Clave V

Transcripción

1 Clave V UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO: Matemática Intermedia 3 SEMESTRE: Segundo Semestre de 2014 CÓDIGO DEL CURSO: 114 TIPO DE EXAMEN: Segunda Retrasada FECHA DE EXAMEN: 13 de enero de 2014 PERSONA QUE RESOLVIO EL EXAMEN: Cecilia Jimena García González PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Helen Ramírez

2 Universidad de San Carlos de Guatemala Matemática Intermedia III Facultad de Ingeniería Vespertina Departamento de Matemática 13 de enero de 2014 SEGUNDA RETRASADA Instrucciones: no se permite el uso de calculadora programable, celular ni formularios. Resuelva detalladamente dejando constancia de su razonamiento. Tema 1 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) c) Tema 2 (20 puntos) Un depósito de 50 galones contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para t=0, una solución salina que contiene una libra de sal por galón se vierte en el tanque a razón de 4 gal/min. La solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 2 gal/min. Halle la cantidad de tiempo necesaria para que se llene el tanque y la cantidad de sal en el tanque en el momento en que se llena. Tema 3 (20 puntos) Un circuito RCL tiene una resistencia de 180 ohmios, una capacitancia de faradios, inductancia de 20 henrios y un voltaje aplicado de. Suponiendo que no hay carga inicial en el condensador sino una corriente inicial de 1 amperio para cuando se aplica por primera vez el voltaje, halle la carga resultante en el condensador. Tema 4 (30 puntos) Sea a) Resuelva la ecuación diferencial b) Utilice el método de Euler para aproximar los puntos entre [ ] con c) Trace la gráfica de la curva solución del inciso a.

3 SOLUCIÓN: Tema 1 a) Dividimos dentro de toda la ecuación: Hacemos una pequeña sustitución de la siguiente manera: Entonces tenemos: Buscamos nuestro factor de integración: Resolviendo la integral obtenemos: Despejando obtenemos: Restituyendo obtenemos: y 1 1 e x2 2 b) Procedemos a buscar las raíces de la siguiente manera: Tenemos nuestra ecuación complementaria:

4 Calculamos el wronskiano para encontrar la ecuación particular y usando las funciones de arriba obtenemos: Obtenemos los siguientes valores: Integramos y tenemos los siguientes valores: Nuestra ecuación general queda de a siguiente manera: y G c 1 cosx c 2 senx ln(cosx) cosx senx c) Adecuamos la ecuación de la siguiente manera: Derivamos respecto de x y tenemos: Entonces tenemos: Calculamos el factor de integración y tenemos: Resolvemos y tenemos:

5 Integramos respecto de x e y, dependiendo del caso y tenemos: Eliminamos los repetidos y tenemos: ln x xy y 2 c Tema 2 4gal/min 10 gal 50 gal gal/min Sabemos que están entrando 4 gal/min e inicialmente había una solución con 1lb/gal. Plantemos la ecuación y nos queda de la siguiente manera: Salen 2 gal/min. Resolvemos la ecuación diferencial:

6 Calculamos el tiempo en que el tanque se llenará y lo evaluamos en la ecuación que encontramos y tenemos que: El tiempo para que se llene el tanque es de 20 s, y la cantidad de sal que se tiene es de 48lbs. Tema 3 Plantemos la ecuación: Obtenemos las raíces de la ecuación anterior: Planteamos nuestra ecuación complementaria: Planteamos nuestra ecuación particular: Operando encontramos que el valor de y el valor de De las condiciones iniciales y Encontramos que el valor de y de

7 La solución de la ecuación es la siguiente: q g ( e t e t sent cost) Tema 4 Rescribimos la ecuación: Resolvemos la ecuación: Buscamos nuestro factor integrante. De las condiciones iniciales: Entonces tenemos que la ecuación diferencial es: y 2 2 x Utilizaremos el método de Euler para aproximar los puntos entre [1,1.6] con Donde Donde y ; ; ;

8 Trazamos la gráfica de la curva de la función del inciso a. X Y