virus. Los gusanos son códigos computacionales que dañan o roban información y las redes de sensores inalámbricos son una colección de nodos que tienen energía y comunicación limitada. El modelo de propagación de gusanos en redes inalámbricas, consiste en un modelo mejorado del SIR, en el cual los nodos infectados, es decir, los que tienen algún tipo de gusano, sólo pueden infectar a los nodos que esten susceptibles y sean vecinos de este. Además, cuando los nodos se comunican entre ellos, consumen energía de una micro-batería no recargable que tiene cada nodo; una vez se agota la energía de un nodo, este pasará a ser un nodo muerto en el sistema. Los nodos muertos no participan en el proceso de propagación de gusanos, es decir, que ya no pueden ser infectados. A este nuevo modelo se le llamará modelo isirs [3]. Esta tesis tiene la siguiente estructura: en el segundo capítulo se hace una introducción a la dinámica, en donde se desarrolla toda la teoría matemática para poder estudiar y analizar un sistema dinámico; se empieza con un análisis local del sistema, es decir, haciendo un estudio sobre una vecindad de los puntos fijos. También se estudian las órbitas periódicas que son otro tipo de soluciones del sistema, y los conjuntos ω y α límites, y se enuncian y demuestran teoremas como el teorema de Poincaré-Bendixson o el criterio de Bendixson-Dulac. Además, se habla de conjuntos positivamente invariantes, para luego hablar de variedades estables, inestables y centrales [1]. Por último, se hace un análisis global del sistema con la ayuda de las isoclinas, las cuales dividen a R n en distintas regiones, para luego determinar el campo vectorial de cada una de las regiones, y de esta forma concluir como es el comportamiento del sistema globalmente [2]. En el tercer capítulo se analizará y estudiará dos modelos epidemiológicos: el modelo SIR y el modelo SIRS, basándose en la teoría expuesta en el segundo capítulo y se verá bajo qué condiciones se puede considerar que la enfermedad que se está estudiando, se puede considerar una epidemia o una endemia. Ambos modelos, generan un sistema de ecuaciones que están contenidos en R 3, los cuales se pueden reducir a un sistema contenido en R 2 facilitando en gran medida el estudio del sistema. Más aún, en el segundo modelo podemos encontrar un conjunto positivamente invariante R 2 +, conjunto sobre el cual se hará todo el estudio de la dinámica. En ambos sis-

13 temas se hallan los puntos fijos y se estudia la estabilidad de estos. Además, se hace un análisis global del sistema mediante el estudio de las isoclinas, y se observa el comportamiento del campo vectorial sobre la región de interés en cada caso. En el cuarto capítulo, se definirá el número de reproducción básico y luego, se analizará y estudiará un modelo SIR con vacunación. Este modelo genera un sistema de ecuaciones diferenciales contenido en R 3 [11], que se puede reducir a un sistema de ecuaciones contenido en R 2. Más aún, se encuentra una región positivamente invariante R 2 +, en la cual se realizará el estudio dinámico del sistema. Se hallarán sus puntos fijos y se estudiará la estabilidad de estos. Se hallarán las isoclinas para un estudio más global del sistema. Por último, se determinarán el porcentaje de población que debe ser vacunado para alcanzar la inmunidad de gran parte de la población. En el quinto capítulo, se hará un análisis de la dinámica del modelo de propagación de gusanos en redes de sensores inalámbricos, inicialmente se dice en que consiste el modelo y por que se puede modelar de forma similar a como se modelan las enfermedades infecciosas, de donde se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales contenido en R 4 [3], que se puede reducir a un sistema contenido en un conjunto positivamente invariante en R 3 +. Luego, se hace todo el estudio dinámico del modelo sobre este conjunto, hallando las isoclinas y a partir de estas, los puntos fijos, mirando su estabilidad. Por último, se mira el comportamiento asintótico del sistema. 3

14 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

15 Capítulo 2 Introducción a Dinámica La siguiente ecuación se denomina un sistema dinámico, x = f(x, t; µ) (2.0.1) con x U R n, t R y µ V R p, donde U y V son abiertos de R n y R p, respectivamente, y la variable µ se considera un parámetro. En el estudio de los sistemas dinámicos, la variable independiente se refiere a la variable tiempo. Además, (2.0.1) se refiere a una ecuación diferencial ordinaria. Una solución del sistema (2.0.1) esta dada por, x : I R R n tal que, x(t) satisface (2.0.1), es decir, t x(t) x(t) = f(x(t), t; µ). El espacio fase del sistema (2.0.1) se refiere al espacio de la variable dependiente de (2.0.1). En la mayoría de los casos este espacio es R n, pero también, puede ser un espacio cilíndrico, esférico o toroidal. Por otra parte, los sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que dependen explícitamente del tiempo, es decir, x = f(x, t; µ) se les conoce como sistemas no autónomos, y los sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que no dependen explícitamente del tiempo, es decir, x = f(x; µ) se les conoce como sistemas autónomos. 5

16 6 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA Por último, la órbita a través de x 0, donde x 0 es un punto del espacio fase de (2.0.1), es el conjunto de puntos del espacio fase que se encuentran en una trayectoria (solución de (2.0.1)) que pasan a través de x Puntos fijos El primer paso en el estudio de los sistemas dinámicos, consiste en estudiar particulares clases de soluciones. Las soluciones más sencillas se llaman puntos fijos. La primera pregunta es conocer el comportamiento del sistema, cerca a algunas soluciones conocidas, en este caso los puntos fijos. Por esta razón, se introduce el concepto de estabilidad del punto fijo. Se considera el siguiente sistema autónomos de ecuaciones diferenciales x = f(x), x, x R n. (2.1.2) Definición Un punto fijo, x R n, es una solución del sistema (2.1.2) tal que f(x) = 0. Esta es una solución que es constante en el tiempo. También se conoce como punto de equilibrio o solución de equilibrio. Cuando se encuentra una solución del sistema (2.1.2), se desea saber sobre la estabilidad de la solución Estabilidad Sea x un punto fijo del sistema (2.1.2), x se dice estable si soluciones cercanas a este punto permanecen cercanas en tiempos futuros y asintóticamente estable, si además las soluciones cercanas convergen a x cuando t. Definición El punto x se dice estable, si para cualquier vecindad U de x, existe una vecindad W de x(t) contenida en U, tal que cada solución X(t) en W permanece en U para todo t > 0. Si el punto x, no es estable, entonces se dice que el punto es inestable.

17 2.3. LINEALIZACIÓN 7 Definición El punto x se dice asintóticamente estable, si es estable y además se tiene lím x(t) = x. t En las anteriores definiciones, se da una noción matemática de los tipos de estabilidad, pero aún no se tiene un método para determinar si una solución es estable o inestable. A continuación se tratará de dar respuesta a esa pregunta Linealización Para determinar la estabilidad de x, primero se observara como es la naturaleza de las soluciones que estan cercanas a x. Sea La expansión de Taylor de f(x) alrededor de x es x = x + y. (2.3.3) f(x) = f(x) + Df(x)(x x) + D2 f(x) (x x) + (2.3.4) 2 Reemplazando (2.3.3) en (2.1.2) y en (2.3.4) se obtiene x = x + y = f(x) + Df(x)y + O( y 2 ) (2.3.5) donde Df es la derivada de f y es una norma en R n (f debe ser por lo menos C 2 ). Como x = f(x) entonces (2.3.5) será y = Df(x)y + O( y 2 ) (2.3.6) La ecuación (2.3.6) conocida como ecuación variacional, describe la evolución de las órbitas cerca del punto fijo x. Para ver si el punto fijo es estable o inestable se debe observar el comportamiento de las soluciones que están cerca del punto x. A continuación se muestra el sistema de primer orden. y = Df(x)y (2.3.7) Por lo tanto, para estudiar la estabilidad de x, se deben seguir los siguientes dos pasos: 1. Determinar si la solución de (2.3.7), y=0, es estable.

18 8 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA 2. Mostrar que la estabilidad o inestabilidad de la solución de (2.3.7), y=0, implica la estabilidad o inestabilidad de la solución x. Resolver el paso 1 puede ser igual de complicado que la pregunta inicial, ya que no hay un método analítico para resolver problemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes que dependan del tiempo. Sin embargo, si x es punto fijo, entonces Df(x) será una matriz con entradas constantes, y (2.3.7) será una ecuación diferencial autónoma. La solución de (2.3.7) con condición inicial y(0) = y 0 R n será donde y(t) = y 0 e Df(x)t (2.3.8) e Df(x)t = id + Df(x)t + (Df(x)t)2 2! con id la matriz identidad de tamaño n n. + (Df(x)t)3 3! + Por lo tanto, y(t) sera asintóticamente estable si todos los autovalores de Df(x) tienen parte real negativa. Del siguiente teorema se obtiene la respuesta al paso 2. Teorema Se supone que todos los autovalores de Df(x) tienen parte real negativa, entonces el punto fijo x = x del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.1.2) es asintóticamente estable. La demostración del Teorema 2.3.1, se dará en la siguiente sección cuando se halla introducido la función de Liapunov. Definición (Punto fijo hiperbólico). Sea x = x un punto fijo de (2.1.2), entonces x se dice que es un punto fijo hiperbólico si ninguno de los autovalores de Df(x) tiene parte real cero. Las soluciones del sistema no lineal, cerca a los puntos fijos se parecerá a su parte lineal, sólo en el caso donde el punto fijo es hiperbólico. Ejemplo (Oscilador no forzado de Duffing). Las ecuaciones del oscilador no forzado de Duffing están dadas por x = y y = x x 3 δy, δ 0 (2.3.9)

19 2.3. LINEALIZACIÓN 9 para hallar los puntos fijos, se mira cuando ẋ e ẏ se anulan. y = 0 x x 3 δy = 0 Reemplazando la primera ecuación en la segunda se obtiene x x 3 = 0 x(1 x 2 ) = 0 Por lo tanto, el sistema (2.3.9) tiene tres puntos fijos, P 1 = (0, 0), P 2 = (1, 0) y P 3 = ( 1, 0). La matriz asociada a la linealización esta dada por ( ) 0 1 A = 1 3x 2. δ i. Punto fijo P 1. La matriz asociada es A P1 = ( δ ). Se determinarán los autovalores de la matriz A P1 det(a P1 λi) = 0 λ 1 1 δ λ = 0 λ( δ λ) 1 = 0 λ 2 + δλ 1 = 0 entonces

20 10 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA ii. Puntos fijos P 2 y P 3. λ 1,2 = δ ± δ La matriz asociada es ( 0 1 A P2,3 = 2 δ ). Se determinarán los autovalores de la matriz A P2,3 entonces det(a P2,3 λi) = 0 λ 1 2 δ λ = 0 λ( δ λ) + 2 = 0 λ 2 + δλ + 2 = 0 λ 1,2 = δ ± δ Luego, P 1 es inestable para δ 0, ya que λ 1 > 0 y λ 2 < 0. Para δ > 0, P 2 y P 3 son asintóticamente estable ya que λ 1,2 < 0 y para δ = 0, λ 1,2 = ± 2i, entonces P 2 y P 3 son linealmente estables. Observación Alguna terminología asociada con puntos fijos. Un punto fijo hiperbólico x de un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo se llamará 1. Punto de silla: si algunos de los autovalores de la linealización asociada tienen parte real positiva, y el resto de los autovalores parte real negativa. 2. Nodo estable o sumidero: si todos los autovalores de la linealización asociada tienen parte real negativa.

21 2.4. FUNCIÓN DE LIAPUNOV 11 Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.1: El campo vectorial en la frontera de U. 3. Nodo inestable o fuente: si todos los autovalores de la linealización asociada tienen parte real positiva. Si los autovalores de la linealización asociada son puramente imaginarios, y no cero el punto fijo no hiperbólico, se llamará punto central Función de Liapunov El método de Liapunov se usa para determinar la estabilidad de los puntos fijos cuando la información obtenida luego de linealizar el sistema, es inconclusa, es decir, cuando los puntos fijos no son hiperbólicos. El método de Liapunov se puede llevar a cabo en n-dimensiones o en infinitas dimensiones. Se supone que se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales con punto fijo x, y se quiere saber si este punto es estable o inestable. Para esto se debe encontrar una vecindad U de x, tal que las órbitas que empiezan en U se quedan dentro de U para todo tiempo positivo. Para probar esto, bastaría ver que el campo vectorial es tangente en la frontera de U, o apuntará hacia x. Como se muestra en el Figura 2.1. El método de Liapunov da una idea de como llegar a esto. A continuación se desarrollará la idea en el plano y luego se generalizará el resultado. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

22 12 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA x = f(x, y) y = g(x, y), (x, y) R 2 (2.4.10) sea (x, y) un punto fijo del sistema (2.4.10). Se supone que este punto es estable y se demostrará que para alguna vecindad U de (x, y) se cumple la condición que el campo vectorial es tangente en la frontera de U, o apuntará hacia (x, y). Se introduce una función escalar V : R 2 R, al menos de clase C 1, con V (x, y) = 0, y tal que las curvas de nivel de V (x, y) encierran al punto (x, y) con V (x, y) > 0 en una vecindad de (x, y). Ver Figura 2.2. Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.2: Curvas de nivel de V El vector gradiente de V, es un vector perpendicular al vector tangente de cada curva V = C, y apunta en la dirección de incremento de V, como en la Figura 2.3. Como el campo vectorial es tangente en la frontera de cada una de las curvas que encierran a (x, y), o apunta hacia este punto. Entonces se tiene que V (x, y) = V (x, y) (x, y ) 0. El siguiente teorema da la idea general del método de Liapunov. Teorema Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales x = f(x), x R n. (2.4.11)

23 2.4. FUNCIÓN DE LIAPUNOV 13 Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.3: Curva de nivel de V y V Sea x un punto fijo de (2.4.10) y V : U R un función C 1 definida en alguna vecindad U de x tal que i. V (x) = 0 y V (x) > 0 si x x. ii. V (x) 0 en U x Entonces, x es estable. Más aún, si iii. V (x) < 0 en U x Entonces, x es asintóticamente estable. Demostración. Se considera una bola centrada en x con centro en δ, B δ (x) = {x R n x x δ}. El δ se escoje lo suficientemente pequeño para que B δ (x) U, como se muestra en la Figura 2.4. Sea m el valor mínimo de V en la frontera de B δ (x). Por i., m > 0. Luego, U 1 = {x B δ (x) V (x) < m}. Se toma una trayectoria que empiece en U 1. Por ii., se tiene que la trayectoria es no creciente, entonces toda trayectoria que empieza en U 1 permanece

24 14 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA en B δ (x) para todo tiempo t 0. Por lo tanto, x es estable. Ahora, se supone que iii. se cumple, es decir, V es estrictamente decreciente en órbitas de U {x}. Se toma X(t) una trayectoria que empieza en U 1 {x}. Como B δ (x) es compacta, se puede encontrar una subsucesión de tiempos {t n } con t n cuando n tal que X(t n ) converge a x 0 cuando n. Ahora, se quiere demostrar que x 0 = x. Se probará esto por contradicción. Se supone que x 0 x, entonces, existe ε > 0 lo suficientemente pequeño para que x 0 / B ε (x). Se aplica el mismo argumento de la parte anterior y se obtiene que existe una vecindad de x, Ũ 1 B ε (x), tal que cualquier trayectoria que empieza en Ũ1 permanece en B ε (x), como se muestra en la Figura 2.4. Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.4: Selección de las trayectorias y vecindades de la prueba del teorema Como X(t) es una trayectoria que converge a x 0 y x 0 / B ε (x), entonces dicha trayectoria no puede entrar a Ũ1. Luego, en U 1 Ũ1, V sera estrictamente acotado lejos del cero, entonces se tiene la siguiente estimación: V K < 0, para algún K > 0.

25 2.4. FUNCIÓN DE LIAPUNOV 15 Como X(t) no puede entrar a Ũ1, esta estimación se puede aplicar a toda la trayectoria X(t) y se obtiene: por lo tanto, V (x(t n )) V (x(0)) = tn 0 Kt n, V (x(s))ds, V (x(t n )) V (x(0)) Kt n. Cuando n, por la desigualdad anterior se obtiene que V (x(t n )) será negativo, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, x 0 = x y x será asintóticamente estable. Ejemplo Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales x = y y = x + εx 2 y, (2.4.12) para hallar los puntos fijos se mira cuando ẋ e ẏ se anulan y = 0 x + εx 2 y = 0 Reemplazando la primera ecuación, en la segunda se obtiene x = 0. Por lo tanto, el sistema (2.4.12) tiene un punto fijo en (0, 0). La matriz asociada a la linealización es ( ) 0 1 A = 1 + 2εxy εx 2. en el punto fijo (0, 0) la matriz asociada es ( ) 0 1 A (0,0) =. 1 0

26 16 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA Se determinarán los autovalores de la matriz A (0,0) det(a (0,0) λi) = 0 λ 1 1 λ = 0 λ = 0 (λ + i)(λ i) = 0. Por lo tanto, el punto fijo es no hiperbólico. Ahora se quiere determinar si el punto fijo (0, 0) es estable. Sea, V (x, y) = (x2 + y 2 ) 2 i. V (0, 0) = 0. ii. V (x, y) > 0 para alguna vecindad de (0, 0). iii. V (x, y) = V (x, y) (x, y ) = (x, y) (y, x + εx 2 y) = xy + εx 2 y 2 xy = εx 2 y 2. Entonces, por el Teorema 2.4.1, el punto (0, 0) es estable para ε < 0. Ahora, se realizará la demostración del Teorema 2.3.1, usando la teoría de Liapunov. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales x = f(x), x R n. (2.4.13) Se empieza translandando el punto fijo x = x de (2.4.13) al origen a través de y = x x. Entonces,

27 2.4. FUNCIÓN DE LIAPUNOV 17 x = y + x = y + f(x) = y Por lo tanto, (2.4.13) se transformará en, y = f(x + y), y R n. (2.4.14) La expansión de Taylor de f(x + y) alrededor de x es Luego, f(x + y) = f(x) + Df(x)y + D2 f(x) y + (2.4.15) 2 y = Df(x)y + R(y), y R n, (2.4.16) donde R(y) O( y 2 ). Ahora se utiliza el siguiente cambio de escala de coordenadas y = εu, 0 < ε < 1. (2.4.17) Si ε es pequeño entonces y será pequeña. Utilizando (2.4.17) en (2.4.16) se obtiene, u = Df(x)u + R(u, ε), (2.4.18) donde R(u, ε) = R(εu)/ε. Como R(y) O( y 2 ), entonces R(u, 0) = 0. Se escoge la siguiente función de Liapunov Por lo tanto, V (u) = 1 2 u 2. V (u) = (u) u = (u Df(x)u) + (u R(u, ε)). (2.4.19) Como todos los autovalores de Df(x) tienen parte real negativa, entonces existe una base tal que (u Df(x)u) < k u 2 < 0, para algun número real k y para todo u. Si se escoge ε lo suficientemente pequeño, (2.4.19) es estrictamente negativo, por lo tanto, el punto fijo x = x es asintóticamente estable.

28 18 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA 2.5. Variedades invariantes Otra idea importante en el estudio de los sistemas dinámicos son las variedades estables, inestables y centrales que son conjuntos invariantes, y una de las propiedades de estos conjuntos es que las trayectorias que empiezan en el conjunto, permanecen en el conjunto, para todo tiempo futuro y pasado. Definición (Conjunto invariante). Sea S R n un conjunto, entonces, se dice que S es invariante sobre el sistema de ecuaciones x = f(x), si para cualquier x 0 S, se tiene que x(t, x 0 ) S para todo t R. Si la Definición se restringe a tiempos positivos, es decir, t 0, se dice que el conjunto S es positivamente invariante. Definición (Variedad invariante). Un conjunto invariante S R n, es una variedad invariante C r con r 1, si S tiene la estructura de una variedad diferenciable C r. De forma similar, un conjunto positivamente invariante S R n, es una variedad positivamente invariante C r, con r 1, si S tiene la estructura de una variedad diferenciable C r. Observación La idea de variedad es: 1. Conjuntos lineales: Subespacio de vectores lineales en R n. 2. Conjuntos no lineales: Una superficie m-dimensional que puede ser encajada en R n, la cual es localmente suave Subespacios estables, inestables y centrales de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales En el caso de sistemas lineales ẏ = Ay, y R n, el espacio R n se puede escribir como suma directa de E s, E u y E c, donde E s es el subespacio estable, E u el subespacio inestable y E c el subespacio central. Sea x R n un punto fijo del sistema de ecuaciones diferenciales Se considera el sistema linealizado x = f(x), x R n. (2.5.20) y = Ay, y R n. (2.5.21)

29 2.5. VARIEDADES INVARIANTES 19 donde A Df(x) es la matriz jacobiana de f en el punto x de tamaño n n. La solución de (2.5.21) con valor inicial y(0) = y 0 R n es donde y(t) = e At y 0, (2.5.22) e At = id + At + (At)2 + (At)3 2! 3! con id la matriz identidad de tamaño n n. + (2.5.23) Se puede representar a R n como la suma directa de tres subespacios denotados E s, E u y E c, que se define de la siguiente manera: donde E s = span{e 1,, e s }, E u = span{e s+1,, e s+u }, s + u + c = n, (2.5.24) E c = span{e s+u+1,, e s+u+n }, {e 1,, e s } son los autovectores (generalizados) de A, correspondientes a los autovalores de A que tienen parte real negativa. {e s+1,, e s+u } son los autovectores (generalizados) de A, correspondientes a los autovalores de A que tienen parte real positiva. {e s+u+1,, e s+u+n } son los autovectores (generalizados) de A, correspondientes a los autovalores de A que tienen parte real igual a cero. Estos subespacios son invariantes ya que soluciones de (2.5.21) con condición inicial que esten totalmente contenidas en E s, E u o E c, permanecerán para todo tiempo en el subespacio correspondiente. Además, las soluciones que empiecen en E s, se aproximarán asintóticamente a y = 0 cuando t, y las soluciones que empiecen en E u se aproximarán asintóticamente a y = 0 cuando t Variedades estables, inestables y centrales de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales Se va a ver que en el caso de sistemas no lineales se tendrá una situación parecida al caso lineal, sólo que en lugar de subespacios se tendrán variedades.

30 20 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA La motivación para estudiar sistemas lineales y = Ay, y R n, (2.5.25) donde A Df(x), es para obtener información de la naturaleza de las soluciones cerca a los puntos fijos x = x de los sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales x = f(x), x R n. (2.5.26) Se empieza translandando el punto fijo x = x de (2.5.26) al origen a través de y = x x. Entonces x = y + x = y + f(x) = y Por lo tanto, (2.5.26) se transformará en y = f(x + y), y R n. (2.5.27) La expansión de Taylor de f(x + y) alrededor de x es Luego, f(x + y) = f(x) + Df(x)y + D2 f(x) y + (2.5.28) 2 y = Df(x)y + R(y), y R n, (2.5.29) donde R(y) = O( y 2 ). Ahora, se introduce la siguiente transformación de coordenadas y = T donde T es una matriz constante distinta de cero. Además, u,v y w son vectores con la misma dimensión que E s, E u y E c respectivamente. Se obtiene que u v w

31 2.5. VARIEDADES INVARIANTES 21 T u v w u v w = Df(x)T u v w = T 1 Df(x)T + R T u v w u v w + T 1 R T u v w Se escoge la transformación lineal T de tal forma que A s 0 0 T 1 Df(x)T = 0 A u 0, (2.5.30) 0 0 A c donde A s es una matriz de tamaño s s que tiene autovalores con parte real negativa, A u es una matriz de tamaño u u que tiene autovalores con parte real positiva, y A c es una matriz de tamaño c c que tiene autovalores con parte real igual a cero. La nueva ecuación que se obtiene es u = A s u + R s (u, v, w), v = A u v + R u (u, v, w), (2.5.31) w = A c w + R c (u, v, w), donde R s (u, v, w), R u (u, v, w) y R c (u, v, w) son las primeras s, u y c componentes respectivamente, del vector T 1 R(y). Si se considera la parte lineal del sistema de ecuaciones de (2.5.31), por lo hecho anteriormente se tendría que ese sistema lineal tiene una variedad s-dimensional, estable e invariante, una variedad u-dimensional, inestable e invariante, y una variedad c-dimensional, central e invariante, todas intersectándose en el origen. El siguiente teorema muestra como cambia esta estructura cuando se considera el sistema de ecuaciones diferenciales no lineal (2.5.31). Teorema Puntos fijos de variedades localmente estables, inestables y centrales. Se supone que (2.5.31) es C r, r 2, entonces el punto fijo (u, v, w) = 0 de (2.5.31) posee una variedad local s-dimensional, C r, estable e invariante, Wloc s (0), una variedad local u-dimensional, Cr, inestable e invariante, Wloc u (0), y una variedad local c-dimensional, Cr, central

32 22 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA e invariante, Wloc c (0). Todos se intersectan en (u, v, w) = 0. Estas variedades son tangentes a su respectivo subespacio invariante de la parte lineal del sistema de ecuaciones diferenciales (2.5.31) en el origen. En particular, se tiene W s loc(0) = {(u, v, w) R s R u R c v = h s v(u), w = h s w(u); Dh s v(0) = 0, Dh s w(0) = 0; u es suficientemente pequeña} W u loc(0) = {(u, v, w) R s R u R c u = h s u(v), w = h s w(v); Dh u u(0) = 0, Dh u w(0) = 0; v es suficientemente pequeña} W c loc(0) = {(u, v, w) R s R u R c u = h s u(w), v = h s v(w); Dh c u(0) = 0, Dh c v(0) = 0; w es suficientemente pequeña} donde h s v(u), h s w(u), h s u(v), h s w(v), h s u(w) y h s v(w) son funciones C r. Además las trayectorias en Wloc s (0) y W loc u (0), tiene la misma propiedad asintótica que las trayectorias en los subespacios E s y E u respectivamente. Las trayectorias de (2.5.31) con condición inicial en Wloc s u (0) (respectivamente, Wloc (0)), se aproxima al origen asintóticamente en una razón exponencial cuando t (respectivamente, t ). Observación Se consideran algunos comentarios al teorema anterior. i. Las condiciones Dh s v(0) = 0, Dh s w(0) = 0, Dh u u(0) = 0, Dh u w(0) = 0, Dh c u(0) = 0 y Dh c v(0) = 0, muestran que las variedades no lineales son tangentes a la variedad lineal asociada en el origen. ii. En el teorema se menciona que la variedad estable, inestable y central son invariantes y locales. El término local se refiere al hecho que las variedades sólo están definidas en una vecindad del punto fijo. Por lo cual, se puede decir que estas variedades tienen frontera. Por lo tanto, las variedades son localmente invariantes. iii. Se supone que el punto fijo es hiperbólico, es decir, E c =. En este caso, se puede afirmar del teorema, que las trayectorias del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales en una vencindad del origen lo suficientemente pequeña, el comportamiento es el mismos de las trayectorias del sistema de ecuaciones diferenciales lineales asociado. iv. El comportamiento de las trayectorias que estan en W c loc (0), no puede ser inferido del comportamiento de las trayectorias en E c.

33 2.5. VARIEDADES INVARIANTES 23 v. Las variedades globales, estables, inestables y centrales, W s (0), W u (0) y W c (0), se pueden obtener extendiendo todas las trayectorias de las variedades locales, Wloc s (0), W loc u (0) y W loc c (0), en tiempos pasados y futuros. También, hay casos más generales de variedades invariantes. En la siguiente observación se verá si una superficie es invariante con respecto a la dinámica generada por un sistema de ecuaciones diferenciales. Observación Suponiendo que se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma x = f(x, y) y = g(x, y), (x, y) R n R m, y que se tiene una superficie, la cual es representada en el espacio fase por la gráfica de una función y = h(x), Esta superficie es invariante si el campo vectorial es tangente a la superficie. La condición de tagencia se expresa de la siguiente manera o, Dh(x)x = y, Dh(x)f(x, h(x)) = g(x, h(x)). Se debe tener en cuenta que todas las funciones que toman parte de la anterior expresión tiene dominios comunes, y que la derivación existe. Ejemplo Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales x = x y = y + x 2, (x, y) R R, (2.5.32) se observa que este sistema tiene un punto fijo en (x, y) = (0, 0). El sistema lineal asociado a (0, 0) será ( ) ( ) ( ) x 1 0 x y =, 0 1 y

34 24 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA Los autovalores de la matriz asociada son λ = ±1 Por lo tanto, el punto fijo es hiperbólico. Por otro lado, los autovectores asociados a los autovalores son λ 1 = 1 ( Por lo tanto, e 1 = {(x, y) R 2 y = 0}. λ 2 = 1 ( ) ( ) ( ) x x = y y ( ) ( ) x x = y y ) ( ) x y ( ) x = y Por lo tanto, e 2 = {(x, y) R 2 x = 0}. ( x = y ( x y Por lo tanto, el subespacio estable e inestable esta dado por ) ) E s = {(x, y) R 2 x = 0}, E u = {(x, y) R 2 y = 0}. Ahora, se observa la parte no lineal del sistema de ecuaciones. En este caso, la solución se obtiene explicitamente. y = dy x dx = y x + x, Resolviendo esta ecuación se obtiene una familia de soluciones y(x) = x2 3 + c x,

35 2.5. VARIEDADES INVARIANTES 25 Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.5: Variedad estable e inestable en (x,y)=(0,0). donde c es una constante. Ahora, Wloc u (0, 0) se puede representar por un gráfica sobre la variable x, es decir, y = h(x) con h(0) = h (0) = 0. Se busca un valor de c que cumpla las condiciones anteriores, este es c = 0. Por lo tanto, se tiene W u loc(0, 0) = } {(x, y) R 2 y = x2, 3 W s loc(0, 0) = {(x, y) R 2 x = 0}. Se verificará que Wloc u (0, 0) es invariante, luego se debe ver que por (2.5.32) se debería ver que y = Dh(x)x y + x 2 = 2 3 x x Y la anterior igualdad se cumple debido a que y = x2 3. (Ver Figura 2.5).

36 26 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA 2.6. Órbitas periódicas Otra clase importante de soluciones son las órbitas periódicas, es decir, soluciones en las cuales su dinámica se determina conociendo un intervalo de tiempo finito, su período. Se considera un sistema de ecuaciones diferenciales, x = f(x, t), x R n. (2.6.33) Definición Una solución de (2.6.33), a través del punto x 0 es periódica con período T, si existe T > 0 tal que, x(t, x 0 ) = x(t + T, x 0 ) para todo t R. El período de una órbita periódica es el menor T > 0, que satisface la Definición En general, es difícil demostrar la existencia de órbirtas periódicas. En R 2, hay un importante criterio para establecer la no existencia de órbitas periódicas en un sistema de ecuaciones diferenciales autónomas. Sea, ẋ = f(x, y) ẏ = g(x, y) (x, y) R 2, (2.6.34) con f y g al menos C 1. Teorema (Criterio de Bendixson). Si en una región simplemente conexa D R 2, la expresión, f + g no es identicamente cero y no cambia de x y signo, entonces (2.6.34) no tiene órbitas cerradas completamente contenidas en D. Demostración. Se supone que existe una órbita cerrada Γ en D, entonces se tiene, fdy gdx = fgdt gfdt = 0 (2.6.35) Por teorema de Green se obtiene, Γ Γ

37 2.6. ÓRBITAS PERIÓDICAS 27 donde S es la región limitada por Γ. Como f + g x y La ecuación (2.6.36) no puede ser cierta. S ( f x + g ) dxdy = 0, (2.6.36) y 0 y no cambia de signo. D. Por lo tanto, no existe órbitas cerradas completamente contenidas en Este criterio se puede generalizar y se conoce como criterio de Bendixson- Dulac. Teorema (Criterio de Bendixson-Dulac). Sea, B(x, y) una función C 1 en una región simplemente conexa D R 2. Si (Bf) + (Bg), no es identicamente cero, y no cambia de signo, entonces no tiene órbitas cerradas x y completamente contenidas en D. Demostración. Se considera el sistema, ẋ = B(x, y)f(x, y) ẏ = B(x, y)g(x, y) (x, y) R 2, (2.6.37) al cual se le aplica el criterio de Bendixson, y se obtiene el criterio de Bendixson-Dulac. Vamos a considerar un ejemplo en el cual se aplicará el criterio de Bendixson: Ejemplo (Oscilador no forzado de Duffing). Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, Se observa que, ẋ = y f(x, y) ẏ = x x 3 δy g(x, y), δ 0 (2.6.38) f x + g y = δ Por lo tanto, para δ > 0, (2.6.38), no tiene órbitas cerradas.

38 28 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA 2.7. Comportamiento asintótico: estudio cualitativo En la mayoría de los casos, no se pueden encontrar soluciones explícitas de un sistema no lineal, pero se pueden estudiar las propiedades de las soluciones entre las cuales tiene particular interés el estudio del comportamiento asintótico, es decir, el comportamiento de las soluciones para tiempos grandes. Se considera el siguiente sistema autónomo de ecuaciones diferenciales x = f(x), x R n. (2.7.39) El flujo generado por (2.7.39) se denota por φ(t, x). Se empezará con unas definiciones básicas sobre conjuntos ω y α límite, y se darán algunas propiedades sobre estos conjuntos. Definición (Puntos ω y α límite de trayectorias). Un punto x 0 R n, es un punto ω-límite de x R n, y se escribe ω(x), si existe una sucesión de tiempos {t k }, t k, tal que, φ(t k, x) x 0. De forma similar, un punto x 0 R n, es un punto α-límite de x R n y se escribe α(x), si existe una sucesión de tiempos {t k }, t k, tal que, φ(t k, x) x 0. Ejemplo Se supone que γ, es una órbita periódica que atrae a toda órbita, entonces cada órbita hace una espiral alrededor de γ, como se muestra en la Figura 2.7. Ahora, para cada punto en γ, se puede encontrar una subsucesión de tiempos {t i }, tal que, φ(t i, x), x R 2 se aproxima al punto cuando t. Por lo tanto, γ es el conjunto ω límite de x. Ahora se considera la definición de conjuntos ω y α límite de flujo. Definición (Conjuntos ω y α límite de flujo). El conjunto de todos los puntos ω-límite de un flujo, se llama conjunto ω límite. Similarmente, el conjunto de todos los puntos α-límite de un flujo, se llama conjunto α límite.

39 2.7. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO: ESTUDIO CUALITATIVO 29 Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.6: El punto x 0 γ es el punto ω-límite de x La siguiente proposición da algunas propiedades de los conjuntos ω límite. Proposición Sea, φ t el flujo generado por un sistema de ecuaciones diferenciales, y sea, M un conjunto positivamente invariante y compacto. Entonces, para todo p M, se tiene, i. ω(p), ii. ω(p) es cerrado, iii. ω(p) es invariante bajo el flujo, es decir, ω(p) es una unión de órbitas, iv. ω(p) es conexo. Demostración. i. Sea, {t i } tal que, t i y sea, {φ(t i, p) = p i }. Como M es compacto, {p i } tiene una subsucesión convergente en M, entonces ese límite pertenece a ω(p). Por lo tanto, ω(p). ii. Se demostrará que el complemento de ω(p) es abierto. Sea, q / ω(p), entonces existe un entorno de q, U q que no contiene puntos del tipo φ(t, p). Por lo tanto, q esta contenido en un abierto que no contiene puntos de ω(p). Como q es arbitrario, entonces ω(p) es cerrado.

40 30 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA iii. Sea, q ω(p) y φ(s, q) = q. Sea {t i } tal que, t i y φ(t i, p) q. Entonces, φ(t i + s, p) = φ(s, φ(t i, p)) q. Por lo tanto, q ω(p) y ω(p) es invariante. Falta definir bien φ(s, q) para todo s. Como M es positivamente invariante, entonces φ(s, q) esta definido para todo s > 0. Vamos a demostrar que esta definido para todo s < 0. Sea q ω(p), entonces existe {t i } tal que, t i y φ(t i, p) q. Se organiza la suseción de tal forma que, t 1 < t 2 < < t i <. φ(s, φ(t i, p)) = φ(s + t i, p) esta definido para todo s [ t i, 0], considerando el límite t i, la continuidad y φ(t i, p) q se obtiene que φ(s, q) existe para todo s (, 0]. iv. Se demostrará por contradicción. Se supone que ω(p) no es conexo, entonces existen V 1, V 2 abiertos tales que, ω(p) V 1 V 2, ω(p) V 1, ω(p) V 2 y V 1 V 2 =. Las órbitas de p convergen hacia puntos que están en V 1 y V 2. Entonces, para todo T > 0 existe t > T tal que, φ(t, p) M (V 1 V 2 ) = K. Luego, podemos encontrar {t n } tal que, t n con φ(t n, p) K. Como K es compacto, φ(t n, p) q, q K (si es necesario utilizamos un subsucesión de {t n }).Entonces q ω(p), esto implica que q V 1 V 2. Esto es una contradicción. Por lo tanto, ω(p) es conexo Teorema de Poincaré-Bendixson: sistemas en el plano R 2 En esta sección se va a estudiar el caso particular de sistemas en dos dimensiones. En este caso la dinámica asintótica esta completamente determinada. En el teorema de Poincaré-Bendixson se muestra este resultado. Teorema (Poincaré-Bendixson). Sea M una región positivamente invariante que contiene un número finito de puntos fijos. Sea p M, entonces solamente uno de los siguientes casos se cumple: i. ω(p) es un punto fijo, ii. ω(p) es una órbita periódica,

41 2.7. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO: ESTUDIO CUALITATIVO 31 iii. ω(p) consiste de un número finito de puntos fijos p 1, p 2,..., p n y órbitas γ tal que α(γ) = p i y ω(γ) = p j. Antes de demostrar el resultado principal de esta sección, se darán algunas definiciones y resultados que ayudarán a demostrar el teorema. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, x = f(x, y) y = g(x, y) (x, y) P, (2.7.40) donde P representa el espacio fase, que puede ser el plano, el cilindro o dos esferas. Definición Sea, Σ una curva conexa en P, entonces, Σ es transversa al campo vectorial, si el producto punto de la normal al camino con el campo vectorial, N F 0 y no cambia de signo en Σ. O de otra forma, si el campo vectorial no tiene puntos fijos en Σ y no es tangente a Σ. Ahora se demostrarán algunos lemas que haran más fácil la demostración del teorema de Poincaré-Bendixson. Lema Sea M un conjunto positivamente invariante. Sea Σ M una curva transversa al campo vectorial. Entonces para todo p M, O + (p) = {φ(t, p), t 0} intersecta Σ en una sucesión monótona, es decir, si p i es la i-ésima intersección entonces p i [p i 1, p i+1 ]. Demostración. Se considera un pedazo de la órbita O + (p), entre lo puntos p i 1 a p i y el segmento [p i 1, p 1 ] Σ. Como se muestra en la Figura 2.7, esto será la frontera de una región positivamente invariante, D. Entonces, O + (p i ) D, luego, p i+1 D (si existe). Por lo tanto, p i [p i 1, p i+1 ]. Corolario El conjunto ω-límite de una trayectoria γ, (ω(γ)), intersecta a Σ en a lo sumo un punto. Demostración. Se demostrará por contradicción. Se supone que ω(γ) intersecta a Σ en dos puntos, q 1 y q 2. Sea, {p n } los puntos de γ sobre Σ, entonces existe subsucesiones de {p n } que convergen hacia q 1 y q 2, pero esto contradice la monotonía de {p n }. Por lo tanto, ω(γ) intersecta a Σ en a lo sumo un punto.

42 32 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.7: Un pedazo de la órbita O + (p) entre lo puntos p i 1 a p i. El siguiente lema dice cuando el conjunto ω-límite es una órbita cerrada. Lema Si ω(γ) no contiene puntos fijos, entonces ω(γ) es un órbita cerrada. Demostración. Sea, q ω(γ). Se demotrará que O + (q) es cerrada. Sea x ω(q), por hipótesis no es un punto fijo. Se considera un curva transversa Σ al campo vectorial tal que x Σ. Por el Lema 2.7.7, la órbita O + (q) intersecta a Σ en una sucesión monótona q n x. Como ω(γ) es invariante entonces, q n ω(γ), pero por el Colorario 2.7.8, ω(γ) Σ = {x}. Por lo tanto, q n = x para todo n y O + (q) es una órbita cerrada. Ahora, se demostrará que ω(γ) = {O(q)} := C. Por la invarianza de ω(γ), como q ω(γ) entonces, O(q) ω(γ). Sea E la parte de afuera de O + (q), y D la parte del interior de O + (q). Para demostrar la otra contenencia se consideran dos casos: Caso 1. γ E. E C es cerrado, entonces los puntos límites están en E C. Por lo tanto, ω(γ) D =. Se supone que existe p E ω(γ). Se puede contruir un entorno U de O(q) que no contenga a p. Se considera Σ una curva transversa al campo vectorial en q. Luego, existe una sucesión monótona {p n } en Σ tal que p n q y con p n γ. Se escoge un N lo

43 2.7. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO: ESTUDIO CUALITATIVO 33 suficientemente grande tal que {p n } U para todo n > N. Se puede contruir un conjunto positivamente invariante A, que contenga a O(q), contenido en U, y que no contenga a p. Luego, ω(γ) A. Pero como p / A entonces p / ω(γ). Lo cual es una contradicción. Caso 2. γ D. D C es cerrado, entonces los puntos límites están en D C. Por lo tanto, ω(γ) E =. Se supone que existe p D ω(γ). Sea V un entorno de O(q), se puede contruir un anillo U = V D p (ε), que no contenga a p. Se considera Σ una curva transversa al campo vectorial en q. Luego, existe una sucesión monótona {p n } en Σ tal que p n q y con p n γ. Se escoge un N lo suficientemente grande tal que {p n } U para todo n > N. Se puede construir un conjunto positivamente invariante A que contenga a O(q), contenido en U y que no contenga a p. Luego, ω(γ) A pero como p / A entonces p / ω(γ). Lo cual es una contradicción. Entonces, ω(γ) O(q). Por lo tanto, ω(γ) = {O(q)}. Lema Sean p 1 y p 2 dos puntos fijos del sistema de ecuaciones. p 1, p 2 ω(p), p M. Entonces existe al menos una orbita γ ω(p) tal que, α(γ) = p 1 y ω(γ) = p 2. Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.8: Selección de las trayectorias y curvas de trasversas para la prueba del Lema

44 34 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA Demostración. Se demostrará por contradicción. Se supone que existen γ 1, γ 2 ω(p), tal que α(γ i ) = p 1 y ω(γ i ) = p 2 con i = 1, 2. Sea, q 1 γ 1 y q 2 γ 2. Se considera Σ 1 y Σ 2 curvas transversas al campo vectorial en q 1 y q 2 respectivamente. Como se muestra en la Figura 2.8. Como γ 1, γ 2 ω(p), O + (p) tiene que pasar cerca a γ 1 y γ 2, entonces, existen puntos a, b tal que, a = O + (p) Σ 1 y b = O + (p) Σ 2. Entonces, la región abierta acotada por el segmento de órbita y los caminos transversos que conectan los puntos a, q 1 y b, q 2 (la región morada en la Figura 2.8), es positivamente invariante. Esto es una contradicción, pues de ser así solamente pedazos de γ 1 y γ 2 estarían contenidos en ω(p). Por lo tanto, existe al menos una órbita γ ω(p) tal que, α(γ) = p 1 y ω(γ) = p 2. Ahora, se realizará la demostración del teorema de Poincaré-Bendixson. Demostración. Si ω(p) contiene solamente puntos fijos, como ω(p) es conexo, y M contiene un número finito de puntos fijos, entonces ω(p) contiene sólo un punto fijo. Si ω(p) no contiene puntos fijos, por el Lema 2.7.9, ω(p) es una órbita cerrada. Se supone que ω(p) contiene puntos fijos y puntos no fijos (también conocidos como puntos regulares). Sea, γ ω(p) una trayectoria de puntos regulares. Se demostrará por contradicción que ω(γ) y α(γ) tienen que ser puntos fijos. Se supone que ω(γ) y α(γ) no contienen puntos fijos, entonces por el Lema 2.7.9, ω(γ) y α(γ) son curvas cerradas. Luego, ω(p) contienen puntos fijos y órbitas cerradas. Por lo anterior, ω(p) no sería conexo. Lo cual es una contradicción. Por lo tanto, ω(γ) y α(γ) son puntos fijos Caso general: sistemas en R n Para n 3, la dinámica es mucho más compleja. Los conjuntos límites pueden ser puntos, órbitas periódicas, órbitas heteroclinas y fractales. Luego, para estudiar este caso se debe introducir la definición de atractor. Para esto se vera la teoría en detalle. Definición (Conjunto atractor). Un conjunto invariante A R n es un conjunto atractor si existe un conjunto U de A tal que,

45 2.7. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO: ESTUDIO CUALITATIVO 35 Para todo t 0, φ(t, U) U y φ(t, U) = A. Definición (Región de atracción). El conjunto abierto U de la Definición , se conoce como región de atracción. Para encontrar una región de atracción se estudia el campo vectorial en la frontera del conjunto. Si se tiene una función de Liapunov esto es automático ya que una región de atracción es equivalente a las curvas de nivel. Definición (Conjunto absorbente). Un conjunto compacto y positivamente invariante B R n, es un conjunto absorbente si existe U R n acotado con B U, y t U tal que, t>0 φ(t, U) B para todo t t U. Definición (Dominio de atracción). El dominio de atracción de un conjunto atractor A esta dado por, φ(t, U) t 0 donde U es una región de atracción. Ejemplo Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, x = x x 3 y = y (x, y) R 2, Este sistema tiene tres puntos fijos, P 1 = (0, 0), P 2 = (1, 0) y P 3 = ( 1, 0). La matriz asociada a la linealización esta dada por, ( ) 1 3x 2 0 A =. 0 1 i. Punto fijo P 1. La matriz asociada es,

46 36 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA A P1 = ( ). Los autovalores de la matriz A P1 son, λ 1,2 = ±1 ii. Puntos fijos P 2 y P 3. La matriz asociada es, A P2,3 = ( ). Los autovalores de la matriz A P2,3 son, λ 1 = 2 y λ 2 = 1 Por lo tanto, P 1 es un punto de silla y P 2, P 3 son sumideros. Se considera una elipse,m, alrededor de los puntos fijos. Como en la Figura 2.9, M es una región de atracción y el intervalo cerrado, es un conjunto de atracción. A = [ 1, 1] = t 0 φ(t, M) El conjunto de atracción del ejemplo anterior no es muy preciso [ 1, 1]. En realidad las órbitas convergen hacia el subconjunto (±1, 0). Se considerará una definición que no tiene en cuenta el caso en el cual un conjunto atractor esta constituido por más de un atractor, es decir, las órbitas se acercan a cualquier punto del conjunto atractor. Definición (Transitividad topológica). Un conjunto cerrado e invariante A, es topológicamente transitivo si, para todo U, V A, existe t R tal que, φ(t, U) V. Definición (Atractor). Un atractor es un conjunto atractor que es topológicamente transitivo.

47 2.7. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO: ESTUDIO CUALITATIVO 37 Fuente: S. Wiggins (2003). Figura 2.9: Conjunto de atracción En el caso en que n m con n 3 hay un resultado muy importante sobre el estudio de conjuntos límites. Esto es el principio de invariancia de LaSalle. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, x = f(x), x R n, con f C r, r 1. Sea, M R n una región positivamente invariante y compacta con una frontera al menos C 1, entonces M es una región de atracción. Sea, V (x) una función de Liapunov en M, es decir, V (x) 0 en M. Se consideran los siguientes dos conjuntos. E = {x M V (x) = 0}. M = {La unión de cada trayectoria que empieza en E y se queda en E para t > 0}. M, es la parte positivamente invariante de E. Teorema (LaSalle). Para todo x M, φ(t, x) M cuando t. Demostración. Sea x M, entonces, φ(t, x) M para todo t 0. Sea, y ω(x). V (φ(t, x)) es no creciente respecto a t y como V 0 entonces existe,

48 38 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA lím V (φ(t, x)) = c 0. t Por la continuidad de V se tiene que V (z) = c para todo z ω(x). Como ω(p) es invariante, entonces V (φ(t, y)) = c para todo t R. Derivando se obtiene que V = V φ(y) = 0. Por lo tanto, y E. Como y es arbitrario entonces ω(x) E. Por la invarianza de ω(x) se tiene que ω(x) M. Por lo tanto, φ(t, x) M cuando t Análisis global: Isoclinas En los métodos utilizados anteriormente, se realizaba un análisis local del sistema, como estudiar el comportamiento del mismo en una vecindad del punto fijo, haciendo un estudio asintótico del sistema o diciendo cuando no se tienen órbitas cerradas en el plano. Ahora, se verá una nueva técnica en la cual se hace un análisis global del sistema de ecuaciones diferenciales no lineal. Esta son las isoclinas. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, x 1 = f 1 (x 1,..., x n ). x n = f n (x 1,..., x n ) (2.8.41) Definición Se definen las x j -isoclina, con j = 1, 2,, n, como el conjunto de puntos donde x j se anula, es decir, las x j -isoclina es el conjunto de puntos determinado por f j (x 1,..., x n ) = 0. Las x j -isoclina permiten descomponer a R n en una colección de conjuntos abiertos, en donde el campo vectorial de los puntos de cada región apuntan todos en cierta dirección. Además, las isoclinas se intersectan todas en los puntos fijos del sistema. Un diagrama de las iscolinas y la dirección del campo vectorial en cada región permite entender el diagrama de fase del sistema desde un punto de vista cualitativo. Para entender mejor el concepto de isoclinas se desarrollara el siguiente ejemplo.

49 2.8. ANÁLISIS GLOBAL: ISOCLINAS 39 Ejemplo Se considera el siguiente sistema, x = y x 2 y = x 2. (2.8.42) Las x-isoclinas es el conjunto de puntos donde y x 2 se anula, y las y-iscolinas es el conjunto de puntos donde x 2 se anula. Por lo tanto, la x-isoclina es la parábola y = x 2 y la y-isoclina la recta vertical x = 2. Las iscolinas se intersectan en el punto (2, 4), entonces esté es el único punto fijo del sistema. Las isoclinas dividen a R 2 en cuatro regiones, como se muestra en la Figura Fuente: M.W.Hirsh, S.Smale, R.L.Devaney (2004). Figura 2.10: Las isoclinas y el punto fijo. Ahora, se escoge un punto en cada región y se determina la dirección del campo vectorial en el punto, la dirección del campo vectorial del resto de puntos de la región queda determinado por la dirección del punto que se escogió anteriormente. i. Región A Escogemos el punto (0, 1), el campo vectorial en este punto es (1, 2). Por lo tanto, la dirección del campo vectorial apunta hacia el sudeste.

50 40 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA ii. Región B Escogemos el punto (3, 10), el campo vectorial en este punto es (1, 1). Por lo tanto, la dirección del campo vectorial apunta hacia el nordeste. iii. Región C Escogemos el punto (3, 1), el campo vectorial en este punto es ( 8, 1). Por lo tanto, la dirección del campo vectorial apunta hacia el noroeste. iv. Región D Escogemos el punto ( 2, 1), el campo vectorial en este punto es ( 5, 4). Por lo tanto, la dirección del campo vectorial apunta hacia el sudoeste. Sobre la x-isoclina, a la izquierda del punto fijo la dirección del campo vectorial apunta al sur, y a la derecha del punto fijo la dirección del campo vectorial apunta hacia el norte. Sobre la y-isoclina, arriba del punto fijo la dirección del campo vectorial apunta al este, y abajo del punto fijo la dirección del campo vectorial apunta hacia el oeste. En la Figura 2.11, se muestra la dirección del campo vectorial en todo el plano. Fuente: M.W.Hirsh, S.Smale, R.L.Devaney (2004). Figura 2.11: Dirección del campo vectorial en todo el plano. Observando la dirección del campo vectorial en todo el plano, pareciera que el punto fijo es un punto de silla. De hecho, este es el caso ya que linealizando el sistema en el punto (2, 4) se obtiene,

51 2.8. ANÁLISIS GLOBAL: ISOCLINAS 41 X = ( ) X. Ahora hallando los autovalores se obtiene, 4 λ 1 1 λ = 0 λ 2 + 4λ 1 = 0 De donde se obtiene que los autovalores son, λ = 2 ± 5 Uno de los autovalores es positivo y el otro es negativo. Por lo tanto, el punto fijo es un punto de silla. Por otro lado, se observa que las soluciones en la región B, deben empezar en la región B para todo tiempo y tienden a en dirección al nordeste. De manera similar, las soluciones en la región D, deben empezar en la región D para todo tiempo y tienden a en dirección al sudoeste. Las soluciones que empiezan en las regiones A y C, después de un tiempo cruzan una de las isoclinas, y pasan a las regiones B y D, o también tienden al punto fijo. En la Figura , se muestra el diagrama de fase de este sistema.

52 42 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A DINÁMICA Fuente: M.W.Hirsh, S.Smale, R.L.Devaney (2004). Figura 2.12: Diagrama fase del sistema.

53 Capítulo 3 Modelos de epidemiología Las enfermedades están siempre presentes en la vida del ser humano. Las enfermedades trasmisibles han sido de gran influencia en la historia de la humanidad, como en la caida de los grandes imperios o el crecimiento de la población. Una epidemia se describe como un brote repentino de alguna enfermedad que infecta a gran parte de la población de alguna región. En las epidemias no todas las personas son infectadas. Estos brotes suelen repetirse con intervalos de varios años, pero cada vez con menos intensidad debido a que las poblaciones van generando cierta inmunidad. Si la enfermedad permanece a lo largo del tiempo se estaría hablando de una situación endémica. Los mecanismos de trasmisión de las enfermedades son los virus, las bacterias y los agentes externos. Los primeros enfoques en epidemiología matemática a partir de modelos compartimentales fueron hechos por los médicos de salud pública Kermack y McKendrick (1927), estos son modelos en donde se divide la población de estudio en clases disjuntas. Se estudiarán los modelos compartimentales que estos dos médicos propusieron, y que son el modelo SIR y el SIRS. El primer modelo se utiliza para enfermedades que son causadas por algunos virus y en estas enfermedades los individuos infectados que se han recuperado, no vuelven a adquirir la enfermedad. El segundo modelo se utiliza para enfermedades que son causadas por bacterias, y en este tipo de enfermedades el individuo infectado que se ha recuperado vuelve a ser susceptibles, es decir, puede volver a adquirir la enfermedad. Para ambos modelos se tomará una población y se dividirá en tres grupos disjuntos S, I y R. El número de individuos que son susceptibles a la enfermedad se denota por S. El número de individuos que están infectados de la enfermedad, por I, y el número de individuos que se han recuperado de la enfermedad, por R. Además, se asume que la población elegida es constante, S +I +R = τ, por lo tanto (S +I +R) 43

54 44 CAPÍTULO 3. MODELOS DE EPIDEMIOLOGÍA es cero Modelo SIR El modelo de Kermack-McKendrick, también conocido como SIR, modela las enfermedades que son causadas por agentes virales como el sarampión, la varicela, las paperas, etc., en las cuales el individuo que se infecta, una vez recuperado adquiere inmunidad contra reinfección. El modelo SIR, es un modelo compartimental simple, basado en la razón de flujo de los miembros de las distintas clases. En este modelo se asumirá lo siguiente: 1. Si un individuo ha sido infectado y luego se recupera, entonces, este individuo no puede volver a adquirir la enfermedad. 2. La razón de trasmisión de la enfermedad es proporcional al número de encuentros entre los individuos susceptibles e infectados. 3. La razón por la que la población infectada se recupera, es proporcional al número de infectados. Fuente: F. Brauer, C. Castillo-Chavez (2012). Figura 3.1: Diagrama de flujo Por lo tanto, las ecuaciones del modelo SIR serán: S = βsi, I = (βs ν)i, R = νi, (3.1.1) donde un individuo pasa de estar susceptible a infectado, con una posibilidad β y pasa de estar infectado a recuperado, con una posibilidad ν. Los parámetros β y ν son positivos.

55 3.1. MODELO SIR 45 Las soluciones que son de interés son las positivas, y en las ecuaciones se observa que el eje S es invariante, y el eje I es positivamente invariante. Además, como S + I + R es constante, una vez se determina I(t) y S(t), se puede hallar R(t). De esta manera, se puede considerar el siguiente sistema bidimensional. S = βsi, I = (βs ν)i, (3.1.2) Se estudiará la dinámica de este sistema. Un primer paso consiste en estudiar los puntos fijos del sistema (3.1.2). Basta para ello resolver las siguiente ecuaciones βsi = 0, (3.1.3) I(βS ν) = 0, (3.1.4) De (3.1.3) se obtiene que S = 0 o I = 0, y de (3.1.4) que I = 0 o S = ν/β. Por lo tanto, los puntos fijos interesantes para el sistema (3.1.2) son (S, 0) para todo S 0. Para estudiar el caracter de estabilidad de los puntos fijos se considera el sistema linealizado dado por, ( βi βs Y = βi βs ν ) Y. La matriz que resulta de la linealización en los puntos fijos (S, 0) es, ( ) 0 βs A =. 0 βs ν Los autovalores de la matriz A son, λ 1 = 0 y λ 2 = βs ν. El segundo autovalor sera negativo si 0 < S < ν/β y positivo si S > ν/β. El sistema linealizado es no hiperbólico.

56 46 CAPÍTULO 3. MODELOS DE EPIDEMIOLOGÍA Ahora se verá cual es el autovector correspondiente al autovalor λ 1 = 0. ( ) ( ) ( ) 0 βs x 0 =, 0 βs ν y 0 ( ) ( ) βsy 0 =, (βs ν)y 0 Por lo tanto, V 1 = {(x, 0) x R}. Se puede decir que W c será el eje S. Además, W s R 2 + y los puntos fijos que están a la derecha de ν, son inestables, y los que están a la izquierda β son estables. Para estudiar el comportamiento del sistema en detalle en R 2 se consideran las S-isoclinas e I-isoclinas, es decir, el conjunto de puntos donde S e I se anulan respectivamente, las cuales son utiles para entender la dirección del campo vectorial en las distintas regiones en las que las isoclinas dividen al plano R 2. Las S-isoclinas, serán el conjunto de puntos donde βsi se anula, y las I-isoclinas seran el conjunto de puntos donde βsi νi se anula. Por lo tanto, las S-isoclinas son el eje S y el eje I, y las I-isoclinas son el eje I y la línea vertical S = ν/β. Se observará como es la dirección del campo vectorial sobre las isoclinas. i. Sobre el eje I. Se obtiene que S = 0 e I = νi, entonces, las soluciones tienden a el punto (0,0) a lo largo de esta línea. ii. Sobre la recta S = ν/β. Se obtiene que I = 0 y S = νi, entonces, el campo vectorial sobre esta línea vertical, apunta al oeste. iii. Si se toma un punto (S 0, I 0 ), con I 0 > 0 y S 0 > ν/β. Se obtiene que βsi > νi, entonces, S será negativo, e I será positivo, y el campo vectorial, apuntará hacia el nordeste.

57 3.1. MODELO SIR 47 Fuente: M.W.Hirsh, S.Smale, R.L.Devaney (2004). Figura 3.2: Isoclinas y dirección del campo vectorial en el modelo SIR iv. Si se toma un punto (S 0, I 0 ), con I 0 > 0 y S 0 < ν/β. Se obtiene que I y S serán negativos, y las soluciones, apuntarán hacia el sudoeste. En la Figura 3.2 se observa el diagrama de las isoclinas. Confirmándose la información que se tenía sobre la estabilidad de los puntos fijos. Para estudiar la dinámica más en detalle en este caso, se pueden dar explicitamente las curvas soluciones. Nótese que la pendiente del campo vectorial es una función que sólo depende de S: Entonces tenemos que, I S = βsi νi βsi = 1 + ν βs. luego, di/dt ds/dt = di ds = 1 + ν βs, ( di = 1 + ν ) ds βs I = ds + ν 1 ds + C, β S

58 48 CAPÍTULO 3. MODELOS DE EPIDEMIOLOGÍA Fuente: M.W.Hirsh, S.Smale, R.L.Devaney (2004). Figura 3.3: Diagráma de fase del sistema SIR de donde se obtiene, donde C es una constante. I = I(S) = S + ν log S + C, β El punto máximo de esta función se alcanza en (ν/β,i), y además I + S (ν/β) log S es constante. Por lo tanto, hay una única curva que une a cada punto fijo del intervalo ν/β < S < con algún punto fijo del intervalo 0 < S < ν/β. En la Figura 3.3 se muestra el diagrama de fase del modelo SIR. Esto demuestra que la variedad inestable W u, de algún punto fijo que esta entre ν/β < S <, será la variedad estable W s, del punto fijo con el que se une en el intervalo 0 < S < ν/β. En este caso, se tienen conexiones heteroclinas entre la variedad estable y la variedad inestable Modelo SIRS Hay otro tipo de enfermedades como la gripe, la malaria o la tuberculosis, en donde el individuo que ya se ha recuperado puede volver a ser susceptible de tener nuevamente la enfermedad. Este es un modelo más complejo sobre enfermedades infecciosas. De igual manera, este modelo es compartimental

59 3.2. MODELO SIRS 49 y se basa en la razón de flujo entre miembros de distintas clases. Para este modelo se asume que: 1. Las personas recuperadas pueden perder su inmunidad y así volverse a infectar. 2. La razón de trasmisión de la enfermedad, es proporcional al número de encuentros entre los individuos susceptibles y los infectados. 3. La razón por la que la población infectada se recupera, es proporcional al número de infectados. 4. La razón que lleva a que los individuos recuperados vuelvan a ser susceptibles a la enfermedad, es proporcional a la población de individuos recuperados. Fuente: Elaboración propia. Figura 3.4: Diagrama de flujo Por lo tanto, las ecuaciones del modelo SIRS(donde la última S representa los individuos recuperados que pueden pasar a ser susceptibles) serán, S = βsi + µr, I = (βs ν)i, R = νi µr, (3.2.5) un individuo pasa de estar susceptible a infectado con una posibilidad β, pasa de estar infectado a recuperado con una posibilidad ν, y pasa de estar recuperado a susceptible con una posibilidad µ. Los parámetros β, ν y µ son positivos. Como asumimos que la población dada es constante, entonces, S+I +R = τ. De esta ecuación se obtine que, R = τ S I y por lo tanto, podemos considerar el siguiente sistema bidimensional:

60 50 CAPÍTULO 3. MODELOS DE EPIDEMIOLOGÍA con β, µ, ν y τ parámetros positivos. S = βsi + µ(τ S I), I = (βs ν)i, (3.2.6) Un primer paso consiste en estudiar los puntos fijos. Para encontrar los puntos fijos del sistema (3.2.6), se debe observar en que puntos I y S se anulan. βsi + µ(τ S I) = 0, (3.2.7) I(βS ν) = 0, (3.2.8) Se puede ver que (3.2.8) se anula en I = 0 y S = ν/β. Entonces, i. Si I = 0. De (3.2.7) se obtiene que µ(τ S) = 0. Por lo tanto, el primer punto fijo sera P 1 = (τ, 0). ii. Si S = ν β. ( De (3.2.7) se obtiene que β ν β ) ) I + µ (τ νβ I = 0, entonces, µ (τ νβ ) ( ) ν I = β I, β ( µ τ ν ) = I (µ + ν), β ( ) µ τ ν β I =. µ + ν Por lo tanto, el segundo punto fijo es, P 2 = ( ν β, µ(τ ν ) ) β. ν + µ

61 3.2. MODELO SIRS 51 El segundo punto fijo existe cuando τ ν/β. Cuando τ = ν/β, se observa que los dos puntos de equilibrio tomarán el valor de (τ, 0), y entonces, no será un punto endémico. Para estudiar el caracter de estabilidad de los puntos fijos, se considera el sistema linealizado dado por, ( βi µ βs µ Y = βi βs ν ) Y. La matriz asociada a la linealización de P 1 es, ( ) µ βτ ν A =. 0 βτ ν Los autovalores de la matriz A son, λ 1 = µ y λ 2 = βτ ν. Como βτ ν. Si βτ > ν se obtiene que λ 2 > 0 y λ 1 < 0. Por lo tanto, P 1 es un punto inestable. Si βτ = ν entonces, λ 2 = 0. La matriz asociada a la linealización del punto P 2 es, ( µ(τ ν β ) ) ( ) β ν µ β µ β ν + µ B = ( µ(τ ν β β ) ) ( ) ν β ν β ν + µ = µ(τβ + µ) ν + µ µ(τβ ν) ν + µ ν µ 0. Se halla la traza y el determinante de la matriz B: Traza B = µ(τβ + µ) ν + µ

62 52 CAPÍTULO 3. MODELOS DE EPIDEMIOLOGÍA ( ) µ(τβ ν) det B = (ν + µ) = µ(τβ ν) ν + µ Se sabe que, βτ ν. Si βτ > ν, entonces la traza de B será negativa y el determinante de B será positivo. Como la traza es la suma de los autovalores, y el determinante es el producto de los autovalores, entonces, los autovalores de B, tienen parte real negativa. Por lo tanto, P 2 es asintóticamente estable y será un punto endémico. El sistema es de interés sólo cuando las variables S, I, R 0. Por lo anterior, se tiene que S +I τ. Por lo tanto, el modelo SIRS será interesante en la región triangular = {(S, I) R 2 : S, I 0, S + I τ}. Fuente: Elaboración propia. Figura 3.5: La región y la dirección del campo vectorial sobre su frontera. Proposición La región es positivamente invariante. Demostración. Para ver que es positivamente invariante, se mira la dirección del campo vectorial, a través de la frontera de. Sobre el eje S tenemos que I = 0 y S = µ(τ S), y como S τ, el campo vectorial es tangente al eje S, apuntando hacia el punto fijo (τ,0). Sobre el eje I, se tiene que I = νi y S = µ(τ I), como I τ, entonces, S < 0, y por lo tanto el campo vectorial apunta hacia el sudeste. Ahora se observa que,

63 3.2. MODELO SIRS 53 S + I = µ(τ S I) νi, Q = µ(τ Q) νi, cuando Q τ, se obtiene que Q < 0, esto implica que Q = S + I es decreciente, por lo tanto el campo vectorial sobre la hipotenusa apunta hacia adentro de la región. Por lo tanto, es positivamente invariante. = {(S, I) R 2 : S, I 0, S + I τ}, Vamos a estudiar la dinámica en. Para esto se empieza considerando las isoclinas. Luego se verá como es el campo vectorial sobre las distintas regiones en las que las isoclinas dividirán a. Las I-isoclinas son I = 0 y S = ν/β, como en el modelo SIR. Las S- isoclinas seran los puntos determinados por βsi + µ(τ S I) = 0, es decir, que estarán dadas por la gráfica de la función, I = I(S) = µ(τ S) βs + µ. Calculando la primera y segunda derivada de esta función se obtiene, I (S) = µ(βs + µ) βµ(τ S) (βs + µ) 2 = µ2 βµτ (βs + µ) 2 < 0, I (S) = 2β(βS + µ)(µ2 + βµτ) (βs + µ) 4 > 0, cuando 0 S < τ. Por consiguiente, la función es decreciente y convexa, y pasa por los puntos (τ,0) y (0,τ). Como se muestra en la Figura 3.6 Se observará como es la dirección del campo vectorial sobre las isoclinas. i. Sobre la I-isoclina S = ν β. Se obtiene que S = νi + µ positivo S, (τ νβ I ). Ahora, se verá cuando es

64 54 CAPÍTULO 3. MODELOS DE EPIDEMIOLOGÍA Fuente: M.W.Hirsh, S.Smale, R.L.Devaney (2004). Figura 3.6: Isoclinas y diagrama de fase del sistema SIRS νi + µ (τ νβ ) I > 0 µ (τ νβ ) I > νi ( µ τ ν ) > I(ν + µ) β ( ) µ τ ν β > I. ν + µ Análogamente, se puede ver que S es negativo cuando, ( ) µ τ ν β ν + µ ( ) ν Por lo tanto, el campo vectorial en los puntos, I β 0, apuntará al oeste cuando I 0 > µ(τ ν β ), y al este cuando I ν+µ 0 < µ(τ ν β ). ν+µ < I

65 3.2. MODELO SIRS 55 ii. Sobre la S-isoclina I(S) = µ(τ S) y S < ν, ν+µ β Si S < ν entonces, βsi < νi. Luego, se obtiene que, β I = βsi νi < νi νi < 0. Por lo tanto, en este caso el campo vectorial apunta hacia el sur. iii. Sobre la S-isoclina I(S) = µ(τ S) y S > ν, ν+µ β Si S > ν entonces βsi > νi. Luego, se obtiene que, β I = βsi νi > νi νi > 0. Por lo tanto, en este caso el campo vectorial apunta hacia el norte. Las enfermedades que se modelan con el modelo SIRS, llegarán a ser estables en la población, cuando el número total de personas en la comunidad sea mayor a ν. Además, en el diagrama de fase se observa que todas las β soluciones tienden al punto fijo P 2, y la proporción de individuos infectados que pasan a ser susceptibles, tenderá a estabilizarse.

66 56 CAPÍTULO 3. MODELOS DE EPIDEMIOLOGÍA

67 Capítulo 4 Vacunación Como uno de los principales objetivos en la epidemiología es lograr que la mayor cantidad de la población sea inmune a las enfermedades, es por estó que se desarrollaron las vacunas, cuyo fin consiste en inocular al paciente con una dosis mínima y controlada del virus o la bacteria logrando que el sistema inmune lo reconozca, obligándolo a producir las defensas para que si el paciente llega a ser tocado por el virus o bacteria su organismo lo (a) detecte, ataque y protega al individuo de la enfermedad. En este capítulo se pretende introducir al tema de las vacunas. Para esto se definirá el número de reproducción básico, para luego, definir un modelo SIR de vacunación. Por último, se definirá el porcentaje de población que debe ser vacunado para lograr inmunidad en cuanto a las enfermedades El número de reproducción básico El número de reproducción básico, denotado como R 0, es una cantidad que es de gran importancia en la epidemiología. R 0 se define como el número promedio de casos secundarios producidos por un individuo que se encuentra infectado en una población donde todos son susceptibles, es decir, S = τ. El número de reproducción básico, es aquel que indica si una enfermedad puede invadir a cierta población. Si R 0 > 1, entonces, un individuo infectado trasmitirá la enfermedad a más de una persona, lo cual provoca que la enfermedad se extienda. Si R 0 < 1, entonces la enfermedad se extinguirá. Se verá un tabla donde se muestra el valor de R 0 para enfermedades que son muy conocidas. Se puede observar que el número R 0 depende tanto de 57

68 58 CAPÍTULO 4. VACUNACIÓN la enfermedad como del medio donde esta se desarrolla. Enfermedad R 0 (aproximado) Viruela 5 Rubéola 17 Varicela 11 VIH(Hombres homosexuales en Inglaterra y Gales) 4 VIH(Mujeres prostitutas en Kenya) 11 Malaria 100 Fuente: Cambridge University(2001). Cuadro 4.1: Número de reproducción básico de algunas enfermedades Ahora, se calcula el número de reproducción básico para el modelo SIR. Este modelo esta dado por, S = βsi, I = (βs ν)i, R = νi, (4.0.1) un individuo pasa de estar susceptible a infectado con una posibilidad β y pasa de estar infectado a recuperado con una posibilidad ν. Con β y ν positivos. Como el número de reproducción básico esta dado por la razón en que los casos secundarios son producidos en el período de infección promedio, entonces, R 0 en este modelo es, R 0 = (βs) = β ν. ( ) 1 ν Por lo tanto, si I > 0 y S > 1/R 0, entonces, se tiene que I > 0, es decir, que el número de infectados aumentará y la enfermedad llegará a ser una epidemia. Por el contrario, si I > 0 y S < 1/R 0, entonces, se tiene que I < 0, y la enfermedad tenderá a acabarse.

69 Modelo de vacunación Si un individuo de la población recibe una vacunación exitosa, este pasa directamente al grupo de personas recuperadas, es decir, que esta persona ya no puede ni recibir ni trasmitir la enfermedad. Se va a introducir un modelo en donde se considera que la razón de individuos vacunados es V. Además, los únicos individuos que son vacunados son los susceptibles ya que si se llega a vacunar un individuo infectado o un individuo recuperado, la vacuna no tendrá ningun efecto. El modelo de Kermack y McKendrick, o modelo SIR con individuos vacunados es: S = ( βi V )S I = (βs ν)i R = νi + V S (4.0.2) un individuo pasa de estar susceptible a infectado, con una posibilidad β y pasa de estar infectado a recuperado con una posibilidad ν. Los parámetros β y ν son positivos. Las soluciones que son de interés son las positivas. En las ecuaciones se observa que los ejes S e I son positivamente invariante. Además, como S +I +R = τ es constante, una vez determinadas I(t) y S(t), se puede hallar R(t). De esta manera, se puede considerar el siguiente sistema bidimensional. S = ( βi V )S, I = (βs ν)i. (4.0.3) Un primer paso consiste en estudiar los puntos fijos. Para encontrar los puntos fijos del sistema (4.0.3), se debe observar en que puntos I y S se anulan. S( βi V ) = 0, (4.0.4) I(βS ν) = 0, (4.0.5) Se puede ver que (4.0.5) se anula en I = 0 y S = ν/β. Entonces, i. Si I = 0. De (4.0.4) se obtiene que V S = 0, entonces, S = 0.

70 60 CAPÍTULO 4. VACUNACIÓN ii. Si S = ν β. De (4.0.4) se obtiene que ν β ( βi V ) = 0, entonces, I = ν β. Como las ecuaciones sólo tienen sentido para S, I 0, entonces, el sistema en R 2 +, el único punto fijo que admite es P = (0, 0). Para estudiar el carácter de estabilidad de los puntos fijos, se considera el sistema linealizado dado por, ( βi V βs Y = βi βs ν ) Y. La matriz que resulta de la linealización en los puntos fijos P = (0, 0) es, A = ( V 0 0 ν ). Los autovalores de la matriz A son, λ 1 = V y λ 2 = ν. Como los autovalores son todos negativos, entonces, el punto fijo P es localmente estable. Como el sistema es de interés sólo cuando las variables son positivas y como S + I + R = τ, entonces, se tiene que S + I τ. Proposición La región = {(I, S) R 2 I, S 0, I + S τ} es positivamente invariante. Demostración. Se verá que es positivamente invariante. Sobre el eje I, se tiene que S = 0, entonces, S = 0 e I = νi. Por lo tanto, el eje I es positivamente invariante. Sobre el eje S, se tiene que I = 0, entonces, S = V S e I = 0. Por lo tanto, el eje S es positivamente invariante.

71 61 Se observa que, S + I = βis V S + βis νi, Q = (V S + νi), se obtiene que Q < 0, lo que implica que Q = S + I es decreciente, por lo tanto, el campo vectorial sobre la hipotenusa apunta hacia adentro de la región. Por lo tanto, = {(S, I) R 2 S, I 0, S + I τ}. Fuente: Elaboración propia. Figura 4.1: La región y la dirección del campo vectorial sobre su frontera. Por lo tanto, las soluciones en el modelo de vacunación, tienden al punto fijo P = (0, 0) cuando t, es decir, que el estado final del sistema será S = I = 0 y R = τ. Por otro lado, en el modelo de Kermack-McKendrick, se obtenía que la difusión de un enfermedad se iba a detener si se cumplía que R 0 S < 1, es decir, que la fracción de individuos susceptibles debe ser lo suficientemente pequeña, para que el individuo infectado, en promedio, trasmita la enfermedad a menos de una persona mientras se encuentra en ese estado. Como uno de los fines en epidemiología es buscar que el mayor número de personas sean inmunes a la enfermedad, es vacunando a la población

72 62 CAPÍTULO 4. VACUNACIÓN susceptible. Si la fracción de individuos que son inmunes por vacunación es V c, entonces, S = 1 V c, cuando I = 0. Por lo tanto, la inmunidad de gran parte de la población se alcanza si R 0 (1 V c ) < 1 o V c > 1 1 R 0. (4.0.6) Por ejemplo, en la viruela donde R 0 = 5 al menos el 80 % de la población debe ser vacunada, en el caso de la rubéola donde R 0 = 17 se debe vacunar al menos el 94 % de la población, y en el caso de la malaria, donde R entonces, al menos un 99 % de los individuos deben ser vacunados. Los resultados anteriores es lo que se esperaría tener, ya que a mayor número de reproducción básico, la enfermedad se propaga más rápidamente y por lo tanto, se necesita un mayor porcentaje de individuos inmunes. Además, las enfermedades que tienen un número de reproducción básico pequeño, se pueden erradicar con la vacunación, como ocurrió en el caso de la viruela, pero las que tienen un número de reproducción básico grande como la malaria, o la rubéola, es más complicado erradicarlas incluso con la ayuda de la vacunación. Un factor importante en el tema de la vacunación es la eficacia de las vacunas, ya que hay una fracción de la población que después de recibir la vacuna no se vuelve inmune a la enfermedad. Esta fracción usualmente se encuentra entre los valores 0,05 a 0,10, aunque en algunas enfemedades como la gripe puede tomar el valor de 0,4. Se define la eficacia como la fracción de la población que son vacunados y se vuelven inmunes a dicha enfermedad, y se denotará por V e. Si se considera la eficacia de la vacuna, entonces, la fracción R 0 de inmunes y vacunados debe satisfacer, V c = V V e, (4.0.7) donde V es la razón de individuos vacunados. Si se reemplaza (4.0.7) en la desigualdad (4.0.6), se obtiene que la inmunidad de gran parte de la población se alcanza si, ) ( ) V > (1 1R0. (4.0.8) 1Ve La desigualdad (4.0.8) nos indica la cantidad de la población que debe ser vacunada, teniendo en cuenta la eficacia de la vacuna. Por ejemplo, la

73 vacunación en contra de la rubéola para bebes de 15 meses, tiene una eficacia aproximadamente del 0,95. Como el número de reproducción básico de la rubéola es R 0 = 17, entonces, de (4.0.8) se obtiene que V > 0,99, es decir, que se debe vacunar al 99 % de la población para obtener inmunidad a la rubéola. 63

74 64 CAPÍTULO 4. VACUNACIÓN

75 Capítulo 5 Modelo de propagación de gusanos en WSN Los modelos epidemiológicos, no sólo son usados para modelar epidemias o endémias, si no que también pueden ser usados por ejemplo, para modelar la propagación de gusanos en la internet, debido a que este proceso es similar al proceso de propagación de virus en el ser humano, o la propagación de gusanos en redes de sensores inalámbricos (WSN). En este capítulo se explicará sobre el proceso de propagación de gusanos en redes de sensores inalámbricos, luego, se modelará este proceso obteniendo un sistema de ecuaciones diferenciales, no lineales, contenido en R 3, y por último se hará un estudio del comportamiento asintótico del modelo Análisis del modelo de propagación de gusanos en WSN Los gusanos son códigos de programas de computación dañinos, ya que estos pueden propagarse en redes computacionales para dañar o robar información del sistema. Una red de sensores inalámbricos (WSN), es una colección de muchos sensores que también se conocen como nodos. Los nodos tiene energía y capacidad de comunicación limitada. Los gusanos que están en un nodo de WSN, sólo se pueden propagar a los nodos que estan en el rango de comunicación del nodo, es decir, a los vecinos del nodo. Además, cuando los nodos se comunican entre ellos consumen energía que proviene de unas micro-baterías que no son recargables. 65

76 66CAPÍTULO 5. MODELO DE PROPAGACIÓN DE GUSANOS EN WSN El modelo de propagación de gusanos en las redes de sensores inalámbricos se basa en el modelo SIR, aunque este, propone algunas mejoras a este modelo. Este nuevo modelo se conocerá como modelo isirs. En el modelo isirs, se introduce la variable muerte, la cual representa la falta de batería (muerte) de los nodos de WSN. Ahora, se verán los detalles del modelo. Una red de sensores, en una conexión inalámbrica que consiste de N sensores inalámbricos estáticos e idénticos. Los nodos estarán ubicados uniformemente en un círculo de radio q. Cada nodo tiene una antena omnidireccional y el rango de la comunicación inalálmbrica es un círculo con radio r. La estructura del WSN se muestra en la figura 5.1. Fuente: X. Wang, Y. Li (2009). Figura 5.1: Estructura del WSN. Los nodos se clasificarán en cuatro estados: Conjunto de nodos susceptibles S: Estos nodos no han sido infectados por ningún gusano de WSN, pero son vulnerables a los gusanos. Conjunto de nodos infectados I: Estos nodos han sido infectados por gusanos de WSN, y pueden infectar a los vecinos que son susceptibles. Conjunto de nodos recuperados R: Estos nodos fueron infectados por algún gusano, pero ya no tienen el gusano. Son inmunes al gusano que los infectó, pero aún pueden ser infectados por otros gusanos de WSN. Conjunto de nodos muertos D: Estos nodos son aquellos que han agotado su energía. No pueden ser infectados por algún gusano, y no participan en el proceso de propagación de gusanos de WSN.

77 5.1. ANÁLISIS DEL MODELO DE PROPAGACIÓN DE GUSANOS EN WSN67 En un instante t, el número de nodos en cada estado se denota por S(t), I(t), R(t) y D(t). En el modelo de propagación de gusanos en las redes de sensores inalámbricos en una unidad de tiempo, se asume lo siguiente: Un nodo susceptible, llega a ser un nodo infectado con posibilidad α 1. El parámetro α 1 es positivo. Un nodo infectado, llega a ser un nodo recuperado con posibilidad α 4. El parámetro α 4 es positivo. Un nodo recuperado, llega a ser un nodo susceptible con posibilidad α 5. El parámetro α 5 es positivo. Un nodo susceptible, infectado o recuperado, llega a ser un nodo muerto con posibilidad α 2, α 3 o α 6, respectivamente. Los parámetros α 2, α 3 y α 6 son positivos. El número promedio de gusanos en cada nodo infectado en WSN es k. Ahora se verá la relación de transición entre los estados de los nodos. En S hay α 2 S(t) nodos que pasarán a D con posibilidadα 2. En I hay α 3 I(t) nodos que pasarán a D con posibilidad α 3. En R hay α 6 R(t) nodos que pasarán a D con posibilidad α 6. En I hay α 4 I(t) nodos que pasarán a R con posibilidad α 4. En R hay α 5 S(t) nodos que pasarán a S con posibilidad α 5. En S hay α 1 ks (t)i(t) nodos que pasarán a I con posibilidad α 1, donde k es el número promedio de gusanos que hay en cada nodo infectado, y S (t) es el número de nodos susceptibles que están alrededor del nodo infectado. Como el rango de comunicación entre los nodos es limitado, es por esto que, el número de nodos que son susceptibles y están al lado de un nodo infectado, es menor que el número de nodos susceptibles en WSN, por tal razón S (t), es menor que S(t). Ver Figura 5.2. Por otro lado, se denota el área de comunicación de un nodo por S r, y el número de nodos susceptibles en una unidad de área en WSN por p(t). Luego, se tienen las siguientes ecuaciones, S r = πr 2, (5.1.1) p(t) = S(t) πq, 2 (5.1.2) S (t) = S r p(t). (5.1.3)

78 68CAPÍTULO 5. MODELO DE PROPAGACIÓN DE GUSANOS EN WSN Fuente: X. Wang, Y. Li (2009). Figura 5.2: Relaciones de los nodos. De las ecuaciones (5.1.1), (5.1.2) y (5.1.3) se obtiene que, S (t) = r2 S(t). (5.1.4) q2 De acuerdo con la relación de transición entre los estados de los nodos que se observa en la Figura 5.2, y la ecuación (5.1.4), se derivan las siguientes ecuaciones diferenciales, I = r2 q 2 α 1kSI α 3 I α 4 I S = α 5 R r2 q 2 α 1kSI α 2 S R = α 4 I α 5 R α 6 R D = α 2 S + α 3 I α 6 R (5.1.5) El número total de nodos en WSN es N, y por eso, en cualquier instante t se sostiene la siguiente ecuación, I + S + R + D = N. (5.1.6) El modelo de propagación de gusanos en las redes de sensores inalámbricos o modelo isirs, esta dado por (5.1.5), y es un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal.

79 5.1. ANÁLISIS DEL MODELO DE PROPAGACIÓN DE GUSANOS EN WSN69 Ahora se estudiará la dinámica del sistema (5.1.5). Como la variable D sólo depende de S, R e I, entonces, basta considerar el siguiente sistema, donde δ = r2 q 2 α 1k. I = (δs α 3 α 4 )I S = α 5 R (δi α 2 )S R = α 4 I (α 5 α 6 )R El sistema es de interés sólo cuando las variables I, S, R y D son mayores o iguales a cero. Por lo anterior, se tiene que I + S + R N. Fuente: Elaboración propia. Figura 5.3: Región. Proposición La región = {(I, S, R) R 3 I, S, R 0, I + S + R N} es positivamente invariante. Demostración. Se verá que es positivamente invariante. Si I = 0, entonces, I = 0. Por lo tanto, el plano RS es invariante. Si R = 0, entonces, R = α 4 I 0. Por lo tanto, las soluciones se saldrán del plano SI, pero permanecerá en el interior de R 3 +. Si S = 0, entonces, S = α 5 R 0. Por lo tanto, las soluciones se saldrán del plano RI, pero permanecerá en el interior de R 3 +.