1. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: y' y

Transcripción

1 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: ' 0 Solución: la ecuación diferencial se la puede resolver por variables separables, como se ve. d ' 0 d d c ln c ke d Para graficar la familia de curvas se procederá a signar valores a la constante, de donde se hallan las siguientes curvas. k 0 k k ke k k. Dada la ecuación diferencial ', determine la solución general en función de k, grafique las curvas integrales encuentre la solución particular que verifica (). Solución: la solución se la puede hallar por el método de variables separables, como se observa. d ' d d c ln ln k k d Determinado la solución particular para las condiciones dadas. () k k Graficando la familia de curvas:. Dada la ecuación diferencial ' 4 0, determine la solución general, grafique las curvas integrales encuentre la solución particular para: () Solución: resolviendo por el método de variables separables, se tiene: d ' 4 0 ' 4 4 d d d d 0 d Procediendo a integral simplificando: 0 ln ln ln 4ln ln ln 4 d d 4 c c c ln ln c ln c ln k k... Solucion _ gral

2 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones Hallando la solución particular para la condición reemplazando en la solución general 4 () k k 4... Solución _ Part. La gráfica de la solución particular será: 4. Resolver la ecuación diferencial por variables separables. d d Solución: separando variables a que tiene la forma de f ( ) d g( ) d. d d d d d 0 d Procediendo a integrar: Ordenando simplificando al máimo: d d 0 d d 0 ln c. Resolver la siguiente ecuación diferencial k ln c ln k ln ln k ln ' 0 Solución. Si factorizamos términos semejantes, podemos emplear el método de ecuación diferencial de variables separables a que tiene la forma f ( ) d g( ) d. ' 0 ( ) d d d d c... A Integrando por cambio de variable en ambas integrales tenemos: v ( v) v d d dv ln v v d ln dv d v u ( u ) u d d du u ln u d ln du d u Reemplazando las últimas dos integrales en la ecuación A, empleando propiedades simplificando. ln ln c ln ( ) c ln ( ) c

3 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga 6. Resolver la ecuación diferencial por variables separables. Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones d d 4 8 Solución: factorizando en el denominador denominador, separando variables a que tiene la forma de f ( ) d g( ) d. d ( ) ( ) d ( )( ) d d c... A d 4 8 ( ) 4( ) d ( )( 4) 4 Resolviendo las integrales por separado. d d d ln( ) 4 d d d ln( 4) Reemplazando las anteriores integrales en A. 4 4 ln( ) ln( 4) c ln c ke 7. Resolver la ecuación diferencial homogénea d d 0. Solución: para resolver la ecuación diferencial, se hará el siguiente cambio de variable por ser una ecuación diferencial homogénea que tiene la forma ' f. u d du u u du u d d 0 d du u d u d u u d u d d Separando las variables e integrando se tiene: du u u 4u du d c du d c ln( u ) ln k u k 4 d u u 4 u 4 Volviendo a las variables originales, según u, se tiene. k 4 k k Resolver la ecuación diferencial homogénea e d e d 0, si () 0. Solución: como se observa la ecuación diferencial es homogénea, a que tiene la forma de ' f. Por lo tanto se hará el siguiente cambio de variable con su respectiva derivada. u u u d e du ue ue du u e d e d 0 u d du d u d u u d u e d d u e u e u e

4 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones Separando variables e integrando, se tiene: u u u u ln ln ln( ) u du u u e du d c e du d c u e k ku e d u u u u e Volviendo a las variables originales, se tiene: u u ln( k) e Determinando el valor de k para las condiciones iniciales: k e k e e 0 () 0 ln( ) 0 ln( ) 9. Resolver la ecuación diferencial homogénea cos sin d cos d. Solución: como se observa la ecuación diferencial es homogénea, a que tiene la forma de ' f. Ordenando realizando el cambio de variable para una E.D. homogénea: cos sin u d cos sin d cos d d d tan d du d u cos d d du du u tan u u tan u d du d du 0 d d tan u tan u De la última epresión procediendo a integrar: cos d du 0 d u du 0 ln ln sin u c ln c ln k k tan u sin u sin u sin u Volviendo a las variables originales, se tiene: u u k k sin sin 4 9 d 4 d 0 0. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas. a b c Solución: la ecuación diferencial tiene la forma ' f por lo que es posible reducirla a una ecuación a b c homogénea. Hallando el punto en común entre las rectas, haciendo los cambios de variable respectivos se tiene: d u, d du 4 9d 4 d 0 P(, ) d v, d dv dv u 4v du 4u v Reduciendo la última ecuación a homogénea con un cambio de variable, además de separar variables, se tiene. 4

5 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones v wu dv u 4v dw u 4wu dw 4w dw w dv dw u w u w u du 4u v uw du 4u wu du 4 w du 4 w du du 4 w 4 w dw du c dw du c 4 arctan w ln w ln u c w u w w u Llevando en función de las variables originales, se tiene: v v wu w u 4 arctan ln ln c u. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas 6 ' 6 a b c Solución: la ecuación diferencial tiene la forma ' f por lo que es posible reducirla a una ecuación a b c homogénea. Primero se debe hallar el punto en común entre las rectas, segundo se debe hacer los cambios de variable respectivos: d u, d du dv 6u v ' P(,0) d v, d dv du 6u v Tenemos una ecuación homogénea, por lo que se debe recurrir a otro cambio de variable. v wu dv 6u v dw 6 w dw 6 w dw w w 6 ww dv dw u w u w u du 6u v uw du 6 w du 6 w du 6 w 6 w du du 6 w dw du c... A w w u La primera integral se procederá a resolver mediante fracciones parciales. 6 w a lim w w w w 6 w a b 4 w dw dw dw ln w w w w w w 6 w w b lim w 4 w w w Reemplazando la última integral en A volviendo a las variables originales, se tiene: v w w w 6 ln ln ku ku 4 4 u k 4 k 4 w w u 4 4

6 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas ' a b c Solución: la ecuación diferencial tiene la forma ' f por lo que es posible reducirla a una ecuación a b c homogénea. Primero se debe hallar el punto en común entre las rectas, segundo se debe hacer los cambios de variable respectivos: d 0 u, d du dv u v ' P(,) d 0 v, d dv du u v Tenemos una ecuación homogénea, por lo que recurrimos a otro cambio de variable. v wu dv u v dw u wu w dw w w w dw w w dv dw u w u w u du u v uw du u wu w du w w du w du du w w dw du dw du 0 w w u w w u w De la última epresión procediendo a integrar: dw du 0... A w w u Resolviendo la integral por separado, se tiene: w w w z w z dw dw ln ln dw dz dz z w w w w dw dz w z z z z w Reemplazando las integrales anteriores en A, se tiene: wu ln w ln u c ln w ln u c ln k ln w w k w Volviendo a las variables originales: v w u w ln u ln ln k w k k u. Resolver la siguiente ecuación diferencial cos d sin d 0. Solución: P Q Verificando si es una ecuación diferencial eacta para ello debe cumplirse con P(, ) d Q(, ) d 0, esto F F se da siempre cuando P(, ) d Q(, ) d d d, donde F es F 0 es solución de la ecuación diferencial. P Q cosd sind 0 6 cos, 6 cos P Q Como es una ecuación diferencial eacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de, como se ve. P cos F ( cos ) k( ) F sin k( ) 6

7 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones Ahora determinemos k() derivando F respecto de e igualando a Q. F dk dk sin Q sin sin k( ) c F sin c 0 d d 4. Resolver la siguiente ecuación diferencial d d 0. Solución: P Q Verificando si es una ecuación diferencial eacta para ello debe cumplirse con P(, ) d Q(, ) d 0, esto F F se da siempre cuando P(, ) d Q(, ) d d d, donde F es F 0 es solución de la ecuación diferencial. P Q d d 0, P Q Como es una ecuación diferencial eacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de, como se ve. P F k( ) F ln k( ) Ahora determinemos k() derivando F respecto de e igualando a Q. F dk dk dk ln Q k c d d d Reemplazando k ln c en F, se tiene: F ln ln c 0. Resolver la siguiente ecuación diferencial ( sin sin ) d ( cos cos ) d 0. Solución. Si introducimos el signo negativo dentro del paréntesis obtenemos una ecuación diferencial eacta a que cumple P Q con P(, ) d Q(, ) d 0, esto se da siempre cuando (, ) (, ) F F P d Q d d d, donde F es F 0 es solución de la ecuación diferencial. P Q ( sin sin ) d ( cos cos ) d 0 sin cos, cos sin P Q Como es una ecuación diferencial eacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de, como se ve. P ( sin sin ) F ( sin sin ) k( ) F cos sin k( ) Ahora determinemos k() derivando F respecto de e igualando a Q. F dk dk cos cos Q cos cos cos cos k( ) c F cos sin c 0 d d 7

8 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones 6. Resolver la ecuación diferencial d ( 4 ) d 0, para (4) 0 Solución: determinemos si la ecuación diferencial es eacta. P Q P Q 0, Como no es eacta debemos hallar un factor que transforme la ecuación diferencial en eacta, para ello aplicamos la siguiente formula. P Q f ( ) d d f ( ) 0 u( ) e e u( ) e P Multiplicando este factor a las funciones P Q, obteniendo así una ecuación diferencial eacta P e P Q e d e ( 4 ) d 0 P Q Q e Ahora procediendo a resolver de la misma manera que el anterior ejercicio, se tiene. P e F e k( ) F e k( ) Derivando F respecto de e igualando a Q se obtiene la solución de la ecuación diferencial. F dk dk e e e k e c F e e c 4 4 ( ) 0 d d 0 Determinando el valor de c, de acuerdo a las condiciones iniciales. (4) 0 c 0 e e Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal d d ( ) 0 d Solución: para que sea una ecuación diferencial lineal, debe tener la forma: P( ) Q( ) d d d ( ) d 0 d Como se observa tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, por lo que para resolverla emplearemos la siguiente formula que nos permitirá hallar la solución, en donde solo debemos identificar las funciones P Q. P( ) d P( ) d e e Q d c d d d d ln ln e e d c e e d c e e d c Empleando propiedades de logaritmos en el eponencial, se tiene. ln ln e e d c e e d c e e d c e e c De donde la solución de la ecuación diferencial será: ce ( ) 8

9 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones di 8. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal L Ri E dt, para i(0) i0. d Solución: dividiendo la ecuación entre L, de tal manera que se asemeje a una ecuación diferencial lineal P( ) Q( ) d. di di R E L Ri E i dt dt L L P( ) d P( ) d e e Q( ) d c en donde se hará la siguiente analogía i, t. Empleando la formula P( t) dt P( t) dt i e e Q dt c R R R R R R R dt dt E t t E t E t E t L L L L L L L i e e dt c e e dt c e e c i ce L L R R i i0 E E La constante c se puede calcular mediante las condiciones iniciales i(0) i0 i0 c c i0 t 0 R R () t E E i i0 e R R R t L 9. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli ' ( ). d Solución. Para que sea una ecuación diferencial de Bernoulli debe tener la siguiente forma. P( ) Q( ), esta d ecuación se hace lineal valiéndose de la sustitución z d z d ' ( ) ( ) dz d ( ) d d d d Llevando la ecuación diferencial en función de las nuevas variables. dz z ( ) d En donde esta ultima ecuación diferencial es un ecuación lineal, empelando la formula para hallar la solución. d d z e e ( ) d c e e ( ) d c e e c z ce Llevando en función de las variables originales, se tiene. z z ce ce 9

10 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones d 0. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli 6 0 d. d Solución: para que sea una ecuación diferencial de Bernoulli debe tener la forma P( ) Q( ), esta ecuación se hace d lineal valiéndose de la sustitución z d d z d 6 0 d d dz d d d d Llevando en función de la nueva variable. dz z d En donde esta ultima ecuación diferencial es un ecuación lineal, empelando la formula para hallar la solución. d d ln ln z e e d c e e d c d c c z c Llevando en función de las variables originales: z c k k c. Hallar la ecuación de la curva, para la cual, el segmento interceptado por la tangente en el eje de abscisas es igual al cuadrado de la ordenada del punto de contacto. Solución: la gráfica según el problema tendrá la siguiente forma, sea c la curva que se desea hallar. d El segmento interceptado será la siguiente ecuación d Y el cuadrado de la ordenada en el punto de contacto será d d d d De donde tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden. P( ) d P d d ( ) d e e Q( ) d c e e d c ln ln e e d c d c c De donde la solución esta compuesta por una familia de parábolas: c 0 0

11 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones. Resuelva la ecuación diferencial: ' 0 grafique la familia de curvas asociadas a la solución general. Luego identifique la curva que pasa por el punto (,-). d k k Solución: ' 0 d d c ln ln d k Identificando la curva que pasa por (,-), tenemos: De donde se puede obtener la gráfica siguiente.. Si P=P(t) determine la solución de la ecuación diferencial: ecuación diferencial. dp P dt luego derive la solución retorne a la Solución: dp P dp dt c dp t c dp t c dt P P p P P P P t ke dp t c ln t c ke P P P P P ke Derivando la anterior ecuación para comprobar si es solución: P t P e t P e P ' P P ' P t ke P t P t t P ke k ke P P e t t t P ' P e P P ' e P e k 0 P ' P P ' P P 0. Resuelva la ecuación diferencial ' utilizando variación de la constante. Derive la solución retorne a la ecuación diferencial original. k Solución: ' ' ' 0 Derivando reemplazando en la ecuación diferencial: k k ' k k k ' k ln c k ' k ' ln c Reemplazando en se tiene la solución: ln c Comprobando si es solución: ln ' c' ' 0 ' t t

12 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones 4. Resuelva el PVI: d d 0, () P Q Solución: es una ecuación diferencial eacta: F k F k Derivando respecto a e igualando a Q ( ) ( ) F ' ' k k k c De donde tenemos el resultado: F c 0 k 0. Se aplica una fuerza electromotriz de 00 v a un circuito en serie en el que la resistencia es de 00 ohms la capacitancia es de 0-4 farads. Escriba la ecuación diferencial asociada. Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(0)=0 Encuentre la corriente i(t) Solución: sumando la caída de tensión en los componentes e igualando a la fuente: q dq q dq q V dq Ri V R V 0q c dt c dt Rc R dt 0t Aplicando la solución mediante la fórmula de la ecuación lineal. q() t ce 00 0t Si q(0)=0, se tiene. q( t) e 00 dq i e i e dt 00 t Derivando para hallar la corriente 0 0 0t 6. Una taza de café se enfría de 80 ºC a 60 ºC en cinco minutos a una temperatura ambiente de 0 ºC. Planteé la ecuación diferencial resuélvala Cuál es la temperatura de la taza a los 0 minutos? En cuánto tiempo la temperatura llega a 0 ºC? dt kt kt Solución: k T Tm T Tm Ce T 0 Ce dt Si en t=0 la temperatura de la taza es 80 ºC, se tiene C C 70 T 0 70e kt Si después de minutos la temperatura es 60 ºC, se tiene e k T 0 70e 0.067*0 La temperatura de la taza la los 0 minutos será: T 0 70e T 8.º C t El tiempo en el cual la temperatura llega a 0 ºC: e t 9.04 min. k t

13 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones 7. Si ( B ) donde B es una constante, es solución de una ecuación diferencial de primer orden, escriba la ecuación diferencial. Solución: despejando B, derivando se tiene. ' ' ( ) ' ' 0 B B ' ' ' 0 ' '. Resuelva la ecuación diferencial identifique la curva que pasa por el punto (,4) Solución: ' 4 ' c c Graficando las curvas para (,4): c c,, 4 ' 4 grafique la familia de curvas asociada a la solución general. Luego. Si P=P(t), determine la solución de la ecuación diferencial ecuación diferencial original. dp P P, luego derive la solución retorne a la dt t dp P P t ke Solución: P P dp dt c ln t c ke P t dt P P P P ke Derivando: t t t P P' Pe PP ' e Pe k 0 P' P PP ' P P 0 P ' P( P) t Pe t P e. Resuelva la ecuación diferencial a la ecuación diferencial. ' 0 utilizando variación de la constante. Derive la solución retorne Solución: Derivando reemplazando en la ED: ' 0 d d c ke ke ' k ' e k( e ) k ' e k( e ) ke 0 0 k ' 0 e k e c

14 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones 0 0 Reemplazado para hallar la solución: e ce ce Derivando para verificar si es solución: ce c ' e ' ' e e 0 ' 0 0 ' 0 4. Resuelva el PVI de: d d 0, () Solución: es una ecuación diferencial eacta, entonces se tiene: Derivando F respecto de e igualando F k( ) F k( ) F '( ) '( ) ( ) Reemplazando en F se obtiene la la siguiente solución: k k k c F c 0 k () * k k 4 4 Hallando el PVI:. Un Circuito serie conecta una inductancia de henr con una resistencia de 0 ohmios a una fuente de voltios. Escriba la ecuación diferencial asociada. Resuelva para i(t) si i(t)=0 Calcule e interprete: lim it ( ) t Solución: sumando la caída de tensión en los componentes e igualando a la fuente se tiene: R V 6 ke Li ' Ri V i ' i i ' i 6 i( t) L L t t 6e Si i(t)=0, se tiene: k 6 i( t) t 6 e 6 6 Interpretando el límite: i( ) lim i Amp la inductancia se cortocircuita. t 6. La población de una comunidad se incremente a una tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo t. se sabe que en cinco años la población inicial A se duplica. Plantee la ecuación diferencial resuélvala Cuánto tarda la población en triplicarse? Cuánto tarda la población en cuadriplicarse? Solución: da Ak ln A kt c A ke kt dt Analizando el PVI si t=0 entonces tenemos una población inicial A 0 : A A Si se sabe que en años la población se duplica: t A ke k A A A e k0 kt A A e k 0.8 A A e 0 k 0.8t

15 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones 0.8 Cuánto tarda la población en triplicarse: A A e t t 8años Cuánto tarda la población en cuadriplicarse: t 0 0 A A e t años 7. Si ( A ) donde B es una constante, es solución de una ecuación diferencial de primer orden, escriba la ecuación diferencial. Solución: despejando B, derivando se tiene. ' ' ( ) ' ' 0 A A ' ' ' 0 ' ' d. Resolver el PVI: 4 0; (), primero grafique la familia de curvas asociada a la solución general d luego identifique la curva asociada a la solución particular: Solución: resolviendo por el método de variables separables, se tiene: d 4 0 4d d 0 4 d d 0 c d Determinado la solución particular de acuerdo al PVI: () c c Entonces la solución particular será: La familia de curvas la curva asociada a la solución particular será: 6 4. Resuelva la ecuación diferencial ' utilizando variación de la constante. Derive la solución retorne a la ecuación diferencial original. Solución: ordenando la ecuación haciendo Q()=0, tenemos: '... ' 0 Q( )

16 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones A Resolviendo por variables separables: ' 0 d d c ln ln c A... da A d Derivando respecto de asumiendo que A=A(): d... d da A A Reemplazando en : d da A d A ln c d ln ln Reemplazando A en : c c Despejando c derivando para volver a la ecuación original: ln c d d d c ln c ln 0 d d d d d 0 d d. Resuelva el PVI: d d 0 P Q Solución: se puede observar que la ecuación es una ecuación diferencial eacta P(, ) d Q(, ) d 0, F F esto se da siempre cuando P(, ) d Q(, ) d d d, donde F es F 0 es solución de la ecuación diferencial. P Q d d 0, P Q Como es una ecuación diferencial eacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de, como se ve. P F k( ) F k( ) Ahora determinemos k() derivando F respecto de e igualando a Q. F dk dk cos cos Q cos cos cos cos k( ) c F cos sin c 0 d d 4. Se aplica una fuerza electromotriz variable E( t) Asint a un circuito RL en serie, en el que la inductancia es 0. henr la resistencia es de 0 ohms. Escriba la ecuación diferencial asociada Resuelva it () si i(0) k( ctte) Solución: según la le de caídas de tensión de Kirchhoff, tenemos la ecuación diferencial asociada: v( t) Ri L di Asin t 0i 0. di di 00i 0A sin t dt dt dt 00dt 00dt Como es una ecuación lineal, empleamos la fórmula para resolverla: i( t) e e 0Asintdt c I ( ) t t i t e 0A e sin tdt c... A 6

17 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones 00t u e v sin tdt 00t 00t 00t Integrando por partes: I e sin td cos cos 00 00t I e t t e dt du 00e dt v cos t Simplificando volviendo a integrar por partes: 00t u e v costdt 00t 00t I e cos t 00 cos e tdt 00t du 00e dt v sin t 00t 00t 00t 00t 00t 4 00t I e cos t 00 e sin t sin t 00e dt e cos t 0e sin t 0 e sin tdt 00t e cos t 0sin t Despejando I de la ecuación integral: I t e cos t 0sin t 00t Reemplazando en A, tenemos: i( t) e 0A c si i(0) 0, entonces: t e cos0 0sin 0 e cos 0sin 0 t t 00t i(0) e 0A c 0 c A ( t) e 0A A A i( t) cost 0sin t Ae t. Un termómetro que marca C se coloca en un horno precalentado que tiene una temperatura constante. Se registra que después de medio minuto el termómetro marca 4 C luego de un minuto desde el inicio, la lectura es de 6 C Plantee la ecuación diferencial resuélvala Cuál es la temperatura del horno? En cuánto tiempo la temperatura llega a 80 C? Solución: dt la ecuación diferencial que rige el problema es k T Tm, donde T es la temperatura del termómetro Tm es dt la temperatura ambiente. dt kt k T Tm dt kdt c ln( T Tm) kt c T( t) Tm Ae dt T Tm Si T(0) T0, entonces kt T Tm A A T Tm T( t) Tm T Tm e... A determinado la temperatura del horno: Si t 0s T0 entonces el termómetro marcará T(0) 4 C, reemplazando en A: k0 4 Tm Tm e... B Si t 60s T0 entonces el termómetro marcará T(60) 6 C, reemplazando en A: I 7

18 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones k 6 Tm Tm e... C Ordenando las ecuaciones B C, se tiene: Igualando las ecuaciones, tenemos: 60 k0 4 Tm k0 4 Tm k0 4 Tm Tme e e Tm Tm k 60 6 Tm Tme k0 6 Tm k0 6 Tm e e Tm Tm 4 Tm 6 Tm Tm Tm Restando términos semejantes despejando, obtenemos la temperatura del medio o la temperatura del horno. 0Tm 00 Tm 0 Reemplazando Tm en B, tenemos: 4 Tm 6 Tm Tm 4 90Tm Tm 97 80Tm Tm k0 k0 e e k ln 0 Reemplazando T0, Tm k en la ecuación A, tenemos la función temperatura en función del tiempo dentro del horno: ln t ln t 0 0 T( t) 0 0 e T( t) 0 90e Determinado el tiempo si la temperatura es 80 C ln ln t ln t e e t 8 [ s] t 94.77[ s] 8 ln 0 6. Si ( B ) donde B es una constante, es solución de una ecuación diferencial de primer orden, escriba la ecuación diferencial. Solución: despejando B, derivando se tiene. ' ' ( ) ' ' 0 B B ' ' ' 0 ' ' 8

19 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones Formulario Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES: f ( ) d g( ) d f ( ) d g( ) d c ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES: si ' f ( a b c), puede reducirse a variables separables con el cambio de variable u a b c. TRAYECTORIAS ORTOGONALES: si F(,, ') 0 entonces la ecuación diferencial de las traectorias ortogonales será: F(,, ) 0 ' ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: si P(, ) d Q(, ) dt 0 ' f es homogénea debe poder reducirse a una ecuación diferencial de variables separables con el siguiente cambio de variable u. a b c a b c 0 ECUACIONES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS: si ' f, donde son rectas a b c a b c 0 no paralelas. Esta ecuación debe poder reducirse a una ecuación homogénea con el siguiente cambio de variables u, donde son el punto en común entre las rectas. v ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS: si P(, ) d Q(, ) dt 0, es una ecuación diferencial eacta debe P Q cumplir con: FACTOR INTEGRANTE: si P(, ) d Q(, ) d 0, no es una ecuación diferencial eacta, se debe hallar un factor de integración de modo que la anterior ecuación se vuelva eacta. El factor de integración u esta determinado por: 9

20 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones P Q f ( ) d P Q g( ) d f ( ) u( ) e, g( ) u( ) e. Q P d ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: si la ecuación diferencial tiene la forma: P( ) Q( ) d, entonces la solución de la ecuación diferencial se hallara mediante la siguiente formula: P( ) d P( ) d e e Q d c d ECUACIÓN DE BERNOULLI: si la ecuación diferencial tiene la forma: P( ) Q( ) entonces es posible d reducirla a una ecuación diferencial lineal de primer orden medial el siguiente cambio de variable z. ( ) RECTA TANGENTE A LA CURVA: sea c la curva en el plano, la recta tangente a la curva en el punto P(,), viene d dada por la siguiente ecuación: c ' c d RECTA NORMAL A LA CURVA: sea c la curva en el plano, la recta normal a la curva en el punto P(,), viene dada d por la siguiente ecuación: c c d ' Reglas de derivación: si c es una constante cualquiera las funciones u( ), v( ), w( ) son derivables, se tiene. 0 d Derivada de una constante. d c d d cu du c Derivada de una constante por una función. d d u v w du dv dw Derivada de una suma. d d d d d du dv uv v u Derivada de un producto. d d d du dv v u d u d d Derivada de un cociente. d v v Formulas principales de derivación d n n n d d d arcsin log d d a, ln d ln a d d d d sin cos arccos sinh cosh d d d d d cos sin arctan d d d cosh sinh d d d tan sec arcctan d d d tanh d cosh d d d d ctan csec a a ln a, e e ctanh d d d d sinh 0

21 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones Tabla de integrales elementales: n n d c n d ln c d arctan c arcc tan c d ln c d arcsin c sin d cos c arccos c d ln c cos d sin c a d a d c cot an c ln a sin e d e c d tan c cos

22 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga PRACTICA #. Resolver (ED separables): ' Rpta: Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones c 4. Resolver (ED separables): e d e d 0 Rpta: e e c. Mediante el cambio de variable u, resolver ' Rpta: arctan( ) c 4. Resolver (ED homogénea): d d 0 Rpta: ln c. Resolver (ED reducibles a homogéneas): ' Rpta: ln c( ) 6. Resolver (ED eactas): ( e sin sin ) d ( e cos cos) d 0 Rpta: e sin cos k 7. Resolver (ED factor de integración ): d d 0 Rpta: ln c 8. Resolver (ED lineal): ' Rpta: 8sin ce sin sin d 9. Resolver (ED Bernoulli): Rpta: c d cos d 0. Resolver el PVI: 4 0; (), primero grafique la familia de curvas asociada a la solución general luego d identifique la curva asociada a la solución particular:. Resuelva la ecuación diferencial ' utilizando variación de la constante. Derive la solución retorne a la ecuación diferencial original. d d 0 si (). Resuelva el PVI:. Se aplica una fuerza electromotriz variable E( t) Asint a un circuito RL en serie, en el que la inductancia es 0. henr la resistencia es de 0 ohms. Escriba la ecuación diferencial asociada Resuelva it () si i(0) k( ctte) Que sucederá si lim it ( ) t 4. Un termómetro que marca C se coloca en un horno precalentado que tiene una temperatura constante. Se registra que después de medio minuto el termómetro marca 4 C luego de un minuto desde el inicio, la lectura es de 6 C Plantee la ecuación diferencial resuélvala Cuál es la temperatura del horno? En cuánto tiempo la temperatura llega a 80 C?

23 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones d. Resolver el PVI: 4 0; (), primero grafique la familia de curvas asociada a la solución general d luego identifique la curva asociada a la solución particular: Solución: resolviendo por el método de variables separables, se tiene: d 4 0 4d d 0 4 d d 0 d c Determinado la solución particular de acuerdo al PVI: () c c Entonces la solución particular será: La familia de curvas la curva asociada a la solución particular será: 6 4. Resuelva la ecuación diferencial ' utilizando variación de la constante. Derive la solución retorne a la ecuación diferencial original. Solución: ordenando la ecuación haciendo Q()=0, tenemos: '... ' 0 A Resolviendo por variables separables: ' 0 d d c ln ln c A... da A d Derivando respecto de asumiendo que A=A(): d... d da A A Reemplazando en : d da A d A ln c d ln ln Reemplazando A en : c c Despejando c derivando para volver a la ecuación original: ln c d d d c ln c ln 0 d d d d d 0 d d d d 0. Resuelva el PVI: P Q Solución: se puede observar que la ecuación es una ecuación diferencial eacta P(, ) d Q(, ) d 0, F F esto se da siempre cuando P(, ) d Q(, ) d d d, donde F es F 0 es solución de la ecuación diferencial. Q( )

24 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones P Q d d 0, P Q Como es una ecuación diferencial eacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de, como se ve. P F k( ) F k( ) Ahora determinemos k() derivando F respecto de e igualando a Q. F dk dk cos cos Q cos cos cos cos k( ) c F cos sin c 0 d d 4. Se aplica una fuerza electromotriz variable E( t) Asint a un circuito RL en serie, en el que la inductancia es 0. henr la resistencia es de 0 ohms. Escriba la ecuación diferencial asociada Resuelva it () si i(0) k( ctte) Solución: según la le de caídas de tensión de Kirchhoff, tenemos la ecuación diferencial asociada: v( t) Ri L di Asin t 0i 0. di di 00i 0A sin t dt dt dt 00dt 00dt Como es una ecuación lineal, empleamos la fórmula para resolverla: i( t) e e 0Asintdt c I ( ) t t i t e 0A e sin tdt c... A 00t u e v sin tdt 00t 00t 00t Integrando por partes: I e sin td cos cos 00 00t I e t t e dt du 00e dt v cos t Simplificando volviendo a integrar por partes: 00t u e v costdt 00t 00t I e cos t 00 cos e tdt 00t du 00e dt v sin t 00t 00t 00t 00t 00t 4 00t I e cos t 00 e sin t sin t 00e dt e cos t 0e sin t 0 e sin tdt 00t e cos t 0sin t Despejando I de la ecuación integral: I t e cos t 0sin t 00t Reemplazando en A, tenemos: i( t) e 0A c 000 si i(0) 0, entonces: I 4

25 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones 0 00t e cos0 0sin 0 e cos 0sin 0 t t 00t i(0) e 0A c 0 c A ( t) e 0A A A i( t) cost 0sin t Ae t. Un termómetro que marca C se coloca en un horno precalentado que tiene una temperatura constante. Se registra que después de medio minuto el termómetro marca 4 C luego de un minuto desde el inicio, la lectura es de 6 C Plantee la ecuación diferencial resuélvala Cuál es la temperatura del horno? En cuánto tiempo la temperatura llega a 80 C? Solución: dt la ecuación diferencial que rige el problema es k T Tm, donde T es la temperatura del termómetro Tm es dt la temperatura ambiente. dt kt k T Tm dt kdt c ln( T Tm) kt c T( t) Tm Ae dt T Tm Si T(0) T0, entonces kt T Tm A A T Tm T( t) Tm T Tm e... A determinado la temperatura del horno: Si t 0s T0 entonces el termómetro marcará T(0) 4 C, reemplazando en A: k0 4 Tm Tm e... B Si t 60s T0 entonces el termómetro marcará T(60) 6 C, reemplazando en A: Ordenando las ecuaciones B C, se tiene: Igualando las ecuaciones, tenemos: k60 6 Tm Tm e... C k0 4 Tm k0 4 Tm k0 4 Tm Tme e e Tm Tm k 60 6 Tm Tme k0 6 Tm k0 6 Tm e e Tm Tm 4 Tm 6 Tm Tm Tm Restando términos semejantes despejando, obtenemos la temperatura del medio o la temperatura del horno. 0Tm 00 Tm 0 Reemplazando Tm en B, tenemos: 4 Tm 6 Tm Tm 4 90Tm Tm 97 80Tm Tm k0 k0 e e k ln 0 Reemplazando T0, Tm k en la ecuación A, tenemos la función temperatura en función del tiempo dentro del horno: Determinado el tiempo si la temperatura es 80 C ln t ln t 0 0 T( t) 0 0 e T( t) 0 90e

26 Elaborado por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Aplicaciones ln ln t ln t e e t 8 [ s] t 94.77[ s] 8 ln 0 6. Si ( B ) donde B es una constante, es solución de una ecuación diferencial de primer orden, escriba la ecuación diferencial. Solución: despejando B, derivando se tiene. ' ' ( ) ' ' 0 B B ' ' ' 0 ' ' 6