Tema 1: movimiento oscilatorio

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1 ema 1: movimiento oscilatorio Oscilaciones y Ondas Fundamentos físicos de la ingeniería Ingeniería Industrial Primer Curso Curso 005/006 1

2 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 005/006

3 Movimiento oscilatorio Movimiento periódico Ejemplos: Barcas sobre el agua Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido V e I en circuitos de corriente alterna En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio Curso 005/006 3

4 Movimiento oscilatorio Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS) Por qué estudiar el MAS? Ejemplo de movimiento oscilatorio Aproximación válida en muchos casos de movimiento oscilatorio Componente básico de la ecuación del desplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos Curso 005/006 4

5 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 005/006 5

6 Representación matemática del MAS: dinámica del MAS Cuerpo unido a un muelle x 0 = 0 F Segunda ley de Newton: F = ma = kx x a F = kx k: constante del muelle Signo: fuerza restauradora kx = Condición de MAS m para la aceleración Curso 005/006 6

7 Representación matemática del MAS Segunda ley de Newton: F = ma = kx m Curso 005/006 d x d x + kx= 0 dt + ω x = ω = 0 con: dt Solución: xt () = Acos( ω t+δ) dx Comprobación: A sen( t ) dt = ω ω +δ d x = Aω cos( ω t+δ ) = ω x dt k m 7

8 Representación matemática del MAS Significado físico de las constantes: xt () = Acos( ω t+δ) A Amplitud (m) ω Frecuencia angular (rad/s) δ Constante de fase (rad) Determinación de A y δ: x(0) = Acos( δ) Dos ecuaciones v(0) = Aωsen( δ) con dos incógnitas Curso 005/006 8

9 Representación matemática del MAS: Ejemplo t = 0 x x(0) = Acos( δ ) = A0 v(0) = Aωsen( δ ) = 0 A 0 A 0 A 0 x Solución: A= δ = A 0 0 xt () = Acos( ωt) 0 t Curso 005/006 A 0 9

10 Representación matemática del MAS: Resumen Fuerza que provoca un MAS: F = kx Ecuación diferencial del MAS Ecuación del MAS d x + ω x = 0 dt xt () = Acos( ω t+δ) Curso 005/006 10

11 Representación del MAS: periodo y frecuencia Periodo (): iempo necesario para cumplir un ciclo completo xt () = xt ( + ) xt ( + ) = Acos( ω t+ω +δ) x π = (s) ω ω = π t Curso 005/006 11

12 Representación del MAS: periodo y frecuencia Frecuencia (f): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo) Para el resorte: ω= Curso 005/006 k m f f 1 ω = = π π = = π ω 1 1 = = π -1 (s Hz) m k k m La frecuencia no depende de la amplitud 1

13 Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973) Curso 005/006 13

14 Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un piano. Curso 005/006 14

15 Representación del MAS: velocidad y aceleración Posición: Velocidad: xt () = Acos( ω t+δ) vt () = dx = Aωsen( ω t+δ) dt k v = Aω = A (para el resorte) m Aceleración: max () = d x = ω cos( ω +δ ) = ω () El signo indica el sentido El signo indica el sentido at A t xt dt k amax = Aω = A (para el resorte) m Curso 005/006 15

16 Representación del MAS: velocidad y aceleración A -A Aω -Aω Aω x vt () at () xt () = Acos( ωt) Suponemos δ=0 vt () = Aωsen( ωt) Desfase π/ con x(t) at A t () = ω cos( ω ) Desfase π/ con v(t) Desfase π con x(t) π = Aωcos( ω t+ ) = Aω cos( ω t+π) -AωJoaquín Bernal Méndez Curso 005/006 16

17 Representación del MAS: velocidad y aceleración A x 3 t = 0 x v = 0 a = ω A -A Aω vt () 3 t = 4 x x v = ωa a = 0 -Aω Aω at () x 3 t = x v = 0 a = ω A -AωJoaquín Bernal Méndez Curso 005/006 17

18 Representación del MAS: velocidad y aceleración A x 3 t = x v = 0 a = ω A -A Aω vt () 3 t = 3 4 x x v = ωa a = 0 -Aω Aω at () x 3 t = x v = 0 a = ω A -AωJoaquín Bernal Méndez Curso 005/006 18

19 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 005/006 19

20 Energía del MAS Si no hay rozamiento: energía mecánica constante E = Ec + U = cte Energía cinética: Energía potencial: Curso 005/006 Ec = 1 mv U( x) U(0) = Wmuelle = Fdx x 0 U( x) = 1 kx x = 0 Kx dx = 1 kx 0

21 Energía del MAS Energía mecánica: Curso 005/ E = mv + kx con: xt () = Acos( ω t+δ) vt () = Aωsen( ω t+δ) 1 1 = ω sen ( ω +δ ) + cos ( ω +δ) E ma t ka t Usando: mω = k (para un resorte) 1 1 E = ka (sen ( ω t +δ ) + cos ( ω t +δ )) = ka = 1 1

22 Energía del MAS E = 1 ka No depende de la masa! La energía se trasvasa continuamente de cinética a potencial y viceversa 1 x=± A E = Umax = ka 1 1 x= 0 E = Ec,max = mvmax = ka Curso 005/006 E c E = 1 ka

23 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 005/006 4

24 Sistemas oscilantes: muelle vertical Supongamos muelle vertical Definimos eje y hacia abajo Fuerza del muelle F = kyu y y Curso 005/006 5

25 Sistemas oscilantes: muelle vertical Añadimos una masa m P = mgu y Aparece una fuerza adicional, el peso: Se puede hallar el alargamiento del muelle (y 0 ): Condición de equilibrio: mg = ky 0 F + P = 0 y 0 = mg k Curso 005/006 6

26 Sistemas oscilantes: muelle vertical Hacemos oscilar el sistema: mg ky = ma y = y y 0 mg y = y + y0 = y + k mg ky = ky d y d y ma = m = m dt dt d y m = ky dt Definimos: Curso 005/006 7

27 Sistemas oscilantes: muelle vertical d y dt = k y m Ecuación diferencial de un MAS Solución: y = Acos( ω t+δ) ω= k m π ; = = π ω m k El único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio Curso 005/006 8

28 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 005/006 9

29 Sistemas oscilantes: péndulo simple Objeto de masa m Suspendido de una cuerda ligera (m c <<m) de longitud L Extremo superior fijo Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones Es un M.A.S.? Curso 005/006 30

30 Sistemas oscilantes: péndulo simple Segunda Ley de Newton: mg sen φ= ds ma mg sen φ= m usando: s = Lφ dt d φ gsen φ= L dt Si φ sen φ φ d φ = dt g φ L Ecuación diferencial de un MAS Curso 005/006 31

31 Sistemas oscilantes: péndulo simple Curso 005/006 d φ = dt Solución: g φ L φ =φ cos( ω t +δ) 0 con: ω= Periodo del péndulo simple: π = = π ω L g no depende de m! no depende de φ 0! g L 3

32 Péndulo simple: aplicaciones El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones: écnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad. Medida del tiempo: péndulo de un reloj Curso 005/006 33

33 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 005/006 38

34 Oscilaciones amortiguadas Las oscilaciones en sistemas oscilantes reales no son permanentes: rozamiento Este efecto puede incluirse en los cálculos: Fuerza resistiva: R b constante = bv con: v velocidad Amortiguamiento lineal (muy habitual) Segunda Ley de Newton: dx kx bv = ma kx b = m dt d x dt k Curso 005/006 39

35 Oscilaciones amortiguadas Ecuación: d x dx + + = 0 m b kx dt dt Solución: b t m () = cos( ω +δ) xt Ae t 0 ; k b b ω= = ω m m m ω = ω ω 0 El sistema oscila con frecuencia menor que si no hubiera rozamiento (b=0) 0 k m Frecuencia natural (corresponde a b=0) Curso 005/006 40

36 Oscilaciones amortiguadas b t m () = cos( ω +δ) xt Ae t La amplitud decrece exponencialmente decrece más rápido cuanto mayor es b Curso 005/006 41

37 Oscilaciones amortiguadas La solución propuesta es válida para b< mω b ω = ω0 Sistema subamortiguado m Si b mω : el sistema no oscila 0 Críticamente amortiguado Sobreamortiguado ( b= mω0 ) ( b> mω ) 0 Cuanto mayor sea b más tarda en alcanzar el equilibrio 0 Curso 005/006 4

38 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia Curso 005/006 43

39 Oscilaciones forzadas En un sistema amortiguado la energía decrece con el tiempo Para mantener las oscilaciones es preciso suministrar energía de forma continua Esto precisa la acción de una fuerza externa F = F cos( ) 0 ωet Curso 005/006 44

40 Oscilaciones forzadas: resonancia Movimiento del oscilador forzado: Estado inicial transitorio Estado estacionario: Oscila con ω e y A(ω e ) Energía es constante (suministrada=disipada) Resonancia: ocurre cuando ωe ω0 El sistema oscila con amplitud y energía máximas Curso 005/006 45

41 Resonancia: ejemplo Puente de acoma Narrows El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente colgante de acoma Narrows (Washington, USA) debido a las vibraciones provocadas por el viento. El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses. Curso 005/006 46

42 Resumen del tema El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio. La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento. Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante. Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas. Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia Curso 005/006 48