GUÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES Academia de Matemáticas y Física I.C.

Transcripción

1 1. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales en ordinarias y en derivadas parciales. a) m d2 x 2 + β + kx = F(t) b) 2 u x u y u z 2 = c) = v d) x 3 y 5x 2 y + 2xy + 3y = e) 2 u + 2 u = 1 2 u x 2 x 2 v 2 t 2 2. Determine el orden y grado de las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación. a) x 2 y + xy + 4y = b) + kx = e x c) ( )3 = xlnx d) ( d3 y 3)2 4 ( d2 y 2)4 5xy = cos x e) y (5) 7y (4) + 3y + 4y 2y + y = 3. Para las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación, clasifíquelas en lineales y no lineales. a) x 2 y 4xy + 4y 2 = b) d2 x 2 + 5x = cos t 2 c) y (5) + 2y (4) 5y + 8y 3y + 4y = d) ( d3 y 3)4 + ( d2 y 2)2 3y = x e) y 4y + 2y + e y = sen x f) 3x + 2y = ex 4. Determine si la función proporcionada es solución de la ecuación diferencial dada. a) x 2 y 3xy + 4y = ; y = x 2 ln (x) b) x y = x2 e x ; y = cx + xe x, c = cte. c) y 2y y + 2y = ; y = c 1 e x + c 2 e x + c 3 e 2x, c 1, c 2, c 3 = ctes. d) x 3 y + x 2 y 2xy + 2y = ; y = c 1 x + c 2 x 1 + c 3 x 2, c 1, c 2, c 3 = ctes. 5. Compruebe si la función explícita dada es solución de la ecuación diferencial de primer orden señalada. a) ( )2 4y = 4; y = x 2 1 b) sec θ dr 1 = ; r = sin θ dθ c) x 2 y + 2xy = 4x 3 ; y = x 2 + cx 2, c = cte. d) = 6xy x 2 +1 ; y = (x2 + 1) 3 e) y x = 4 x x 2 +4 ; y = cx + x2 + 4, c = cte.

2 6. Verifique si la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial de primer orden mostrada. Considere a c como una constante. a) 3y x = ; x + c y = b) (x 2 y 2 ) 2xy = ; x2 + y 2 = cy c) (xy 2 x) + (x 2 y y) = ; x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) = c d) 1+r = ; r + θ = crθ θr +r θ r e) 2y = y ; 2x y x 2 y y2 + cy = cx 2 7. Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales en variables separables. a) = x2 y(1+x 3 ) b) 3r cos θ dr sec θ r dθ = c) y = 4x y ; y() = 1 d) sin x (e y + 1) (1 + cos x) = ; y() = 1 e) (1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 ) + xy = 8. Compruebe que las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación son homogéneas y determine su solución. a) (2x + y) + (x + 2y) = b) 2θ 2 r dθ = (3θ 3 + r 3 ) dr = c) = y x + x2 y d) (y + x cot ( y x )) x = d) xy x2 = y x 2 + y 2 ; y() = 1 9. Aplique el cambio de variable apropiado para reducir las ecuaciones diferenciales abajo mostradas a una de variables separables y así obtener su solución. a) = 2 + y 2x + 3 dr b) = 1 θ r ; r( 1) = 1 c) dθ θ+r y = sen(x + y) d) = b a + eay bx+c, a, b, c R, a e) = x+y 2 x y f) (x + 2y) (2x + 3y 1) = 1. Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden son exactas y, si es así, halle su solución. a) = 2x+4 1 3y b) (1 + z 2 ) + (2tz + 4z)dz = c) Calcule el valor de k para que sea exacta: (x + y) 2 + (kxy + x 2 1) = y obtenga su solución sujeta a la condición inicial y(1) = 1. d) (sen y y sen x) + (cos x + x cos y y) =

3 e) = x+y2 sen x y 3 3xy 2 +2y cos x f) (e x + y) + (2 + x + ye y ) = ; y() = Compruebe que las ecuaciones diferenciales de primer orden proporcionadas abajo no son exactas, obtenga un factor integrante y halle su solución. a) = 2xy ; y() = 2 b) z(t + z + 1) + (t + 2z)dz = 2x 2 +3y c) 3θ 2 r dθ + (2θ 3 + 4r 2 )dr = d) (x + y) + xlny = e) pruebe que μ = xy es un factor integrante de: ( xy sin x + 2y cos x) + 2x cos x = y calcule su solución. 12. Calcule la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. a) x 2 y + xy = 1 b) (x sen x y) x = c) dr dθ + 3θ2 r = θ 2 d) t 2 dz + t(t + 2)z = et e) = 2y + x(e3x e 2x ); y() = 2 f) 1 si x 3 2 si x 1 + 2y = { ; y() = g) + p(x)y = 4x, y() = 3 con p(x) = { para x > 3 2 para x > 1 x 13. Halle la solución de las ecuaciones diferenciales de Bernoulli mostradas a continuación. a) y = ex y 2 b) x (1 + x xy)y = c) y y + y 3 = 1; y() = 4 d) 2 dz = z t t z 2 ; z() = 1 e) 3(1 + x2 )y = 2xy(y 3 1) 14. Las siguientes ecuaciones diferenciales son de Ricatti, obtenga su solución. a) y = 2 y + y 2 ; y 1 = 2 b) + y x = y2 2 x 2 ; y 1 = 2 x c) y = e 2x + (1 + 2e x )y + y 2 ; y 1 = e x d) = 2x + y x 2y2 ; y 1 = x e) y = sec 2 x (tan x)y + y Resuelva las ecuaciones diferenciales de Clairaut proporcionadas a continuación. a) y = xy + (y ) 3 b) y = (4 + x)y + (y ) 2 c) y xy = 1 ln(y ) d) xy y = e y e) y xy sen y =

4 16. Determine la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden. a) = 1+y2 2xy+4y b) (y + e x ) + = c) y + x = d) 2 + x 3 y + (x 4 + 6x 3 y)y = e) = 3x2 f) 3x 3 +5y 2 (x2 2y 2 ) + xy = 17. La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas presentes en dicho instante. Si inicialmente hay 1 bacterias y después de 4 horas hay 15 de ellas, cuántas habrá en 2 horas? En qué tiempo habrá 1? 18. Un cultivo de bacterias enfermas crece, en un instante cualquiera, con una rapidez que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número presente en dicho instante. Si inicialmente había 9 bacterias y después de 2 días hay 16, en cuántos días habrá 36? 19. Se sabe que la masa de una sustancia radiactiva disminuye, en un instante cualquiera, de manera proporcional a la cantidad de masa presente en dicho instante. En un trozo de madera quemada se encontró que el 85.5% de carbono 14 se había desintegrado. Sabiendo que la vida media del carbono 14 es de 56 años, halle la edad de la madera. 2. Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá la formación de la Tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio U 238 (cuya vida media es de años, pero no plomo, producto final de la desintegración de U 238. Si la proporción actual de los átomos de U 238 al plomo en ese cuerpo mineral es de.9, Cuándo ocurrió el cataclismo? 21. Suponga que la masa de una sustancia decrece a una tasa que es inversamente proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente había 12 gramos y 8 gramos están presentes después de 2 días, en qué tiempo habrá 1 gramos de la sustancia? 22. La carga eléctrica en una superficie esférica escapa con una rapidez proporcional a la carga eléctrica instantánea. Inicialmente, la carga es de 5 Coulomb y en 2 minutos se escapa un tercio. En qué tiempo quedará 1 Coulomb? 23. Interés compuesto continuo significa que el aumento de dinero, en un cierto tiempo, es proporcional al dinero presente en dicho momento. Cuando nació su primer hijo, una pareja depositó en una cuenta de ahorros $5 bajo un interés compuesto continuo al 8% anual. Se dejó que se acumularan los intereses devengados. A cuánto ascenderá la cuenta en el decimoctavo cumpleaños del niño? 24. Según la Ley de Lambert, la rapidez con que es absorbida la intensidad I de un rayo de luz incidente sobre una capa de material traslúcido es proporcional a I(x) donde x es el espesor de la capa. Si a una profundidad de 3m la luz del Sol que cae verticalmente sobre el agua del océano, se reduce a la mitad de su intensidad inicial I, a qué profundidad se reducirá su intensidad a una cuarta parte de I? Qué intensidad tendrá a 2m de profundidad?

5 25. Después de administrar un medicamento su concentración C(t) en el cuerpo disminuye, en un instante cualquiera, de manera proporcional a la concentración presente en dicho instante. Si a una persona se le administra cierto medicamento y en 1 horas su concentración disminuye al 5%, calcule: a) la concentración al cabo de 15 horas, b) el tiempo para el cual el medicamento alcance el 12% de su valor original. (Observación: la concentración del medicamento al momento de aplicarse es del 1%). 26. Cierta información dudosa relativa a los efectos de la feniltiourea en el consumo de agua comenzó a extenderse un día en una ciudad de 1 habitantes. Después de una semana 1 personas habían oído el rumor. Suponga que la razón de aumento del número de las que han oído el rumor es proporcional al de las que todavía no lo han oído. Cuánto tiempo pasará para que la mitad de la población de la ciudad se entere de esa información? 27. Una barra metálica se extrae de un horno que está a 1ºC y se pone a enfriar en un lugar cuya temperatura se mantiene constante a 3ºC. Después de 1 horas su temperatura disminuyó a 2ºC. a) cuál fue su temperatura al cabo de 2 horas? b) Cuánto tardará en alcanzar 31ºC? 28. Un vino blanco a temperatura ambiente de 7º F se refrigera en hielo (32º F). Si transcurren 15 minutos para que el vino se enfríe a 6º F, cuánto tiempo transcurrirá para que el vino alcance la temperatura de 56º F? 29. Un objeto con masa de 1 Kg., inicialmente en reposo, se deja caer al agua desde un barco, y se sumerge. Mientras la gravedad atrae al objeto hacia abajo, una fuerza de empuje igual a 1/4 del peso del objeto lo empuja hacia arriba. Si se supone que la resistencia del agua ejerce una fuerza sobre el objeto que es proporcional a la velocidad del propio objeto, con constante de proporcionalidad igual a 1 Kg/seg, encontrar la ecuación del movimiento del objeto. Cuántos segundos transcurrirán para que la velocidad del objeto sea de 7 m/seg? 3. Un hombre salta en paracaídas desde el reposo a una gran altura. La masa combinada del hombre y del paracaídas es de 8 kilogramos. Sea v(t) su velocidad t segundos después de empezar a caer. Durante los primeros 1 segundos la resistencia del aire es 15v(t). Después, al abrirse el paracaídas la resistencia es 24v(t). Considerando al hombre y al paracaídas como una masa puntual, y suponiendo que las únicas fuerzas que actúan en el movimiento son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia al movimiento ejercida por el aire, determinar la velocidad v(t) en cualquier instante t. En particular determine v(1) y v(2). 31. Un generador con una fem de 1 cos 5t se conecta en serie con una resistencia de 5 ohms y un inductor de 1 Henry. Si el interruptor se cierra al tiempo t = establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en función del tiempo. 32. Una mujer de 3 años de edad aceptó un puesto directivo con un salario inicial de 3 dólares anuales. Su salario S(t) aumenta en forma exponencial, siendo S(t) = 3e t 2 miles de dólares después de t años. Entre tanto, el 12% de su salario es depositado continuamente en una cuenta de retiro, que acumula intereses a una tasa anual del 6%. Si A(t) es la cantidad de dinero en la cuenta de retiro después de t años, calcule la cantidad de dinero disponible para su retiro a la edad de 7 años.

6 33. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de una curva es 1 + y. Si la curva x pasa por el punto (1,1) halle su ecuación. 34. Hallar el tiempo que tarda en vaciarse un tanque semiesférico de radio 1 m lleno de agua si ésta sale por un orificio circular de.1 m de radio que hay en el fondo del tanque. 35. Calcular las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas. Considere a c como una constante. a) y = e cx b) y = ce x c) y 2 = cx 3 d) y = x 1+cx 36. Verifica si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial proporcionada. a) y 1 = e 3x, y 2 = e 3x ; y 9y = b) y 1 = x 1, y 2 = x 2 ; x 2 y + 4xy + 2y = c) y 1 = e 2x, y 2 = xe 2x ; y 4y + 4y = d) y 1 = x, y 2 = xlnx; x 2 y xy + y = e) y 1 = e x cos x, y 2 = e x sen x ; y 2y + 5y = 37. Calcule el wronskiano de los siguientes conjuntos de funciones. Son conjuntos linealmente independientes? a) {e mx, e nx } para m. n Z, m n b) {1 x, 2 + x 2, 1 + x + x 2 } c) {sen x, cos x, cos 2x} d) {e x cos x, e x sen x} e) {e ax2 2, e ax2 at x 2 2 e 2 }, a R Para las ecuaciones diferenciales mostradas a continuación, halle su segunda solución a partir de que se conoce la primera. a) d2 y y = ; y 1 = cos 4x b) y 25y = ; y 1 = e 5x c) y 6y + 9y = ; y 1 = e 3x d) x d2 y 2 + = ; y 1 = ln x e) xy + 2xy + 9y = ; y 1 = x 2 f) (1 x 2 )y 2xy = ; y 1 = 1

7 39. Determine la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes y homogéneas. a) 4y y = b) 9 d2 y y = c) d2 y y = d) y + 4y = ; y() =, y () = 1 e) 4 d2 y 2 4 3y = ; y() = 1, y () = 5 f) y 8y + 17y = ; y() = 4, y () = 1 g) y + y = ; y ( π 3 ) =, y (π 3 ) = 2 4. Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes y homogéneas mostradas a continuación. a) d3 y 3 5 d2 y y = b) y + 3y + 3y + y = c) 6y (4) + 11y 6y 9y 2y = d) 2y (5) 7y (4) + 12y + 8y = e) d5 y d4 y 4 2 d3 y 3 1 d2 y y = 41. Obtenga la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y homogénea asociada a la familia de curvas n-paramétricas descrita por la función indicada. a) y = c 1 e x cos x + c 2 e x sen x b) y = c 1 e x + c 2 xe x + c 3 x 2 e x c) y = c 1 e x + c 2 xe x + c 3 e 2x + c 4 e 2x d) y = c 1 + c 2 x + c 3 e x + c 4 e x cos 2x + c 5 e x sen 2x e) y = c 1 e x + c 2 e x + c 3 e 2x + c 4 xe 2x + c 5 e x cos x + c 6 e x sen x 42. Aplique el método de los coeficientes indeterminados para hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. a) y + 4y + 4y = 2x + 6 b) d2 y 2 12y = e4x c) y y = x 2 e x + 5 d) d2 y 2 + 4y = 4 cos x + 3 sin x 8 e) y + 5y 6y = 1e 2x ; y() = 1, y () = 1 f) y 2y + 5y = sen x e x g) y 4y + 5y 2y = 4 + 5x x 2 h) d3 y 3 d2 y + 3y = 3 2 3e2x

8 43. En las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas emplee el método de variación de parámetros para determinar su solución. a) d2 y 2 y = 6e2x ; y() = 2, y () = b) d2 y 2 + y = sec x c) d2 y e2x 2 4y = x d) y + 3y + 2y = 1 1+e x e) y + 2y + y = e x ln x f) y y = xe x ; y() = 1, y () = g) y 2y y + 2y = 12e 2x h) d3 y 3 d2 y + 3y = 3 2 3e2x 44. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de Cauchy-Euler homogéneas. a) x 2 d2 y 2 + 2x 12y = b) 4x2 y + 8xy 3y = c) 9x 2 y + 3xy 8y = d) x 2 d2 y 2 + 7x + 25y = e) x2 d2 y 2 x = f) x 4 y (4) + 3x 3 y x 2 y + 2xy 2y = g) 2x 5 y (5) + 15x 4 y (4) + 16x 3 y 1x 2 y + 2xy 2y = 45. Determine la solución de las ecuaciones de Cauchy-Euler no homogéneas mostradas abajo, aplicando el método de variación de parámetros. a) x 2 d2 y 3x + 4y = x4 b) 2 4x 2 d2 y 4x + 3y = 8x4 3 c) x 2 y xy + y = 4xln x 2 d) x 3 y + 2x 2 y 4xy + 4y = 5x 3 e) x 4 y (4) + 5x 3 y 3x 2 y 6xy + 6y = 3x Un peso de 32 lb estira un resorte en 2 pies. Determine la amplitud y el período del movimiento si el peso se suelta desde un punto que está 1 pie sobre la posición de equilibrio, con una velocidad inicial dirigida hacia arriba de 2 pies/s. cuántas oscilaciones completas habrá realizado el peso después de 4π segundos? 47. Una masa de 1 kg se sujeta a un resorte cuya constante de restitución es de 16 N/m y el sistema completo se sumerge en un líquido que comunica una fuerza de amortiguación numéricamente igual a 1 veces su velocidad instantánea. Determine la ecuación de movimiento si el peso se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está 1 m debajo de la posición de equilibrio. 48. Un peso de 16 lb estira un resorte en 8/3 pies. Inicialmente el peso parte del reposo desde un punto que está 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento posterior se realiza en un medio que opone una fuerza de amortiguación numéricamente igual a.5 de la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si el peso es impulsado por una fuerza exterior igual a f(t) = 1 cos 3t.

9 49. al sujetar una masa de 1 slug a un resorte, éste se estira en 2 pies y luego queda en reposo en la posición de equilibrio. A partir de t =, una fuerza exterior igual a f(t) = 8 sen 4t se aplica al sistema. Encontrar la ecuación de movimiento si el medio que rodea al sistema opone una fuerza de amortiguación numéricamente igual a 8 veces su velocidad instantánea. 5. En un circuito RLC en serie tiene L =.5 Henry, R = 1Ohms, C =.1 Farad y E(t) = 15 Volts. Determine la carga eléctrica instantánea en el capacitor para t > si la carga y la corriente iniciales son cero. 51. Calcule la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales, aplicando el método de las series de potencias alrededor del punto ordinario x =. a) 2y = b) y + x 3 y = c) d2 y 2 4y = d) y xy = e) (1 + x 2 ) d2 y 2 + 1x + 2y = f) (x 1) d2 y x + y = g) 2 y xy + 2y = 52. Aplique el método de Frobenius para determinar la solución de las ecuaciones diferenciales, mostradas abajo, en el punto singular regular x =. a) 2xy y + 2y = b) 2x d2 y xy = c) 8xy + y + 2y = d) x(x 2)y + y 2y = e) x d2 y xy = f) xy + y = 53. Emplee el método de los operadores diferenciales para obtener la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales mostradas a continuación. a) y = x x + 2y = + x = b) y + 2x y = c) = 2x + y x = x y d) = 2y + e t y = 8x t e) x + 5x + y = x + y + x 4y = f) x 4y = e t y 4x = e t g) x + x z = y + y z = z + x y = 54. Determine la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, aplicando el método de la matriz exponencial. = x + 2y a) = 4x + 3y b) X = ( 2 8 ) X c) dx = ( ) X ; X () = ( 2 8 )

10 d) X = ( ) X ; X () = ( 1 6 ) e) dz = 3x y z = x + y z = x y + z f) X = ( 1 2 ) X Aplique la definición para determinar la transformada de las funciones mostradas a continuación. a) f(t) = t 2 b) f(t) = e at c) f(t) = cosh bt d) f(t) = sin kt 56. Use las propiedades y fórmulas correspondientes para hallar la transformada de Laplace de las funciones abajo indicadas. a) f(t) = (e t + e t ) 2 b) f(t) = (t 2 2t + 3)e 2t c) f(t) = e 3t sinh t d) f(t) = t 2 sen 2t + 3t cos t e) f(t) = t 2 e t sen t f) f(t) = (t 1)u(t 1) t g) f(t) = e T cos T dt t j) f(t) = e 2T sin(t T)dT t h) f(t) = t Te T dt t i) f(t) = sen T cos(t T)dT 57. Halle la transformada de Laplace de las siguientes funciones periódicas. a) b)

11 c) d) f(t) = sen t 58. Calcule la transformada inversa de Laplace. a) F(s) = 1 (s 1)(s+2) b) F(s) = 4 s + 6 s 2 1 s+8 c) F(s) = 1s+1 s 2 2s d) F(s) = 2s 6 s 2 +9 e) F(s) = s+1 s 2 4s f) F(s) = s 1 s 2 (s 2 +1) g) F(s) = s2 +s+1 s+4 (s 3) 2 (s 1) 2 h) F(s) = s 2 +6s+2 i) F(s) = e3s s 2 +9 j) F(s) = e4s s Para las siguientes funciones aplique las propiedades correspondientes para obtener la transformada inversa de Laplace. a) F(s) = ln ( s 3 s+1 ) b) F(s) = π 2 tan 1 ( s 2 ) c) F(s) = ln (s2 +1 s 2 +4 ) d) F(s) = 1 s cot 1 ( 4 s )

12 6. Aplique el método de la trasformada de Laplace para determinar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales. a) + 2y = t; y() = 1 b) + 4y = e 4t ; y() = 2 c) y + 5y + 4y = ; y() = 1, y () = d) d2 y 2 4y = 1; y() =, y () = 1 e) d2 y 2 + y = sen t ; y() =, y () = f) y 4y + 4y = t 3 e 2t ; y() =, y () = 61. Para las siguientes ecuaciones integro diferenciales use el método de la transformada de Laplace para obtener su solución. a) = 1 sen t t y(t)dt; y() = c) y t (t) + 6y(t) + 9 y(t)dt; y() = b) x t (t) + x(t)dt = t 2 + 2; x() = 1 d) x t (t) = t + x(t T) cos T dt; x() = Resuelva los sistemas de ecuaciones diferenciales mostrados a continuación, empleando el método de la transformada de Laplace. a) 2x + 6y = + x y = x() = 3, y() = 1 b) x = 3 x y y = y 2x x() = 1, y() = 1 c) x + x + y = y + x + y = x() = 1, x () = 1, y() = d) x + y = 1 y + x = t x() = 1, x () = 1, y() = 2, y () = e) + y = t + 2x = 2t x() =, y() = 1