Circuitos de Corriente Continua

Transcripción

1 Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática ircuitos de orriente ontinua - arga y descarga de una capacidad a través de una resistencia. Agustín Álvarez Marquina Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos Universidad Politécnica de Madrid

2 onsideremos el siguiente circuito. El interruptor S se encuentra en una posición intermedia desde hace mucho tiempo. Figura. ircuito formado por una resistencia R y una capacidad.

3 Proceso de carga del condensador. En el instante tt se procede a conectar el interruptor al punto. El circuito resultante es el indicado por la Figura. Figura. ircuito R durante el proceso de carga de la capacidad. 3

4 Proceso de carga del condensador. Para dicho instante se verifica (condiciones iniciales): ( t ) 0 ( ) max I i t I R Para cualquier instante t, la ecuación del circuito será: R + donde, R ir q 4

5 Proceso de carga del condensador. Derivando la ecuación del circuito ecuación respecto al tiempo, obtenemos: di dq 0 R + La anterior expresión puede rescribirse, si tenemos en cuenta que: dq i Quedando por tanto: di 0 R + i ; di R i 5

6 Proceso de carga del condensador. Separando variables en esta última expresión, tenemos: di i t R Integrando desde tt (instante inicial del proceso de carga) hasta t, queda: i ( t ) I ( ) di i R Resolviendo la integral se obtiene por tanto: i lni ln I ( ) ln t t ; R I R t t ( t t ) 6

7 Proceso de carga del condensador. Por último, despejando el término i(t) se obtiene la expresión definitiva: i ( ) R τ t I e I e tt tt siendo: τ R la constante de tiempo o de relajación. 7

8 Proceso de carga del condensador. Gráficamente, la corriente en función del tiempo es la mostrada en la Figura: Figura. Representación de la corriente i(t) en función del tiempo. 8

9 Proceso de carga del condensador. omo puede comprobarse la anterior gráfica es una función exponencial cuya pendiente en el punto inicial (tt ) es τr. Esto puede comprobarse fácilmente si se deriva la expresión de i(t) respecto al tiempo: t t ( ) R d i t Ie R Si ahora personalizamos la última expresión para tt, tenemos: d i I I tgα R τ t t 9

10 Proceso de carga del condensador. Un último aspecto relevante es que para una vez transcurrido un lapso de tiempo mayor o igual a 4τ, el proceso de carga se considera completado, en efecto para tt +4τ, tenemos: i 4τ τ ( t + 4τ ) Ie 0, 08I Esto es lo mismo que decir que la corriente es menor que el % de su valor inicial. 0

11 Proceso de carga del condensador. Así mismo, partiendo de la misma expresión podemos determinar la evolución de la carga del condensador: i R I e q 0 q q t t t R Ie t tt I R dq dq R e e tt tt τ

12 Proceso de carga del condensador. La representación gráfica de la variación de la carga es: Figura. Representación gráfica de la carga q.

13 Proceso de carga del condensador. De manera similar podemos determinar c(t) si tenemos en cuenta que está relacionada con i(t) por medio de: d i En este caso el signo negativo indica que c(t) aumenta a lo largo del tiempo mientras que el valor de la corriente i(t) va disminuyendo. 3

14 Proceso de carga del condensador. Reordenando la expresión e integrando respecto al tiempo t, obtendremos: d i ( t ) 0 d I t t I R e tt e t t R t t R ( ) R t I R e t t 4

15 Proceso de carga del condensador. Sustituyendo el valor de I, queda: y simplificando: tt R R e R t t τ e 5

16 Proceso de carga del condensador. La representación gráfica de dicha tensión puede verse en la Figura. Figura. Representación gráfica de la tensión (t). 6

17 Proceso de carga del condensador. La pendiente de la curva en el punto inicial (tt ) puede obtenerse evaluando la derivada de (t) en dicho punto: d t t tt τ e τ t t ( t ) d τ tgα 7

18 Proceso de descarga del condensador. Ahora en un instante posterior tt (siendo t >>t para poder asegurar que el condensador se haya cargado completamente) se procede a conectar el interruptor al punto i(t) c + R R Figura. ircuito R durante el proceso de descarga de la capacidad. 8

19 Proceso de descarga del condensador. En dicho instante se verifica (condiciones iniciales): ( t ) max i( t ) I R R Para cualquier instante t del proceso de descarga, se cumplirá que: + 0 R donde: q R ir 9

20 Proceso de descarga del condensador. Sustituyendo los términos (t) y R (t) por sus expresiones y derivando respecto al tiempo, obtenemos: d i dq d R di R di R

21 Proceso de descarga del condensador. Separando variables en la última expresión, tenemos: di i R Integrando desde tt (instante inicial del proceso de descarga) hasta t, queda: i ( t ) I di i R t t

22 Proceso de descarga del condensador. Si ahora resolvemos la integral se obtiene por tanto: ln i ln I ( t t ) R i ln ( t t ) I R Por último, despejando el término i(t) se consigue la expresión definitiva: siendo: i ( ) R τ t I e I e τ R tt tt la constante de tiempo o de relajación.

23 Proceso de descarga del condensador. Gráficamente, la corriente en función del tiempo es la mostrada en la Figura. Figura. Representación de la corriente i(t) en función del tiempo. 3

24 Proceso de descarga del condensador. omo puede comprobarse la anterior gráfica es una función exponencial cuya pendiente en tt es τr. En efecto, derivando la ecuación que describe la evolución de la corriente, obtenemos: d i t t τ I τ e Ahora si personalizamos la última expresión para tt, tenemos: d i I tgα τ t t 4

25 Proceso de descarga del condensador. Un último aspecto relevante es que para una vez transcurrido un lapso de tiempo mayor o igual a 4τ, el proceso de descarga se considera prácticamente terminado, puesto que para tt +4τ, tenemos: i 4τ τ ( t + 4τ ) I e 0, 08I Esto equivale a decir que la corriente será menor que el % de su valor máximo inicial. 5

26 Proceso de descarga del condensador. Para establecer el nivel de carga del condensador a lo largo de todo este proceso partimos del resultado anterior y de la relación existente entre carga presente en el condensador y corriente que circula por éste: t t dq R i Ie q q ( t ) dq dq I t t t R e t t t R I e donde el nivel de carga inicial q(t ) Q max 6

27 Proceso de descarga del condensador. Operando, llegamos al resultado final. q I R e t t R q e t τ t 7

28 Proceso de descarga del condensador. La representación gráfica de dicha carga puede verse en la Figura. q Figura. Representación gráfica de la carga q. e tt α τ 4τ t 8

29 Proceso de descarga del condensador. Por su parte, la tensión (t) puede estimarse también a partir de su relación con la corriente i(t): d i Integrando la anterior expresión, queda: ( t ) d I I t t e Re t t R tt R t t t t R I R e 9

30 Proceso de descarga del condensador. Por último, sustituyendo el valor de I, queda: tt + R e y simplificando: t ( ) τ t e t 30

31 Proceso de descarga del condensador. La representación gráfica de dicha tensión puede verse en la Figura. (t) I R Figura. Representación gráfica de la tensión (t). e tt α τ 4τ t 3