Ecuaciones Diferenciales

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1 1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x + y -4) dx + (5y -1) dy=0.- Obtener la solución general de la ecuación diferencial (x-1) y dx + x (y+1) dy = 0. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,1). 3.-a. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x + y - 5)dx + (6x + y - l)dy = 0 b. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1, ). 4.- Dada la ecuación diferencial y 3 dx - x (y + x)dy = O. Se pide: a) Clasificarla. b) Resolverla utilizando la función de DERIVE adecuada. c) Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,3) 5.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial con la función de Derive específica para este tipo de ecuaciones: (x 4 + x + xy + l)dx - (1 + x )dy = 0. b) Hallar la solución particular que pasa por el pimío (,3). 6.- Indicar de qué tipo es la siguiente ecuación diferencial y resolverla utilizando la función de Derive específica para este tipo de ecuaciones: y y xdx y cos dx x cos dy 0 x x 7.-. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x - y - l)dx + (5x - y- 3)dy = 0 xyln ydx x y y 1 dy Resolver la ecuación diferencial 9.- Resolver la ecuación diferencial dy ycosx sen(x) dx 10.- Resolver la ecuación diferencial (x 3 +y 4 )dx+8xy 3 dy= Esta nevando con regularidad a las 1 sale una máquina quitanieves que recorre en la 1ªhora km y en la segunda 1 km. A qué hora empezó a nevar? (Se admitirá como hipótesis que la cantidad de nieve quitada por la máquina en la unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance resulta inversamente proporcional a la altura de la nieve encontrada) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

2 1.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial con la función de DERIVE específica para este tipo de ecuaciones: y' x y xy y b) Hallar la solución particular que pasa por el punto (0, 1). 13.-Para las siguientes ecuaciones diferenciales, clasificarlas y resolverlas, con la función específica de DERIVE para cada tipo. Calcular también la solución particular que pasa por el punto indicado: a) (xy - 4x) dx + dy = 0. Punto (, ). b) (x 3 + 3y) dx + (3x + y -1)dy = 0. Punto (1, 0). c) y = x y. Punto (1,1). y x d) (3y - 5) dx+ x 1 dy = 0. Punto (, ). e) (xy - 4x) dx + dy = 0. Punto (, ). f) (x 3 + 3y) dx + (3x + y -1) dy = 0. Punto (1, 0) Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes reduciéndolas a una ecuación de variables separables o a una ecuación homogénea, según proceda: a.- (x + y) dx + (3x +3y 4) dy = 0 b.- (x + y-) dx + (x -y +4) dy = 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

3 1.- Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x + y -4) dx + (5y -1) dy=0 Solución: #: DSOLVE1( x + y - 4, 5 y - 1, x, y, c) #3: inapplicable #4: SOLVE([ x + y - 4 = 0, 5 y - 1 = 0], [x, y]) 19 1 #5: x = y = 10 5 Efectuamos el cambio de variable: u=x-19/10, v=y-1/ #6: u + + v #7: u + v 1 #8: 5 v #9: 5 v La nueva ecuación a resolver es: #11: ( u + v) d u + (5 v) d v = 0 que es homogénea: u + v #13: HOMOGENEOUS_GEN -, u, v, c 5 v u 39 (u + 10 v) LN #14: 39 ATAN 39 u u + u v + 5 v + = LN(u) + c 39 Deshacemos el cambio de variable y queda: x y ATAN #15: x x - 10 LN x - + x - y y = 19 LN x - + c 10 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

4 .- Obtener la solución general de la ecuación diferencial (x-1) y dx + x (y+1) dy = 0. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,1). Solución: (x - 1) y #1: SEPARABLE_GEN, -, x, y, c y + 1 x x + c x - 1 #: LN(y) + y = LN(x) - x (x - 1) y #3: SEPARABLE, -, x, y, 1, 1 y + 1 x x - x - 1 #4: LN(y) + y = LN(x) - x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

5 3.-a. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x + y - 5)dx + (6x + y - l)dy = 0 b. Hallar la solución particular que pasa por el punto (1, ). Solución: a) Solución general de la ecuación diferencial (3x+y-5)dx+(6x+y-l)dy=0 #1: DSOLVEl_GEN(3-x + y - 5, 6-x + -y - 1, x, y, c) #: inapplicable Hay que efectuar un cambio de variable antes de resolverla con DERIVE: u = 3 x + y, y = u 3 x, dy = du 3 dx (u-5)dx+(u-l)(du-3dx)=0, (-5u-)dx+(u-l)du=0, u'=(5u-)/(u-l) que ya es de variables separadas. 5 u - #3: SEPARABLE_GEN 1,, x, u, c u - 1 LN(5 u - ) u #4: - = -x - c 5 5 LN(15 x + 5 y - ) (3 x + y) #5: - = -x - c 5 5 b) Solución particular que pasa por el punto (1,) Si x=l, y=, entonces, u=3x+y=5 5 u - #6: SEPARABLE 1,, x, u, 1, 5 u - 1 LN(5 u - ) u LN(3) #7: - = -x LN(15 x + 5 y - ) (3 x + y) LN(3) #8: - = -x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

6 4.- Dada la ecuación diferencial y 3 dx - x (y + x)dy = O. Se pide: a) Clasificarla. b) Resolverla utilizando la función de DERIVE adecuada. c) Hallar la solución particular que pasa por el punto (1,3) Solución: a) Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea. b) 3 y #1: HOMOGENEOUS_GEN, x, y, c x ( y + x) 1 x ( - 1) + y #: - LN x 4 1 y - x ( + 1) y LN + LN = - LN(x) - c x x b) 3 y #3: HOMOGENEOUS, x, y, 1, 3 x ( y + x) 1 x ( - 1) + y #4: - LN x 4 1 y - x ( + 1) y x LN + LN = - LN - + x x LN() LN( - 1) + - LN( + 1) - 4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

7 5.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial con la función de Derive específica para este tipo de ecuaciones: (x 4 + x + xy + l)dx - (1 + x )dy = 0. b) Hallar la solución particular que pasa por el pimío (,3) Solución: a) La ecuación puede escribirse en la forma dy 1x xy xy y' dx 1x 1x 1x Que es una ecuación lineal x LINEAR1_GEN -, 1 + x, x, y, c #1: 1 + x #: y = (x + c) (x + 1) b) x LINEAR1 -, 1 + x, x, y,, 3 #3: 1 + x (x + 1) (5 x - 7) #4: y = 5 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

8 6.- Indicar de qué tipo es la siguiente ecuación diferencial y resolverla utilizando la función de Derive específica para este tipo de ecuaciones: y y xdx y cos dx x cos dy 0 x x Solución: Vemos que no puede tratarse de una ecuación diferencial de variables separables pues es imposible separar x e y. Para ver si es homogénea despejamos y. y ycos x y y dy x y 1 xdx ycos dx x cos dy 0 y ' x x dx y x y xcos cos x x Sustituyendo x por xt e y por yt, obtenemos ty 1 y 1 y' tx ty x y cos cos tx x Se trata de una ecuación homogénea y y COS - x x #1: HOMOGENEOUS_GEN, x, y, c y x COS x y #: SIN = - LN(x) - c x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

9 7.-. Hallar la solución general de la ecuación diferencial: (3x - y - l)dx + (5x - y- 3)dy = 0 Solución: #1: DSOLVE1_GEN(3 x - y - 1, 5 x - y - 3, x, y, c) #: inapplicable #3: SOLVE([3 x - y - 1, 5 x - y - 3], [x, y]) #4: [x = 1 y = ] Realizamos el cambio: u=x-1 con du=dx v=y- con dv=dy 3x y l dx 5x y 3 dy 0 3 u 1 v l du 5 u 1 v 3 dv 0 3u v 3u vdu 5u vdv 0 v ' 5u v 3 u - v #5: HOMOGENEOUS_GEN -, u, v, c 5 u - v u ( 7 - ) + v 1 #6: + LN u 3 7 v - u ( 7 + ) LN = - LN(u) - c 14 u x ( 7 - ) + y #7: + LN x x ( 7 + ) - y - 7 LN = - LN(x - 1) - c x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

10 8.- Resolver la ecuación diferencial xy ln ydx x y y 1 dy 0 Solución: La ecuación M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se llama ecuación diferencial exacta o ecuación en diferenciales totales si M(x,y) y N(x,y) son funciones continuas y derivables que verifican: M y N siendo M N, continuas en un cierto dominio. x y x M N x ln y 1 x y x En nuestro caso, no es diferencial exacta, sin embargo mediante un factor integrante se transforma en: Mdx+Ndy=0 diferencial exacta. Para 1 x y y 1 y x ln ydx dy 0 y y Obtenemos Aplicando la solución general Mdx x ln ydx x ln y Mdx x ln y y y y x Mdx N Mdx dy C y N Mdx dy dy y y 1dy y 1 y y y 3 x y y 1 x 1 Resulta 1 3/ 3 x lny y 1 C 3/ U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 10

11 dy 9.- Resolver la ecuación diferencial ycosx sen(x) dx Solución: dy Se trata de una ecuación lineal no homogénea p(x)y q(x) dx q(x)=sen(x) siendo p(x) = -cosx; Haciendo y=u(x)v(x) en la ecuación dada: y' u'vuv' uvcosxsen(x) u'vu v' vcosx senx Resolvemos senx v' v' vcosx 0 cosx v e y sustituyendo en la anterior v senx senx senx u 'e senx u sen(x)e dx C e (senx ) C que junto con v se obtiene y uv (senx) Ce senx U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 11

12 10.- Resolver la ecuación diferencial (x 3 +y 4 )dx+8xy 3 dy=0. Solución: Consideramos P P(x, y) x y 4y y Q Q(x, y) 8xy 8y x 3 3 Utilizamos un factor integrante P Q 3 3 y x 4y 8y / ln lnx 3 x Q 8xy x x Obtenemos la ecuación diferencial exacta x y 8xy dx dy 0 x x Resolvemos 8xy xy F(x, y) dy h(y) h(y) xy h(y) x x Por último, F 1 x y y h'(x) h'(x) x h(x) x x x x / 7/ 4 F(x, y) xy h(y) 7 4 7/ xy x C U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

13 11.- Esta nevando con regularidad a las 1 sale una máquina quitanieves que recorre en la 1ªhora km y en la segunda 1 km. A qué hora empezó a nevar? (Se admitirá como hipótesis que la cantidad de nieve quitada por la máquina en la unidad de tiempo es uniforme, de modo que su velocidad de avance resulta inversamente proporcional a la altura de la nieve encontrada) Solución: ds Consideramos que la v=k 1 /h, siendo h la altura de la nieve y v la velocidad. Si dt llamamos t 0 el instante en que empezó a nevar la altura de la nieves quedará h=k (t-t 0 ), luego ds k1 k1 k k v ds dt s kln tt0 C dt h k tt tt tt Teniendo en cuenta las soluciones particulares del enunciado. t 1;s0kln1t0 C0 t 11;skln13t0 C t 1;s1kln14t0 C3 Haciendo el cambio T=1-t 0 kln T C0 T1 ln 3 kln T1ln T T T1 T kln T1C klnt lnt 3 T 3 T T kln T C 3 ln T Y simplificando T 1 T T T 3T 3T 1 T 4T T T T 1 0 T Deshaciendo el cambio nos quedamos con 1 5 t0 1 T Empezó a nevar a las 11h m 55s U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 13

14 1.- a) Clasificar y resolver la siguiente ecuación diferencial con la función de DERIVE específica para este tipo de ecuaciones: y' x y xy y b) Hallar la solución particular que pasa por el punto (0, 1). Solución a) La ecuación puede escribirse en la forma: x y dx xy ydy 0 Es una ecuación diferencial exacta pues: x y xy y y y x #1: EXACT_GEN(x - y, - x y - y, x, y, c) x y #: - x y - = c b) Solución particular que pasa por (0, 1) #3: EXACT(x - y, - x y - y, x, y, 0, 1) x y - 1 #4: - x y - = 0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 14

15 13.-Para las siguientes ecuaciones diferenciales, clasificarlas y resolverlas, con la función específica de DERIVE para cada tipo. Calcular también la solución particular que pasa por el punto indicado: a) (xy - 4x) dx+dy = 0. Punto (, ). b) (x 3 + 3y) dx+(3x + y -1)dy = 0. Punto (1, 0). c) y = x y. Punto (1,1). y x d) (3y - 5) dx+ x 1 dy = 0. Punto (, ). e) (xy - 4x) dx + dy = 0. Punto (, ). f) (x 3 + 3y) dx + (3x + y -1) dy = 0. Punto (1, 0). Solución a) Es una ecuación diferencial lineal pues puede escribirse en la forma: y + x y = 4 x #1: LINEAR1_GEN( x, 4 x, x, y, c) #: - x y = c e + Solución particular: #3: LINEAR1( x, 4 x, x, y,, ) #4: y = b) Es una ecuación diferencial exacta pues: x 3 3y 3x y 1 3 y x 3 #4: EXACT_GEN( x + 3 y, 3 x + y - 1, x, y, c) 4 x y #5: + 3 x y + - y = c 3 #6: EXACT( x + 3 y, 3 x + y - 1, x, y, 1, 0) 4 x y 1 #7: + 3 x y + - y = c) Es una ecuación diferencial homogénea pues está escrita en la forma y = r(x, y), siendo r(x, y) una función homogénea de grado 0. También porque puede escribirse como U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 15

16 x y dx xydy 0 mismo grado. Ecuaciones Diferenciales, siendo los coeficientes de dx y de dy polinomios homogéneos del x y #1: HOMOGENEOUS_GEN +, x, y, c y x y #: = LN(x) + c x x y #3: HOMOGENEOUS_GEN +, x, y, 1, 1 y x y #4: = LN(x) + x d) Es una ecuación diferencial lineal pues puede escribirse en la forma y + p(x) y = q(x), concretamente, y + 3xy = 5x #5: LINEAR1_GEN(3 x, 5 x, x, y, c) - 3 x / 5 #6: y = c e + 3 #7: LINEAR1(3 x, 5 x, x, y,, 3) 6-3 x / #8: 4 e 5 y = e) (xy - 4x) dx + dy = 0. Punto (, ). Es una ecuación diferencial lineal pues puede escribirse en la forma: y + x y = 4 x #: LINEAR1_GEN( x, 4 x, x, y, c) #3: - x y = c e + Solución particular: #8: LINEAR1( x, 4 x, x, y,, ) #9: y = f) (x 3 + 3y) dx + (3x + y -1) dy = 0. Punto (1, 0). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 16

17 Es una ecuación diferencial exacta pues: Ecuaciones Diferenciales x 3 3y 3x y 1 3 y 3 #1: EXACT_GEN( x + 3 y, 3 x + y - 1, x, y, c) 4 x y #: + 3 x y + - y = c Solución particular: 3 #3: EXACT( x + 3 y, 3 x + y - 1, x, y, 1, 0) 4 x y 1 #4: + 3 x y + - y = x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 17

18 14.- Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes reduciéndolas a una ecuación de variables separables o a una ecuación homogénea, según proceda: a.- (x + y) dx + (3x +3y 4) dy = 0 b.- (x + y-) dx + (x -y +4) dy = 0 Solución a.- (x + y) dx + (3x +3y 4) dy = 0 Las rectas x y 0 3x + 3 y son rectas paralelas. Se efectúa el cambio de variable: u = x + y Sustituyendo en la ecuación queda: du = dx + dy, y = u x, dy = du - dx. (x + (u x)) dx + (3x + 3(u - x) - 4) (du dx) = 0 u 4dx 3u 4du 0 u 4 u 43u 4u ' 0 u ', que ya es una ecuación de variables separadas. 4 3u u - 4 #5: SEPARABLE_GEN 1, -, x, u, c 4-3 u 3 u #6: LN(u - ) + = x + c Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: 3 (x + y) #7: LN((x + y) - ) + = x + c b.- (x + y-) dx + (x -y +4) dy = 0 x y 0 Las rectas se cortan en el punto (- x y , 8 ), que se calcula sin más que 3 resolver el sistema formado por sus dos ecuaciones. Se efectúa el cambio de variables: u = x v = y - 3 du = dx, dv = dy x = u y = v + 3. Sustituyendo en la ecuación queda: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 18

19 8 8 (( u - ) + ( v + ) ) du + (( u - ) ( v + ) + 4) dv = u v uvduuvdv0 v', que ya es una ecuación homogénea. u v u + v #1: HOMOGENEOUS_GEN -, u, v, c u - v 13 1 u ( 13-3) + v 1 #: + LN u 13 v - u ( ) LN = - LN(u) - c 6 u Deshaciendo el cambio de variable, se obtiene: 8 x + ( 13-3) + y #3: + LN x y - - x + ( ) LN = - LN x + - c 6 3 x x ( 13-3) + (3 y ) 1 #4: + LN x + 13 (3 y ) - 3 x ( ) LN = x + 3 x + LN - c 3 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 19

20 Ecuación diferencial Es toda ecuación que incluya una función, que es la incógnita, y alguna de sus derivadas o diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su: tipo: Ordinarias si la función incógnita es de una sola variable independiente. En derivadas parciales si la función incógnita depende de dos o más orden: El de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ecuación diferencial ordinaria de primer orden Es una ecuación de la forma F(x,y,y )=0. A veces la ecuación anterior se puede expresar en la forma y =G(x,y), diremos que la ecuación diferencial viene expresada en forma normal. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 70

21 Ecuación de Bernouilli Es toda ecuación diferencial de la forma dy p(x)y q(x)y n donde n0,1, ya que en dx dichos casos sería lineal U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 71

22 Ecuación lineal Se llama ecuación lineal a una ecuación de la forma: a1x1 a x... a n x n b, donde los coeficientes a 1,a,..., a n, así como el término independiente b, son escalares de un cuerpo conmutativo K, y x, x,..., son las incógnitas. 1 x n U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 73

23 Ecuaciones diferenciales exactas La ecuación M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se llama ecuación diferencial exacta o ecuación en diferenciales totales si M(x,y) y N(x,y) son funciones continuas y derivables que verifican: M y N siendo M N, continuas en un cierto dominio. x y x U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 75

24 Ecuaciones lineales de primer orden Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a la que es lineal respecto de la función incógnita y su derivada. Es de la forma: dy dx p(x)y q(x) 1. Si q(x)=0 la ecuación se denomina lineal homogénea y es de variables separables; entonces: dy p(x)y 0 dx. Si q(x)0 la ecuación se denomina lineal no homogénea. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 76

25 Ecuaciones con variables separadas y ecuaciones reducibles a ellas Toda ecuación de la forma f(y)dy=g(x)dx se llama ecuación de variables separadas. La solución general es de la forma f( y) dy g( x) dx C Las ecuaciones de la forma f(y)h(x)dy=g(x)m(y)dx donde los coeficientes de las diferenciales se descomponen en factores que dependen solo de x, o solo de y, se llaman ecuaciones con variables separables. Dividiendo por h(x)m(y) la anterior ecuación, se obtiene una de variables separadas: f( y) my dy gx ( ) ( ) hx ( ) dx f( y) my ( ) dy gx ( ) hx ( ) dx Observación. La división por h(x)m(y) puede dar lugar a que se pierdan las soluciones particulares que anulan el producto h(x) m(y). U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 78

26 Ecuaciones homogéneas Toda ecuación diferencial que pueda escribirse de la forma dy dx F y se dice x que es homogénea. También puede venir dada en la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 siendo P(x,y), Q(x,y) funciones homogéneas del mismo grado. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 80