Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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Miguel Coronel Martín
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1 Luis Eduardo López M. Docente Tiempo Completo Departamento de Ciencias Básicas Programa de Ingeniería Electrónica Facultad de Ingeniería Institución Universitaria CESMAG Periodo B de 2015

2 Contenido 1 Ecuaciones diferenciales de Variables Separables 2 3 4

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4 Muchos fenómenos físicos en la naturaleza se rigen por la siguiente ley: La rapidez de crecimiento o descomposición de una sustancia varía en forma proporcional a la cantidad presente x(t) : Cantidad de una sustancia en tiempo t : Rapidez de crecimiento (descomposición) de x con respecto a t. dx dt PVI dx dt = kx, k R (1) x(t 0) = x 0 Solución x(t) = x 0e kt, t 0 (2)

5 Example (Crecimiento de Bacterias) Inicialmente un cultivo tiene un número 1000 bacterias. Al cabo de una hora se determina que el número de bacterias es Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias P (t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número inicial de bacterias. P (t) = 1000e kt, con P (1) = P (1) = 1000e k = 1500 k = ln (3/2) 0,4055 P (t) = 1000 ( ) 3 t 2 Si P (t) = 1000 ( 3 2 ) t = 3000 t = 2,71 Figura: Población de bacterias P (t)

6 Vida Media En física la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es, simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los átomos en una muestra inicial. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, más estable es la sustancia. Example (Edad de un Fósil) Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la milésima parte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva. Determine la edad del fósil si se conoce que el tiempo de vida media de C-14 es 5600 años. C(t) = C 0e kt C(5600) = 1 2 C0 C0e5600k = C 0 2 k = ln C(t) = C 0e 0, t. Como C(t) = C C0e 0, t = C t = ln años 0,

7 Ley de Enfriamiento-Calentamiento de Newton La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente. Example (Enfriamiento de un pastel) Al sacar un pastel del horno, su temperatura es F. Tres minutos después su temperatura es de F. Determine la temperatura del pastel 5 minutos después de sacado del horno, si se conoce que su temperatura ambiente permanece constante en 70 0 F? dt dt dt = k(t Tm) dt = k(t 70) con T (0) = 300 T (t) = e kt, como T (3) = 200 e 3k = 13 ln (13/23) k = 23 3 Así, T (5) 158,9 0 F T (t) = e 0,19018t

8 Propagación de una Enfermedad Una enfermedad contagiosa, por ejemplo un virus de gripe, se propaga a través de una comunidad por personas que han estado en contacto con otras personas enfermas. Para este caso se supone que la razón con la que se propaga la enfermedad es proporcional al número de encuentros, o interacciones, entre estos dos grupos de personas. x(t) : Número de personas que han contraído la enfermedad. y(t) : Número de personas que aún no han sido expuestas. N : Número total (constante) de personas sanas. donde x + y = N + 1. dx dt = kxy Reemplazando y = N + 1 x, dx dt = kx(n + 1 x), con x(0) = 1

9 Crecimiento Logístico Supóngase que un medio ambiente es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada magnitud. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. Entonces éste fenómeno se modela mediante la ecuación diferencial: ( dn dt = rn 1 N ), N(0) = n 0 K donde r es la tasa de crecimiento de la magnitud x. Kn 0 N(t) = (K n 0)e rt + n 0

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11 Ecuación de Continuidad Tasa de acumulación = Tasa de entrada - Tasa de salida Example (Mezcla homogénea) Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en un tanque a una velocidad v 1 galones de salmuera/minuto y con una concentración de c 1 lib. sal/gal. salmuera. Inicialmente el tanque tiene Q galones de salmuera con P libras de sal disueltas. La mezcla bien homogeneizada abandona el tanque a una velocidad de v 2 galones de salmuera/min. Encontrar una ecuación para determinar las libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante de tiempo t. x(t) : Cantidad de Libras de Sal : Tasa de acumulación de sal. dx dt donde, dx dt c 2 = = v1c1 v2c2 x Q + (v 1 v 2)t

12 De esta manera, x(t) satisface el siguiente PVI. dx dt + v 2 x = v1c1, con x(0) = P. Q + (v 1 v 2)t Por ejemplo, si v 1 = v 2 = 3, c 1 = 2, Q = 300 y P = 50. Entonces: dx dt + 1 x = 6, con x(0) = cuya solución es: x(t) = e t/100

Circuito LR Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor L di más la caída dt

13 Circuito LR Para un circuito en serie que sólo contiene un resistor y un inductor la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caída de voltaje a través del inductor L di más la caída dt de voltaje a través del resistor ir es igual al voltaje aplicado E(t) al circuito. Así: L di + Ri = E(t) dt donde L es la inductancia y R la resistencia. i(t) es la corriente en tiempo t. Por ejemplo, si L = 1 Henry, R = 10 2 Ohms y E(t) = 12 volts, 1 di + 10i = 12 2 dt se tiene que, i(t) = e 20t

14 Circuito RC La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t), C donde q es la carga del capacitor. Por tanto, para el circuito en serie que se muestra en la gráfica, la segunda ley de Kirchhoff da Ri + 1 C q = E(t) Pero la corriente i y la carga q están relacionadas por i = dq, así la dt ecuación se convierte en la ecuación diferencial lineal, R dq dt + 1 C q = E(t) Por ejemplo, si R = 5 Ohms, C = 0,5 Microfaradios y E(t) = 12 volts, se tiene que, 5 dq dt q = 12 q(t) = 24e t/

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16 Supongamos que tenemos un resorte dispuesto en forma vertical, con el extremo superior fijado a una superficie horizontal y el otro extemo libre al cual se le fija una carga de masa m, la fuerza de recuperación del resorte esta dada por la Ley de Hook: F = ks, donde s es la elongación del resorte y k la constante de elasticidad. Sea x : elongación resorte en tiempo t. F + mg = m d2 x dt 2 k(x + s) + mg = m d2 x dt 2 Pero ks + mg = 0, kx = m d2 x dt 2 m d2 x dt 2 + kx = 0

17 d 2 x dt 2 + ω2 x = 0, ω 2 = k m Ecuación característica Solución general m 2 + ω 2 = 0 m = ±ωi x(t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt Sea A = C C2 2, sin φ = C 1 A y cos φ = C 2 x(t) = A ( C1 A = A sin(ωt + φ) cos ωt + C2 A, entonces A ) sin ωt = A(sin φ cos ωt + cos φ sin ωt) donde A es la amplitud del M.A.S. y φ el ángulo de fase. T = 2π ω f = ω 2π

18 Se da cuando el cuerpo sujeto al resorte se mueve en un medio que produce fricción. m d2 x dx = k(x + s) + mg β dt 2 dt β : constante de fricción. Así: d 2 x dt 2 m d2 x dt 2 + β dx dt + kx = 0 dx + 2λ dt + ω2 x = 0, 2λ = β m, ω2 = k m Ec. característica p 2 + 2λp + ω 2 = 0 soluciones Solución general p 1,2 = λ± λ 2 ω 2 x(t) = C 1e p 1t + C 2e p 2t

19 Movimiento Sobreamortiguado Sucede cuando λ 2 ω 2 > 0, x(t) = C 1e ( λ λ 2 ω 2 )t + C 2e ( λ+ λ 2 ω 2 )t

20 Movimiento Criticamente Amortiguado Sucede cuando λ 2 ω 2 = 0, x(t) = C 1e λt + C 2te λt

21 Movimiento Subamortiguado Sucede cuando λ 2 ω 2 < 0, o lo que es lo mismo ω 2 λ 2 > 0 x(t) = C 1e λt cos ω 2 λ 2 t + C 2e λt sin ω 2 λ 2 t = Ae λt sin( ω 2 λ 2 + φ)

22 Suponemos que el cuerpo sujeto al resorte esta en un medio que produce fricción y también hay una fuerza exterior F (t) que actua sobre él. m d2 x dt 2 dx = k(x + s) + mg β dt + F (t) m d2 x dt 2 + β dx + kx = F (t) dt Example (Amplitud Modulada) d 2 x dt 2 + ω2 x = F 0 cos γt, x(0) = 0, x (0) = 0 Solución, x(t) = ( 2F0 ω γ ) ( ω + γ ) ω 2 γ sin t sin t Periodos: ( ω γ ) T 1 = 2π, 2 T 1 = T 2 = 4π ω γ 4π ω + γ T 1 > T 2

23 x(t) = ( 2F0 ω γ ) ( ω + γ ) ω 2 γ sin t sin t 2 2 2

24 Example (Resonancia) d 2 x dt 2 + ω2 x = F 0 sin ωt, x(0) = 0, x (0) = 0 Solución, x(t) = F0 F0 sin ωt t cos ωt 2ω2 2ω

25 La ecuación diferencial de los resortes también se aplica en: Circuito RLC L d2 q dt + R dq 2 dt + 1 C q = E(t) R : resistencia, L : inductancia, C : capacitancia q : Carga instantánea, E(t) : voltaje. Barra de Torsión I d2 θ dt + c dθ + kθ = T (t) 2 dt I : momento de inercia, c : constante de amortiguación, k : constante elástica del eje, T (t) : fuerza de torsión.

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27 Dennis Zill (2009). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Novena Edición. Jaime Escobar. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones en Maple. Universidad de Antiquia.

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